Habilitation a diriger des recherches presentee devant

Stephane Bessy

Description

Niveau: Supérieur, Doctorat, Bac+8
Habilitation a diriger des recherches presentee devant L'UNIVERSITE MONTPELLIER II Ecole Doctorale I2S M. Stephane BESSY TITLE:- Some problems in graph theory and graphs algorithmic theory -

• definitions given below


• basic definitions


• counting edge-colorings


• leaf power graph


• graph theory

Sujets

• Graph theory

Informations

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• Langue: Français

Extrait

                              

UNIVERSITE PARIS-SUD FACULTE DES SCIENCES D’ORSAY

MEMOIRE

 Présenté pour obtenir   LE DIPLOME D’HABILITATION A DIRIGER DES RECHERCHES EN SCIENCE DE L’UNIVERSITE PARIS XI

Spécialité : Mathématiques

par

Laurent Fargues

Géométrie et cohomologie de certains espaces de modules p-adiques

 Soutenu le 30 novembre 2009 devant la commission d’examen :

M. Henri CARAYOL (université de Strasbourg) M. Jean-Marc FONTAINE (université Paris 11) M. Michael HARRIS (université Paris 7) M. Gérard LAUMON (Rapporteur, CNRS) M. Michael RAPOPORT (Rapporteur, université de Bonn) M. Richard TAYLOR (Rapporteur, université d'Harvard, absent)

´ ´ GEOMETRIE ET COHOMOLO

GIE DE CERTAINS p-ADIQUES

LAURENT FARGUES

` Table des matieres

ESPACES

DE

MODULES

1.Espacesdemoduleslocaux:ge´ne´ralit´es1 2.Re´sultatssurlacohomologiedesespacesdeRapoport-Zinkobtenuspardesm´ethodes globales 3 3. L’isomorphisme entre les tours de Lubin-Tate et de Drinfeld 4 4. Description de l’isomorphisme entre les deux tours au niveau des squelettes et ramification des groupes de Lubin-Tate 9 5.Autodualit´edelacohomologiedelatourdeDrinfeldsousl’involutiondeZelevinsky18 6.Invarianceparcompl´etionformelledelafiltrationdemonodromiesurlescycles ´evanescents22 7.FiltrationsdeHarder-Narasimhandessch´emasengroupesfinisetplatsetapplication aux groupesp-divisibles 23 8. Espaces de Banach-Colmez 27 Articlesp´ente´s31 res R´ef´erences31

´ ´ ´ 1.Espaces de modules locaux : generalites Dansmestravauxjemesuisint´eresse´auxespacesdemodulesdegroupespsfieinlbis´dse-ivid parRapoportetZink([22]),leurcohomologieetlare´alisationge´o´etriquedecorrespondancesde m Langlandslocalesdanscesespacesdecohomologie.Commen¸consparrappelerquelquesde´finitions et notations concernant ces espaces.

1.1.tinfi.noie´DSoitpnousenlcimreF.xiombrepreunnelaerutoˆuqirbe´gQ p deQ p . On suppose donn´euntriplet(G, b, )o`u: –Gurfsestrgnuepuode´ritcuQ p – siL=WF p )[ p ] etσ∈Aut(LesignesonFrobenius,)´dbest une classe deσ-conjugaison dans G(L) –:G m −tseocnuarace`tc → Q p anuscremiris`ulepGQ p )c-agsinoujs.`epron NotonsEndenjugaisosaesedocnoedallcedsproceitinfie´dl,uneniefidedn´rgeetxeoisn ˘ deQ p dansQ p . On noteEsionxtenel’et´edlpe´cemoleed´efiimarnonelamixamEdansQ p . On noteJ b leσ-centralisateur debdansG(L). Il s’agit desQ p ri´enteiund’reeup-iotndsu’enofmr sous-groupedeLevidelaformeint´erieurequaside´ploye´edeGodaLe´nn.egd´emalomecenprneutn mod`l entierGdeG. SoitG(Z p ) le sous-groupe compact ouvert deG(Q p sruq.eoLco´ia)sseGest e e nonramifi´eGefdtcuitnocsuppserar´edos´eG(Z p soppusencrofsapep´rspehyOnl.iaec)´ementG nonramifie´afind’inclurelecasdesespacesdeLubin-TateetdeDrinfeld.

