INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF JEAN-BAPTISTE MEILHAN Abstract. On donne une formule de chirurgie pour l'invariant de Casson d'une sphere d'homologie entiere obtenue de S3 par chirurgie le long d'un en- trelacs de type Hopf, i.e. un entrelacs a 2n composantes dont la meme matrice d'enlacement est celle de l'union disjointe de n entrelacs de Hopf positif. 1. Introduction On dit qu'un entrelacs frame L de S3 a deux composantes est de type Hopf si le framing de chaque composante est nul et son nombre d'enlacement vaut 1, ie si L a la meme matrice d'enlacement que l'entrelacs de Hopf positif. Notre premier resultat donne une formule pour la variation de l'invariant de Cas- son ? des spheres d'homologie entiere lors de la chirurgie le long d'un tel entrelacs. Theoreme 1.1. Soit L = L1 ? L2 un entrelacs de type Hopf dans S3. On a ?(S3L) = a3(L)? a2(L1)? a2(L2), ou ai(K) designe le coefficient de zi dans le polynome de Conway d'un entrelacs K. On rapelle la definition du polynome de Conway dans 2.1. Remarque 1.2. Pour un entrelacs L = L1 ? L2 a deux composantes, soit ?1(L) = a1(L) = lk(L) et ?2(L) = a3(L)? a1(L).

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INVARIANT DE CASSON ET
CHIRURGIE DE TYPE HOPF
JEANBAPTISTE MEILHAN
Abstract.On donne une formule de chirurgie pour l’invariant de Casson 3 dunesphe`redhomologieenti`ereobtenuedeSpar chirurgie le long d’un en trelacs de type Hopf,i.e.a2acs`trelunennaltnodsetnasopmocceriatememmˆ d’enlacement est celle de l’union disjointe denentrelacs de Hopf positif.
1.Introduction 3 Onditquunentrelacsfram´eLdeSnaetpmsoestsuxco`adede type Hopfsi le framing de chaque composante est nul et son nombre d’enlacement vaut 1,iesiL alameˆmematricedenlacementquelentrelacsdeHopfpositif. Notrepremierr´esultatdonneuneformulepourlavariationdelinvariantdeCassonλlecanerttnledgus.enie`etiloredershcalrurileignoledesshpe`erdshmologo 3 Th´eor`eme1.1.SoitL=L1L2un entrelacs de type Hopf dansSa. On 3 =a3(L)a(L1)a2 λ(SL)2(L2), i ou`ai(K)e´dcoentdieegnsiecelzlacsntrenoCedemoenudyawnsdanˆlypole K. Onrapellelade´nitiondupolynˆomedeConwaydans§2.1. Remarque1.2.Pour un entrelacsL=L1L2t`odias,setnasopmocxueδ1(L) = a1(L) =lk(L) etδ2(L) =a3(L)a1(L).(a2(L1) +a2(L2)). Nakanishi et Ohyama ontmontr´equeδ1etδ2csoemnptorsealnascis`eadnetulxeniklcsaet`salΔ homotopie(ouselfΔequivalence)pre`s[5,Thm.3].Ilsmontrentaussique,si δ1(Lemtnr,aimpties)eriassece´nsrolaδ2(L) est un entier pair [5, Cor. C]. Pour un entrelacs de type HopfLnodsvsyorahTnopc`eme´eorue1.1qou,nδ2(L) = 3 3 λ(Siaptse)ipqucerreettˆeuoyovedsn.tnesuoNrediemcterv´´eiplusqueλ(S) L L estinchange´lorsquelonappliqueunΔmouvementsurunecomposantedeL.
