Introduction a la Cryptologie Chapitre Anneaux euclidiens principaux factoriels

Michael Eisermann

Description

Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 10 : Anneaux euclidiens, principaux, factoriels Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto 1/37

• divisibilite definit


• anneaux euclidiens


• maniere elegante dans le langage des ideaux


• divisibilite


• anneau integre


• lemmes de gauss et d'euclide anneaux factoriels


• corps algorithmes d'euclide et de bezout factorisation des polynomes


• corps polynomes

Sujets

• Divisibilité
• Anneau intègre

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Extrait

Introduction ` alaCryptologie Chapitre 10 : Anneaux euclidiens, principaux, factoriels

Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)

Anne´ e  2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2

document mis a` jour le 7 juillet 2009

www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto

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Objectifs de ce chapitre

Pouretudierunanneauils’av ` ereextr ˆ emementimportantdecomprendre ´ lesfa¸consdede ´ composerune ´ le ´ mentdonne ´ enfacteursplussimples. L’exemplephareestleth ´ eore ` mefondamentaldel’arithme ´ tique: Toutentiersefactorisedemani ` ereuniqueenentierspremiers. L’e ´ nonc ´ eanalogueestvraidanslesanneauxdits«factoriels» qui forment ainsi une classe d’anneaux tre`  s utiles.

D ´ eveloppementmath ´ ematique: Divisibilite ´ dansunanneauint ` egre: ´ el ´ ementsassocie ´ s,pgcd, ´ el ´ ementsirre ´ ductiblesetpremiers. La trilogie des anneaux : euclidien⇒principal⇒factoriel. Applicational’anneaudespolyn ˆ omessuruncorps. `

De´ veloppement  algorithmique : G ´ ene ´ raliserlesalgorithmesd’Euclideetd’Euclide–B ´ ezout. Application aux anneaux quotients : repre´  sentants et algorithmes.

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Sommaire

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Anneaux euclidiens, principaux, factoriels Divisibilite´ et pgcd dans un anneau int `  e egr Anneauxeuclidiens,algorithmesd’EuclideetdeB ´ ezout Anneaux principaux, lemmes de Gauss et d’Euclide Anneauxfactoriels,probl ` emesalgorithmiques

Polynomes sur un corps ˆ Algorithmes d’Euclide et de Bezout ´ Factorisationdly ˆ omessuruncorps es po n Polyn ˆ omesirr ´ eductiblessuruncorps

Exercices Anneaux euclidiens et stathmes minimaux Id ´ eauxprincipauxetnonprincipaux Pgcd, polynoˆ  mes  irre´  ductibles, factorisations Factorisations non uniques

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