Sous certaines conditions sur le triplet (G, b, ) Rapoport et Zink on construit dans [22] des espaces de modulesp´ilntr´spisecseuqulP.ida-nscontsot:uitr eme

Date: 4 mars 2009.

1

2G´eome´trieetcohomologiedecertainsespacesdemodulesp-adiques c –Unsch´emaformelMlocalement formellement de type fini sur Spf(O E ˘ ) muni d’une action continue deJ b eded´needeno’dnuetteenscM c M−→ c (σ) d ˘ eEa`E. ˘ ˘ – Une tourJ b ×G(Q p edscdeteenn´ondeeeei’dnudeaitnmenu´equivar)-Ea`EdeE-espaces analytiques au sens de Berkovich (M K ) K ou`Kparcourt les sous-groupes ouverts deG(Z p ) et telle que c M an =M G(Z p ) c c o`uM an afielegbrn´´eiqere´dngisdeueMau sens des espaces analytiques de Berkovich. Rappelonsrapidementlad´efinitiondecesespacesdanslecasleplussimple.Soientn, ddeux nombres entiers tels quen≥1 et 0≤d≤n. SoientG= GL nQ p ,G= GL nZ p , (z) = diag(z,    , z,1,    ,1) { } d−fois etb∈GL n (L) tel que l’isocristal (L n , bσ) soit l’isocristal covariant d’un groupep-divisible de dimensiondet hauteurnsurF p . SoitHun groupep-divisible surF p muni d’un isomorphisme (D(H)[ p ], ϕ) ∼ −→(L n , bσ) qui induit une identification J b = End(H) × Q  c On aE=Q p rmelmafoseL.e´hcMest alors tel que siSest unWF p urasemh´sc)-leuqelpest localement nilpotent c M(S) ={(H, ρ)}∼ ou`Hest un groupep-divisible surSet ρ:H× SpecF p ) S−→H× S S estunequasi-isoge´niedegroupesp-divisibles,S´esiddomnoludu´eioctangnartlpdeS. L’action de c c J b surMse fait viaρet l’action deJ b russeine´goisi-asquarpH. SurM an aclemolst`eunsyilya e´talep-adique de rangnodnnrlem´epaedeToduldaledetatamrofe´veninuio.Lleelrsseerˆvtemenest c (M K ) K⊂GL n (Z p ) deM an reprdelallesrtieedomoisntntae´es-nonostbotsunetrapviriisalioatpans ee ( ¸ a vivre dans le sous-groupeKt,ensici´eems´.)lPsurpK⊂GL n (Z p ) dromie associ´ en la forcant ` c est un sous-groupe ouvert alorsM K prreelntse´eurcsaefeialase´uteM an  (p k ZZ) n , H univ [p k ] an  K − o`uk≫0 est tel que Id +p k M n (Z p )⊂KetH univ d´esignelepeougrpala`e´icossaeblsividi- c d´formation universelle surM. e

1.2.Cohomologie.Soitℓimeridremonnperbueff´erentdp. On noteW E le groupe de Weil deE. L’objetprincipalauqueljemesuisinte´resse´estlesuivant.PourKlecaagdrnoerxfie´ieologohom ´etaleℓroppusaeuqida-ueeqlltectpaomtcd´efinieparVladimrieBkrvocih ` H c • (M K ⊗ ˆ C p ,Q ℓ ) Celle-ci est une munie d’une action deJ b ×W E ocaitu`’lnoedJ b deseistli(finpetyiovnereja`ese math`ese[F2]pourlespropri´ete´sdebasedecesrepr´esentationsquisontd´eduitesdediversre´sultat deBerkovichpourlage´ome´trieetdeBernsteinpourlath´eoriedesrepre´sentations). Bienquelarepre´sentationdeJ b rpenedc´´e,teH c • (M K ⊗ ˆ C p ,Q ℓ ), soit de type fini elle n’est pas engen´eraldelongueurfiniei.e.n’estpasadmissible. ´

AfindeconstruiredescorrespondancesdeLanglandsj’airegard´elaconstructionsuivante.Soit π aune repre ´senttionlisseirr´eductibledeJ b iefficoeacsansdnt`Q ℓ disnoC.snore´ lim Ext • J b  H c • (M K ˆ ⊗C p ,Q ℓ ), π   −→ K