Introduction a la methode des volumes finis

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5

• cours - matière potentielle : du temps


• cours - matière potentielle : precedents du m2

Introduction a la methode des volumes finis J. Vovelle October 13, 2011 1 Principe de conservation - Equation de con- servation On suppose connue l'etude du probleme de Cauchy pour les lois de conservations scalaires hyperboliques ou paraboliques (cf. cours precedents du M2). On fera les rappels correspondants lorsque c'est necessaire. 1.1 Loi de conservation : un exemple Commenc¸ons par un exemple simple : soit un axe infini repere par R, vu comme la limite d'un cylindre infiniment mince, contenant un fluide de densite ? en deplacement au cours du temps. On designe par x la variable de position le long du cylindre (x parcourt R) et on designe par t la variable de temps (t parcourt [0,+∞[). La densite est une fonction ? : R? [0,+∞[? R+. Au temps t, la masse de fluide presente entre les abscisses x et y (x < y) est masse entre x et y au temps t = ∫ y x ?(z, t)dz. En particulier, en premiere approximation, la masse de fluide contenue au temps t dans une tranche de cylindre reperee par les abscisses x et x+ dx est donnee par densite en (x, t)? “volume” de la tranche = ?(x, t)dx.

• quantite d'energie dans ?


• masse de fluide


• loi de conservation


• ?? ?


• masse de fluide entree en x? ?? ?


• conservation de la masse


• energie

Sujets

• Loi de conservation
• Conservation de la masse
• Énergie

Informations

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• Langue: Français

Extrait

Introduction`alame´thodedesvolumesfinis J. Vovelle October 13, 2011

1 Principe de conservation - Equation de con- servation Onsupposeconnuel’e´tudeduprobl`emedeCauchypourlesloisdeconservations scalaires hyperboliques ou paraboliques ( cf. courspre´ce´dentsduM2).Onfera lesrappelscorrespondantslorsquec’estn´ece´ssaire. 1.1 Loi de conservation : un exemple Commenc¸onsparunexemplesimple:soitunaxeinfinirepe´r´epar R , vu comme lalimited’uncylindreinfinimentmince,contenantunfluidededensite´ ρ en de´placementaucoursdutemps.Onde´signepar x la variable de position le long du cylindre ( x parcourt R )etonde´signepar t la variable de temps ( t parcourt [0 , + ∞ [).Ladensit´eestunefonction ρ : R × [0 , + ∞ [ → R + . Au temps t ,lamassedefluidepr´esenteentrelesabscisses x et y ( x < y ) est masse entre x et y au temps t = Z x y ρ ( z, t ) dz. En particulier, enpremie`reapproximation , la masse de fluide contenue au temps t dansunetranchedecylindrerepere´eparlesabscisses x et x + dx estdonne´e ´ par densit´een( x, t ) × “volume” de la tranche = ρ ( x, t ) dx. Soit maintenant q lede´bitdefluide:entredeuxinstants t 1 et t 2 ( t 1 < t 2 ), la massedefluidetraversant`al’abscisse x est Z t 1 t 2 q ( x, t ) dt. En particulier, enpremie`reapproximation , la masse de fluide traversant la sec- tiondecylindrerepe´re´eparl’abscisses x entre les instants t et t + dt estdonne´e par d´ebiten( x, t ) × laps de temps = q ( x, t ) dt.

Question 1 Quelleestl’´equation(auxd´eriv´eespartielles)liant ρ et q ?

