FEUILLE CALCUL MATRICIEL

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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
FEUILLE 3 : CALCUL MATRICIEL 1. On donne les 4 matrices A = ( 1 2 3 4 ) B = ? ? ? ? 1 ?2 3 ?4 ? ? ? ? C = ? ? ? ? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 0 ? ? ? ? D = ? ? 1 0 ?1 0 2 ?2 3 ?3 ?1 2 ?1 2 ? ? . Quels sont les produits 2 a 2 de ces matrices qui ont un sens? Effectuer ces produits. 2. Quelles sont les matrices (2,2) A telles que AM = MA dans les cas suivants : M1 = ( 1 0 0 0 ) , M2 = ( 0 1 0 0 ) , M3 = ( 1 1 0 1 ) , M4 = ( 0 1 ?1 0 ) . Dans chacun des cas, peut-on toujours trouver ? et µ tels que A = ?M + µI? Est-ce toujours vrai pour toute matrice M? 3. Effectuer le produit des deux matrices formees des mots suivants en omettant les signes d'operations (Raymond Queneau 1964) ? ? le a le un a un le avait un ? ? ? ? chat rat lion mange devore deguste poisson fromage touriste ? ? .

  • formule du binome de newton

  • parametres reels

  • unique matrice

  • reels fixes

  • deduire


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FEUILLE 3 :CALCUL MATRICIEL
1.On donne les 4 matrices      1 12 3 1 01 0   2 45 6    A2 3 4= 1B=C=D= 22 33.    3 78 9 1 21 2 4 01 0 Quelssontlesproduits2`a2decesmatricesquiontunsens?Eectuercesproduits.
2.Quelles sont les matrices (2,2)Atelles queAM=M Adans les cas suivants :      1 00 11 10 1 M1=, M2=, M3=, M4=. 0 00 00 11 0 Dans chacun des cas, peut-on toujours trouverλetµtels queA=λM+µI? Est-ce toujours vrai pour toute matriceM?
3.mauxictrtduideeselredorpEutcesenomettssuivantseedmstoseofmre´sengisseltna dop´erations(RaymondQueneau1964)    le a lechat ratlion    unaunmang´ede´vor´ed´egust´e. le avaitun poissonfromage touriste
4.SoientAetBdeux matrices deM(n, K) qui commutent (i.e.AB=BAla). Montrer n  X n n nk k formuledubinoˆmedeNewton:(A+B) =A B. k k=0
5.re`eidnscoOnciseusviel3samrtantes:     0 10 00 01 00 0 0 1 01 00 00 01 0 01 0     J=K=L=,     0 0011 0 00 01 0 0 0 01 001 0 01 00 0 1)V´erierlesrelations: 2 22 J=K=L=KLI ,=LK=J 2)End´eduirelesrelationsLJ=J L=KetJ K=KJ=L. 3)Onconside`relesous-espacevectorielHdeM(4,R)nearr´epgendI,J,KetLune. Trouver base deHet donner sa dimension. 4) Montrer queHest stable par multiplication, puis montrer que toute matrice non nulle deH admet un inverse dansH.
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  0 11 21   6.Soit la matriceA= 43 4 .CalculerAduirnd´eeE.Aerinireastnvnre.V´e 33 4 directementA.
7.On noteM(a, b, c, des4parampendantd4(4,d)e´matairecl)sleerte`´rsea, b, c, diedn´e par   a b c d b a d c M(a, b, c, d) =   c d a b d c b a 0 0 0 0 (1) Calculer le produitM(a, b, c, d)M(a , b , c , dremarque-t-on ?). Que (2) Calculer le produitM(a, b, c, d)M(a, b,c,d). (3) Calculer le produit des quatre matricesM(a, b, c, d)M(a, b,c,d)M(a,b, c,d)M(a,b,c, d) (fairedabordleproduitdesdeuxderni`eres). (4)Trouveruncrite`re,portantsura, b, c, d,pour queMsoit inversible et proposer un calcul de son inverse.
   2 4 33 816    8.cirtamseseonncOelerd`siA= 1 3 0 etB=3 712 .CalculerABet 01 11 23 11 BAup´dsireteenim(rAB) et(BA) .
9.Calculer l’inverse des matrices suivantes :       i22 33 20 1 0 1 2     A=B= 0i2C= 11 0D= 00 1 2 5 0 0i1 0 01 2 1 2 10.SoitAune matrice (n, n) telle queA=AetA6=I. MontrerqueAn’est pas inversible. 2 Trouver toutes les matrices (2,2) autres queIetO, telles queA=A. Quepeut-on dire de leurs lignes et de leurs colonnes?
  a b 11.SoitAuen=ee(2arr´icecmatr,`reveuqa.)2uorTontieclldionAest inversible et c d d´eterminersoninverse.
12.eeedmstaarsnop´sculerlatCalntva:esceriuiss      3 2 13 2   3 2 1    A0 1= 1, B=, C0= 1, D= 32 1. 1 0 1 2 1 02 1 t tt V´erierque(BC) =C B.
