I s et s sont des similitudes indirectes donc leur composee r s s est une similitude directe C'est de plus une isometrie comme composee d'isometries

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Exercice 1 I-1. s et s? sont des similitudes indirectes, donc leur composee r = s? ? s est une similitude directe. C'est de plus une isometrie comme composee d'isometries. Par ailleurs, I est un point fixe de r, donc r est une rotation de centre I. Soit ? son angle. Pour un point M de D, different de I, D? est bissectrice de l'angle (??? IM, ????? Ir(M) ) donc ? est le double de l'angle (??uD, ??uD?) de vecteurs directeurs ??uD et ??uD? des droites D et D?. I-2. (a) D'apres la question precedente : s2 ? s1 = r2 et s3 ? s1 = r. Toute symetrie axiale est sa propre reciproque. Ainsi :{ M2 = s2(M) = s2 ? s1(M1) = r2(M1) M3 = s3(M) = s3 ? s1(M1) = r(M1) (b) M1M2M3 est donc un triangle equilateral indirect de centre O. II-1. M1 est le symetrique de M par rapport a l'axe des abscisses, donc d'affixe z = ?e?i?. M2 = r2(M1) donc M2 est d'affixe e4ipi/3z = j2z. M3 = r(M1) donc M3 est d'affixe e2ipi/3z = jz.

• cercle de centre ? d'affixe ?1 et de rayon


• cercle de centre ?1 de rayon


• affixe e2ipi


• ??? bak


• pi ? ?


• point d'intersection des droites d'equations


• pi ?


• equation du cercle trigonometrique

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• Langue: Français

Extrait

Exercice 1 0 0 I-1.setsesnodtseisimildetundsiecirs,tecnodruelpmoce´sor=s◦sest une similitude directe. C’est deplusuneisome´triecommecompose´ed’isom´etries. Par ailleurs,Iest un point fixe der, doncrest une rotation de centreI. Soitθson angle.   −→ −−−→ 0 Pour un pointMdeD´ffid,etdenerI,Dest bissectrice de l’angleIM , Ir(M) doncθest le double −→−→−→−→ 0 de l’angle (u D , u D ) de vecteurs directeursu D etu D des droitesDetD. 0 0 2 I-2.(a)D’apre`slaquestionpr´ec´edente:s 2 ◦s 1 =rets 3 ◦s 1 =r. Toutesym´etrieaxialeestsaproprer´eciproque.Ainsi:  2 M 2 =s 2 (M) =s 2 ◦s 1 (M 1 ) =r(M 1 ) M 3 =s 3 (M) =s 3 ◦s 1 (M 1 ) =r(M 1 ) (b)M 1 M 2 M 3 rintcuoneqe´glanre´taliueridnilactdecentresedtO. −iθ II-1.M 1 edqueetselys´mteirMpaaprrrtpo’la`dexabasesicsex’dffiaodcnes,sz=ρe. 2 4iπ/3 2 M 2 =r(M 1 ) doncM 2 est d’affixee z=j z. 2iπ/3 M 3 =r(M 1 ) doncM 3 est d’affixee z=jz. II-2. Notonssysalte´m’aed(xeearialxiBC).Jest l’intersection de (OA) et (BC), et ces deux droites sont orthogonales doncs◦s 1 =s J o`us J al´mysirtecedeentreJ(qui est aussi la rotation de centreJd’angle de mesureπ). Ainsis=s J ◦s 1 doncM 4 =s J (s 1 (M)) =s J (M 1 ) :Jest le milieu du segment [M 1 , M 4 ]. −iθ M 4 a pour d’affixe−1−z=−1−ρe. II-3. (a)On prendz6= 0 i.e.M6=O. (−1−z)−jz M 2 ,M 3 etM 4 ulseenemesn´etsiostnlagiistS.´eelestr= 2 j z−jz 2 −1 +j z Or :S= √ doncM 2 ,M 3 etM 4 nest:ialntsomeluesteisse´ngi −i 3z 2 −1 +j z−1 +jz = . −iziz 2 2 2 Ceciest´equivalenta`:z+z= (j+j)|z|et en posantz=x+ iy, (x, y)∈R, on obtient la 2 22 2 conditione´quivalente:2x=−x−ysoit (x++ 1)y= 1. L’ensemble des pointsMtels queM 2 ,M 3 etM 4 ertnecedlerccelencdostseatilnge´sioneω d’affixe−1 et de rayon 1 (Oy compris, car dans ce cas particulier,M 2 etM 3 sont confondus). (b)Ωdoitˆetresurlam´ediatricede[M 2 , M 3 ]. Le triangleM 1 M 2 M 3 reeqt´es´treiualectnlaedOdonc celle-ci est la droite (OM 1 ). −iθ−iθ−iθ−iθ  (c)λΩuetqaiefrlpa´emrnie´etsedtM 3 = ΩM 4 , i.e.ρje−λe=−1−ρe−λe. 2 2 2 Cecieste´quivalenta`:λ+ρ+λρ= (λ+ρ1 + 2() +λ+ρ) cosθ −1−2ρcosθ soita`λρ+ 1 + 2(λ+ρ) cosθuo0=a`λ= . ρ+ 2 cosθ (L’ensemble des points tels queρ=−2 cosθest le cercle de centre−1 de rayon 1). p 2 2 (d) AinsiR= ΩM 2 =λ+ρ+λρavecλci-dessus. 2 22 (e)R= 1 si et seulement siλ+ρ+λρa`aviutnelesuieqt´=eq1c 2 22 2 (1 + 2ρcosθ) +ρ(ρ+ 2 cosθ)−ρ(1 + 2ρcosθ) (ρ+ 2 cosθ) = (ρ+ 2 cosθ) 2 24 32 22 soit`a1+4ρcosθ+ 2ρcosθ+ρ+ 2ρcosθ−ρ=ρ+ 4 cosθ+ 4ρcosθ    4 22 22 oua`ρ−2ρ+ 1 + 2ρ ρ−1 cosθ+ 4ρ−1 cosθ= 0,    2 22 ´equivalent`a:ρ−1ρ+ 2ρcosθ+ 4 cosθ−0.1 = 2 2 Commeρtseiuqe´lavitneesostpifitec,cρ= 1 ou (ρ+ cosθ) +3 cosθ−1 = 0 cequidonnelarelationdemande´e. II-4.Laconditiondemande´es’´ecritR=ρ,´equi:elava`tn 2 24 32 42 23 1 + 4ρcosθ+ 2ρcosθ+ρ+ 2ρcosθ−ρ=ρ+ 4ρcosθ+ 4ρcosθ   2 soita`1−ρ(1 + 2ρcosθ) = 0.

