Introduction a la Cryptologie Chapitre Classification et construction des corps finis

Michael Eisermann

Description

Niveau: Supérieur, Master
Introduction a la Cryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble) Annee 2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2 document mis a jour le 7 juillet 2009FOURIERINSTITUTfi www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours _ crypto 1/32

• isomorphisme de groupes exp?


• corps de cardinal pn


• caracterisation des polynomes irreductibles sur fp corps


• unicite du corps de cardinal pn


• corps fini

Sujets

• Corps fini

Informations

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Extrait

Introduction ` alaCryptologie Chapitre 11 : Classification et construction des corps finis

Michael Eisermann (Institut Fourier, UJF Grenoble)

Anne´ e  2008-2009 IF / IMAG, Master 1, S1-S2

document mis a` jour le 7 juillet 2009

www-fourier.ujf-grenoble.fr/~eiserm/cours # crypto

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Objectifs de ce chapitre

Les corps finis sont une des plus belles structures alge´  briques. Ils sont  `a  la base de nombreuses applications algorithmiques, notamment en cryptographie et en codage de l’information.

Nous connaissons de´ j `a  le corpsF p =Z/pZou`pest un nombre premier. Cechapitre ´ etablitd’abordlaclassificationde tous les corps finis : 1 Tout corps fini est de cardinalp n `oupest premier etn≥1. 2 Pour tout tel couple(p n)il existe un corps de cardinalp n . 3 infisprocxueDalinrdcame ˆ eemsdrohpse.ostnsimo

Cesuperber ´ esultat,dˆua ` Galois,estunbijoudel’alge ` bredu19esie ` cle. Pourlerendreeffectifsurordinateur,ilfautne ´ anmoins ˆ etreplusexplicite. Le de´  veloppement choisi ici explicitera commentconstruirentmete ` ercnoc un corps de cardinalp n donne´ puis comment l’imple´ menter sur ordinateur.

Litt ´ eraturepourallerplusloin: Lidl & Niederreiter,Finite Fields, Cambridge 1997. Gathen & Gerhard,Modern Computer Algebra, Cambridge 1999.

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Sommaire

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3

4

Structure d’un corps fini Sous-corps premier et cardinal d’un corps fini Automorphismes d’un corps finis Sous-corps d’un corps fini

Unicit ´ educorpsdecardinalp n Caracte ´ risationdespolyno ˆ mesirr ´ eductiblessurF p re Corpsfinisetpolyn ˆ omesir ´ ductiblessurF p Unicite´ du corps de cardinal p n

Construction des corps finis De´ composition  deX p n −XdansF p [X] Comptagedespolyn ˆ omesirr ´ eductibles Construction du corps fini de cardinalp n

Exercices

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