experimente par Didier Piau

Didier Piau

Description

Niveau: Supérieur, Master
Cours de Probabilites experimente par Didier Piau devant divers publics, dont des eleves de l'ENS de Lyon inscrits en magistere de mathematiques et applications et des etudiants des universites Claude Bernard et Joseph Fourier inscrits en maıtrise puis en master de mathematiques Cours et exercices Derniere revision substantielle : mars 2010

• eleves de l'ens de lyon


• magistere de mathematiques


• introduction aux files d'attente


• probleme des versions regulieres


• proprietes de l'esperance conditionnelle


• convergence en loi


• derniere revision substantielle


• preuve du theoreme

Sujets

• Probabilité
• Intégration
• Fourier
• Bernard

Informations

• Publié par: profil-infoe-2012
• Publié le: 01 mars 2010
• Nombre de lectures: 60
• Langue: Français

Extrait

Cours de Probabilites
experimente par Didier Piau
devant divers publics, dont des eleves de l’ENS de Lyon inscrits
en magistere de mathematiques et applications et des etudiants
des universites Claude Bernard et Joseph Fourier inscrits en
ma^ trise puis en master de mathematiques
Cours et exercices
Derniere revision substantielle : mars 20102Table des matieres
1 Outils probabilistes 5
Avant de commencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1 Mesures de probabilite et classes monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Variables aleatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Probabilites produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Rappels de theorie de la mesure (d’apres D. Williams) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.6 Esperance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.7 Convergences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Lois des grands nombres 39
2.1 Rappels sur l’independance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 La convergence des series independantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3 Lois des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4 Applications statistiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Conditionnement 59
3.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Le theoreme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4 Les proprietes de l’esperance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.5 Le probleme des versions regulieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.6 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.7 Le cas gaussien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.8 Introduction aux les d’attente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78TABLE DES MATIERES 4
4 Convergence en loi 83
4.1 Fonctions caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.3 Convergence en loi : resume actualise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.4 Theoremes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Chapitre 1
Outils probabilistes
Ce chapitre introduit les outils utilises dans le reste du cours. Il est, dans sa plus grande partie, assez
elementaire. Certains passages sont des redites d’un cours d’Integration.
Dans la section 1.1, le theoreme lambda{pi 1.2 et son corollaire 1.3, du^ a Dynkin, sont importants. On
pourra omettre les theoremes 1.4 de classe monotone et 1.5 de Caratheodory. Dans la section 1.2 consacree a
Radon{Nykodym, on peut choisir de tout omettre, ou bien se limiter aux de nitions 1.11 et 1.13, a l’enonce
du theoreme de Radon{Nykodym 1.12, ainsi qu’aux exemples 1.15. Dans la section 1.4, sur les probabilites
produits, on peut se limiter a la de nition 1.22 et a l’enonce du resultat dans le cas independant (theoreme
1.23). La section 1.5 est incontournable et distribuee a la classe. La section 1.7 sur les diverses notions de
convergence de suites de variables aleatoires est plus di cile que le reste dans sa partie 1.7 sur l’uniforme
integrabilite. La premiere chose a omettre est la preuve du theoreme 1.32 de Vitali. L’exercice 1.33 est aussi
important que la de nition 1.31. En n, le tableau de la section 1.7 est a savoir par c ur.
Avant de commencer
La topologie etudie les fonctions continues : une fonction f est continue si et seulement si l’image
1reciproquef (O) de tout ouvertO est un ouvert. La theorie de la mesure etudie les fonctions mesurables :
1une fonction f est mesurable si et seulement si l’image reciproque f (B) de tout ensemble mesurable B