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1 Onobtientdonclar´eunionducercledecentreOn1nteedaledaroy´equatiodroited’x=− 2 qui est la droite (BC). LorsqueMa`stircsti,edaoruslretsrconesciercllescM 1 M 2 M 3 etM 2 M 3 M 4 sont confondus, de centreOde rayonOM, et lorsqueMsterlsuerecetclogir´monirte,euqeuxlesd cerclessontsym´etriquesparrapport`a(M 2 M 3 ). III-1.Parparit´e,ilsuffitdefairel’e´tudesur[0, π]. 0 a)ssur[0revibaelets´d, π] ets(θcos) = 6θsinθ= 3sin (2θ) h ih i π π doncsest croissante sur0,suranteoiss´ecredt, π 2 2 (ce que l’on pourrait voir directement avec les variations de cos). 1 1 s(θ) s’annule lorsque cosθvaut − √ ou √ , est positif 3 3   1 1 lorsque cosθest dans − √ , √ geta,´nnon.ifsi 3 3 Commecosestcontinuestrictementde´croissantesur 1 I= [0, π(] et puisque cosI) = [−1,1] contient √ , il existe 3 1 ununiquer´eelα∈[0, π] tel que cosα= √ . 3 −1 Alors cos(π−α)eiqunl’stdlee´reu0[e, π] pour lequel cos prend la valeur √ . 3 0 sontd´ecntigaurfs0[se, α] et [π−α, π], positif surE= [α, π−α]. Parparit´e,onende´duit:E= [−π+α,−α]∪[α, π−α] (b)L’´etudepr´ece´denteconduitautableaudevaleurs: θ0π/6π/4α π/3π/2π−α π s(θ)−2−7/2−1/2 0 1/04 1−2 Lapropri´ete´s(θ) =s(−θparrtrop’la`dexatses´eymiqtrpaueesabscisses.qeeussruruebaloc)a Laproprie´t´es(θ) =s(π−θxe’asdepeuqarraroppla`tourbeestsym´etri)sauseruqleca ordonne´es.

Trace´sur[0, π´esuTrac]r[−π, π] III-2.(a)Parparit´e,one´tudier 1 sur [α, π−α].  2 2 1−3 cosθ= cos θ π r 1 (θ.soit en) est nul si et seulement si cosθ>0 3 θ απ/3π/2π−α √ √ (b) Onobtient le tableau : r 1 (θ)−1/1 13 0/3 etr 1 (θ) =r 1 (−θr)aarppro`tlaa’exdesabscisses.ussauqercalebruosteem´syrietepqu Cecidonneletrace´,successivementsur[α, π−α] puis surE:

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0 0iθ0iθ III-3. Dansla partie II, prendre le pointMd’affixez=ρ eavecρ <cevarer0`antieevllaiavtrz=ρe 0 0 ou`ρ=−ρetθ=π+θ. 2 20 02 20 La condition (ρ+ cosθ) =1−3 cosθe´srviuqnelaa`e(teslotaρ+ cosθ) =1−3 cosθ. ρ= 1 ouρ=−qirt.eunogie´mo1e´eqesrnujuuotsotletrcerconduuati

+ PrendreρdansRou dansRne change donc rien `alapartieII,etl’ensembletrouve´enII.3.eestla r´eunionducercledecentreOet de rayon 1, de la courbepre´ce´denteetdelacourbed´efiniepar p 2 r 2 (θ) =−1−(3 cosθ)−cosθ. Mais commer 2 (θ) =−r 1 (π−θ,lescourbesd´efineis) parr 1 etr 2 rietm´syrrpaesqua`troppasedexa’lostn abscisses. Lacourbede´finieparr 2 ´delinfienodtleccaresper 1 .

Exercice 2    3 7 1. Lafonctiong:x7→f x+−f(x) est continue sur0,et jamais nulle, donc de signe constant 10 10 sinonelles’annuleraitd’apr`esleth´eor`emedesvaleursinterme´diaires.Supposonsparexempleque:    7 3 ∀x∈0, ,f x+−f(x)>0. 10 10      3 6 9   0 =f(0)< f< f< f 10 10 10     Alors : 1 4 7   f <f <f <f(1) = 0 10 10 10     1 33 44 6 D’apre`sleth´eor`emedesvaleursinterm´ediaires,fs’annule donc sur,, sur,, sur,, 10 1010 1010 10    6 77 9 sur,et sur,. En rajoutant 0 et 1, cela donne au moins 7 annulations. 10 1010 10 2.Commeexempled’unetellefonction,ilsuffitdeprendrel’applicationcontinueaffineparmorceauxde´finie par :

    1 34 f(0) = 0,f=−3,f= 1,f=−2, 10 1010     6 79 f= 2,f=−1,f= 3,f(1) = 0 10 1010   3 quive´rifief x+−f(x) = 1 10   7 pour toutx∈0,. 10

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