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1.2Mode`ledutraficroutier Avantder´epondre`alaquestionpose´e,observonsqu’ilestint´eressantd’´ecrire unetellee´quationauxde´riv´eespartiellessionad´ej`elation q = f ( ρ ) (on a une r peut alors calculer ρ ). Un exemple de cette situation, c’est la mode´lisationdu trafic routier .Jede´taillecemode`le,caronl’´etudieraparlasuite. Unmode`lee´l´ementaire(´ele´mentaire,maispertinentdanscertainessituations) pour le trafic routier est donc le suivant : la route est sur une voie unique, droite,assimile´ea`l’axer´eel R .Lesv´ehiculesnesontpasconsid´er´eesisol´ement, mais (en prenant du recul), comme un tout : soit ρ ladensite´deve´hicules, ρ =0correspondant`auneroutevide, ρ =1a`desve´hiculespare-choccontre pare-choc.Commentd´efinit-t-onled´ebit q ?C’estl`aqu’onfaitl’hypoth`esede mode´lisation,quipeutˆetresujettea`discussion. Prenons q = ρv ou` v estlavitessedesv´ehiculessuppos´eenede´pendreque de ρ : v = v ( ρ ).L’exempledelare´aliteconduita`prendre v d´ecroissanteen ´ fonction de ρ et nulle lorsque ρ = 1 (embouteillage). On choisit par exemple v = v max (1 − ρ ). On obtient la relation q = v max ρ (1 − ρ ) , (1) pourlamode´lisationdutraficroutier. 1.3R´eponse`alaQuestion 1 R´epondonsmaintenanta`laquestionci-dessus:soitunetrancherepe´r´eeparles abscisses x et x + dx etconside´´dantlesinstants t et t + dt . On ree pen a, par conservation de la masse , Masse de fluide entre x et x + dx a`l’instant t + dt | {z } + dx R xx ρ ( z,t + dt ) dz = Masse de fluide entre x et x + dx `al’instant t | {z } R xx + dx ρ ( z,t ) dz + | Masse de flui { d z eentr´eeen x } − Masse de fluide sortie en x + dx, | {z } R tt + dt q ( x,s ) ds R tt + dt q ( x + dx,s ) ds soit, enpremie`reapproximation ,l’e´quation ( ρ ( x, t + dt ) − ρ ( x, t )) dx + ( q ( x + dx, t ) − q ( x, t )) dt = 0 . (2) On a, enpremi`ereapproximation de nouveau, ρ ( x, t + dt ) − ρ ( x, t ) ∂ρ t ( x, t ) dt, q ( x + dx, t ) − q ( x, t ) = ∂ ∂ q x ( x, t ) dx. = ∂ De ( 2 ),onde´duitdoncla loi de conservation ∂ ∂t ρ ( x, t ) + ∂ ∂ q x ( x, t ) = 0 , x ∈ R , t ≥ 0 . (3) Lar´eponse`alaQuestion 1 est donc ( 3 ). On appelle ( 3 ) une loi de conservation , bienquecesoitenr´ealit´elenomattribue´auprincipephysiquesous-jacent(la 2

conservationdelamasse).Remarquonsd’ailleursquenousl’avonsd´eduit( 3 ) deceprincipephysique(laconservationdelamasse),delade´finitionde ρ et q , et enfin de certaines approximations non exactes sur lesquelles on reviendra plusloin.Oncherchera`ar´esoudreleproble`med’´evolutionconstitue´de( 3 ) et deladonn´eeinitialesuivante ρ ( x, 0) = ρ 0 ( x ) , x ∈ R , (4) `u ρ 0 connue(Probl`emedeCauchy). o Exercice 1 Que donne ( 3 )danslecasdumod`eledutraficroutier?Soit ρ 0    0 si x < − 1 / 2 ( x ) = x + 1 / 2 si − 1 / 2 ≤ x ≤ 1 / 2 .   1 si 1 / 2 < x V´erifierquelafonction ρ de´finiepar  0 si x < − x ∗ ( t ) x     1 t ) + 1 / 2 s s i i x − ∗ ( x t ) ∗ ( < t ) x ≤ x ≤ x ∗ ( t ) , ρ ( x, t ) = 2 x ∗ ( ou ` x ∗ ( t ) := 1 / 2 − v max t, estsolutionduproble`me( 3 )-( 4 ) sur R × (0 , 2 1 ) . Que se passe-t-il au temps v max 1 = t 2 v max ?Interpr´etezlere´sultatentermedetraficroutieretenterme depertedere´gularite´pourlesloisdeconservationdupremierordrecomme ( 3 ).Enfin,vousparaıˆt-ilpertinentdeconsid´ererleprobl`eme( 3 )-( 4 ) avec une donnee ρ 0 non continue, par exemple ´ ρ 0 ( x ) = ( 1 0 s s i i x x < > 0 0 , ρ 0 ( x ) = ( 1 1 / 2 si x < 0 si x > 0 , (denouveau,interpre´tezentermedetraficroutier). 2 Principe de conservation en dimension quel- conque Soit maintenant Ω un ouvert de R d , d ≥ 1. Notons x ∙ y le produit scalaire canonique de deux vecteurs x et y de R d . Soit u ∈ R N , N ≥ 1,o`uchaque composante u i , 1 ≤ i ≤ N de u repr´esenteladensite´d’unequantit´ephysique consid´ere´e(densite´demasse,dequantite´demouvement,d’e´nergie,decourant, de chaleur, etc.) dans Ω. Soit, pour 1 ≤ i ≤ N , q i ∈ R d le flux correspondant a` u i . Fixons i ∈ { 1 , . . . , N } etsupposonspourfaciliterlevocabulaireemploye´ que u i estunedensit´ed’´energieetsupposonsqu’ilexisteunesourceouunpuit d’e´nergiedanslesyst`emerepr´esent´eparunefonction f i . On a alors pour tout ouvert ω re´gulieravec ω ⊂ Ω, pour tout t 1 < t 2 , Energie totale dans ω au temps t = Z ω u i ( x, t ) dx, 3