est un ensemble mesurable.
En topologie, la notion d’ensemble ouvert repose sur le fait que toute reunion d’ouverts est un ouvert et
qu’une intersection nie d’ouverts est un ouvert. En theorie de la mesure, la notion d’ensemble mesurable
repose, entre autres proprietes, sur le fait que toute reunion denombrable d’ensembles mesurables est un
ensemble mesurable et que toute intersection denombrable d’ensembles mesurables est aussi un ensemble
mesurable. Si l’on n’impose pas que seules les operations denombrables sont licites, la theorie de la mesure
devient contradictoire.
Nous developpons ces deux idees en montrant que la theorie de la mesure est un bon cadre pour les
probabilistes.
La marche au hasard sur le reseau carre : retour en l’origine
2Un marcheur surZ se deplace de sommet en sommet en allant d’un sommet en un sommet voisin (les
quatre sommets voisins de (x;y) sont (x + 1;y), (x 1;y), (x;y + 1) et (x;y 1)) choisi au hasard (et la
probabilite de choisir chacun des quatre voisins possibles est 1=4) en faisant des pas successifs independants
(et un pas donne ne depend pas des deplacements precedents). Le modele classique pour un tel (( marcheur ))6 Outils probabilistes
est celui d’un ivrogne qui titube dans les rues de Manhattan (ou des Brotteaux).
Notons le premier instant (aleatoire) ou il repasse par son point de depart, si cet instant existe, et
posons = +1 si le marcheur ne repasse jamais par son point de depart. Si on souhaite evaluerP( = 2n)
pour n > 1 xe, il su t de compter des chemins de longueur 2 n et de diviser par le nombre total de ces
2nchemins, qui vaut 4 : c’est de la combinatoire nie. Par contre, pour evaluer une quantite comme
P( < +1);
necessite de stabilite denombrable : c’est l’idee de Lebesgue. Par contre, permettre ( plus ) est dangereux,
comme le montre le paradoxe suivant.
Un paradoxe celebre
2 3Choisissons un point au hasard sur la sphere unite S deR . La probabilite que ce point soit dans un
2sous-ensemble A de S est l’aire de A divisee par l’aire totale, 4. Tout est normal. Mais Banach et Tarski
2 2ont montre, en utilisant l’axiome du choix, qu’il existe un sous-ensemble A de S tel que S est la reunion
disjointe
2 0S =A[%(A)[% (A);
0ou% et% sont deux rotations. Soit. Donc l’aire deA est 4=3. Malheureusement, pour le m^eme sous-ensemble
2 2A de S , on peut ecrire S comme la reunion disjointe
2 0 00S =A[&(A)[& (A)[& (A);
0 00 2ou &, & et & sont trois rotations. Donc l’aire de A est aussi 4=4. D’ailleurs S est aussi la reunion de n
copies de A pour tout n> 3 (mais pas pour n = 2) et m^eme d’un nombre denombrable de copies de A. La
morale est que A n’est pas mesurable : il est si complique qu’on ne peut pas de nir son aire (sa mesure).
Le m^eme phenomene en dimension 1
1Il existe une partition du cercle S = R=Z par des ensembles disjoints A(q), q2 Q, tels que chaque
ensembleA(q) est un translate de A(0). Donc, 1 = +1 mesure(A(0)), ce qui est impossible. La construc-
1tion : surS , on considere la relation d’equivalence de nie par ((xy si et seulement six y2Q )). Soit
1A un sous-ensemble deS possedant exactement un representant de chaque classe d’equivalence (axiome du
choix). Alors A(q) =q +A convient.
1.1 Mesures de probabilite et classes monotones
L’objet de base de tout le cours est un espace de probabilite, c’est- a-dire un triplet ( ;F;P) tel que :

est un ensemble quelconque ;
F P( ) est une tribu, c’est- a-dire que F est non vide (ou contient ) et que F est stable par
passage au complementaire et par reunion denombrable ;
P est une probabilite, c’est- a-dire une mesure (positive) sur F de masse totaleP( ) = 1.
On va dans un premier temps se concentrer sur la partie ( ;F) du triplet, avant de faire intervenir la
mesureP.
Pour toute collectionC de parties de , on note (C) la tribu engendree parC c’est- a-dire l’intersection
de toutes les tribus contenantC. (Exercice : c’est une tribu.)
Si
est un espace topologique de topologie (= l’ensemble des ouverts)T , on appelleB( ) = (T ) la
tribu de Borel et les elements deB( ) des boreliens.1.1 Mesures de probabilite et classes monotones 7
Remarque 1.1 La tribuB(R), tribu borelienne deR, est engendree par les ouverts deR. Les elements de
B(R) peuvent ^etre compliques. Par contre, la famille
(R) =f]1 ;x] ; x2Rg
est beaucoup plus manipulable etB(R) a le bon gout^ (exercice !) de veri er