13.Soientaetbs,onconsid`ereledxu´reeslxe´esneelbmvius:tna
A={(un)n>0| ∀nN, un+2=aun+1+bun}
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(a) Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de l’espace des suites.   un+1 (b) Pour toute suite (un)n>0et toutn>cno,isnoolnn0eatricecod`erelamXn= .Pour un toute suite (un)n>0∈ A, exprimerXnen fonction deX0. (c)Ende´duireladimensiondeA.
14.SiA= (aijcecirtam(ee´rratune)esn, n), on appelle “trace” deAet l’on note trAla n P sommeaiites:.tnoMlrerrpseriopt´´esuesaniv i=1 t (a) tr(λA+µB) =λtr(A) +µtr(B) ,(b) tr(A) = trAtr(, (c)AB) = tr(BA),
1 (d) SiPest inversible, tr(P AP) = trA.
   1 1 1 a a 15.Soitn>2 et soientaR− {0},U= etV= .    .. 1n1 n1a a t t 1) Calculer la matriceH=U VpuisV U. 2 2)Ende´duireuneexpressiondeHen fonction deH. 3) Pour tousλRecirtamlare`eidnscoon,A=HλIno,`uIneit´tdinericeamatestln×n. 2 ExprimerAen fonction deAetIn. 4)Ende´duirequeAest inversible si et seulement siλ6= 0 etλ6=n. Pourλ6= 0 etλ6=n, 1 de´terminerA. k5)Onsupposed´esormaisqueλCalculer= 1.ApourkN. k 6) CalculerApourkZ.
2t 16.SoitAicecarr´eedetrmaneuM(n,R)´vreinatA= 2AA. t2t 1) Exprimer (Ain´esonldeairec)emmobmocianiAetA. t t 2) Montrer queAA=A A.   1 01 2t   3)Onsupposede´sormaisquen= 3 etA=erV´e1r1iuq0e.A= 2AA. 01 1 t t 4) CalculerAAetlexpdereai´einnlsoainibmocemmocremirAetA. t 5) SoitCle sous-espace vectoriel deM(3,Re´rdrap)eenngAetA. Montrerque le produit de deuxe´l´ementsdeCest encore dansCproduit dans. LeCest-il commutatif? t 6) Montrer que (A, Ae`emyststsnue)uired´ede.EnlibrednoisnemidalC. 7) Montrer qu’il existe une unique matriceJ∈ Ctelle queJ A=Aovas´vriA.e`rpeierqu´e t tt J=Jrequedd´ui,eJ A=Apuis queJ M=M J=Mpour toute matriceM∈ C. 8)De´duiredelaquestionpr´ec´edentequaucunematricedeCn’est inversible. 2 9) Montrer que s’il existe une matriceK∈ Ctelle queK=J, alors (J, K) est une base deC. 0 00 0 10) Pour tousx, y, x , yR, exprimer le produit (xJ+yK)(x J+y K) en fonction deJetK. Que remarque-t-on? 11)De´duiredelarelationobtenuedanslaquestionpr´ec´edente,quepourtoutematricenonnulle MdeC, il existe une matriceNdeCtelle queM N=N M=J. 2 12) Trouver toutes les matricesK∈ Cv´iertanK=J.
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t t 17.One´errcaecirtamenuuqtidA´eymtsesrtqieuisA=Ariquesitisym´ettenaA=A. SoientS(p,Ruqseteirrdedrocarricessym´´eesesedtrmae)lacsppetA(p,R) l’espace des matrices (i,j) anti-sym´etriquesdordrepnote. OnEles matrices deM(p,R) dont tous les coefficients sont nulssaufceluidelai`emeligneetdelaj`emecolonnequieste´gala`1. 1 (i,i) (i,j) (j,i) A) a) Montrer que les matricesEpour 16i6pet (E+E) pour 16i < j6p 2 forment une base deS(p,R).Enuired´eddamiuqlenoedneisS(p,R) estp(p+ 1)/2. 1 (j,i) (i,j) b) Montrer que les matrices(EE) pour 16i < j6pforment une base deA(p,R). 2 End´eduirequeladimensiondeA(p,R) estp(p1)/2. L c) Montrer queM(p,R) =S(p,R)A(p,R).
B) On appelle matrice magique deM(3,3;R) une matriceA= (aij) telle que les huit sommes ai1+ai2+ai3(16i63), a1j+a2j+a3j(16j63), a11+a22+a33eta13+a22+a31 sont´egales.Onnoteras(A) la valeur commune de ces sommes. a) Montrer que l’ensembleMades matrices magiques est un sous-espace deM(3,3;R). b) SiAmysitnateuqirte´qe,seuavtus(Alespaceterminer)D?e´Made toutes les matrices antisyme´triquesdeMa. + c)De´terminerlespaceMaqurideetems´syesictramselsetuotedMa. +d) Montrer queMa=Ma⊕ Maduirnd´eexpreunenoedseisseelottuatsmceria-smete giques. Quelleest la dimension deMa?
18.(Calculs par blocs)Montrer que siAetDislbvnreeeisra´resdescceriatsmdentso   A B formats respectifs (p1, p1) et (p2, p2) alorsMinversible et= est O D   111 1AA BD M=. 1 O D
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