Cetteformulepeutˆetreg´ene´ralise´ecommesuit. 3 Pournelacsfram´e,1noidqtununertLdeS2a`ncomposantes estde type Hopfsi sa matrice d’enlacement est celle de l’union disjointe denentrelacs de Hopf positif. On appellepaire de Hopfstuotelacs`adousentrastnseeduecxmoopLdont l’enlacement vaut 1. On noteN={1, ...,2n}tout sousensemble. Pour INotnod,ngise´dnaer le cardinal par|I|, on noteLI:=iILile sousentrelacs deL`a|I|composantes associe´.Onnotep(I) le nombre de paires de Hopf deLincluses dansLI.
3 The´ore`me1.3.SoitLa`fpytedoHeprentcslaneu2ncomposantes dansS, pour n1on a. Alors X 3p(J)+1 λ(S L) = (1).a|J|+1(LJ), JN;J6=i o`uai(K)neleesigciencoeedt´dznertlecasmeˆoCodeaynwundnadpelsnylo K. 1
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J.B. MEILHAN
Remarque1.4.Pournonnesredlafobien1=niuoc,ceou.P.1e1rtudelumrme`roe´h nnsdacale`astredialeredscudstnen`aquatretyep,ecH=o2pfetsocpmsona 1 1 2 2 L= (LL)(LL), on a 1 2 1 2   X 3i j ji j j λ(S) +a(LLL) +a(L L) =a5(L4 1 41 2 LL) 2 1 2 1i6=j2   X X   i i i j i i )a(LL)a(L) +a +a3(L1L22 3 2 1 1 2 (L). 2 1i6=j2 1i2
2.Une formule de chirurgie pour l’invariant de Casson Dans cette section, on rappelle une formule de chirurgie pour l’invariant de CassonWalkerLescop, due a C. Lescop [3, p. 1920], qui fait intervenir, outre lamatricedenlacementdelentrelacsdechirurgie,lepolynˆomedeConway. 3 2.1.nway.LpelonyoˆemedoCSoitLun entrelacs deS, etSune surface de Seifert connexe pourLune base de: pour H1(Sennotee,oonn´d)Mla matrice de 1T Seifertassoci´ee.Alorslede´terminantdet(xMx M)estunpa`ocfelonyoˆem 1 ficients entiers en la variablez=xxe´n,toL(zle) : opomedlynˆwayeCon. Cestuninvariantdesentrelacs,etilve´rielarelationskeinsuivante: (z)− ∇(z) =z(z),
o`u,etsontdesentrelacsidentiquesendehorsdunepetite bouledanslaquelleilssontcommerepre´sente´s.Onanœud trivial= 1, et donc L= 0 pourLual`scrtviaientneralk >En fait,1 composantes. L= 0 pour tout entrelacssceni´dcslarentteouetira`dset,cLrirce´stnavuopmocenueminueno ′ ′′ ′ ′′ L=LLavecLetLdeux sousentrelacs contenus dans des boules disjointes 3 deS. Remarque2.1.nalsD`oucesaLnnœuestupolyd,lealedwaonstyeomnˆeCed forme 2 4 L(z) = 1 +c2z+c4z+... Defac¸onge´ne´rale,siLlarentnetuesa`scnsetnasopmocwnyadeCoˆomeolyn,lep est de la forme n1 2 4 L(z) =z(c0+c2z+c4z+...). 2.2.Quelques notations.Pour simplifier un peu les choses, on va ici se restrein 3 dreaucasdespre´sentationsdechirurgieei`erentdansS. 3 SoitL=L1...Lnfrcslarentneua`e´mancomposantes dansSnombre. Le d’enlacementlk(Li, Ljnoraet´se)lij, et le framing de la composanteLiet´noraessi. Rappellons que l’on suppose ici quesiZpour touti. La matrice d’enlacement de l’entrelacsLeeetson´tE(L),etond´esiarepgnb±(L) le nombre de valeurs propres positives(resp.ne´gatives)deE(L). On noteN={1, ..., n}. Pour tout sousensembleINisngrelaneootdne´,d cardinal par|I|, on noteLI:=iILile sousentrelacs deLint´dee,i´onetaocss lamatricecarr´eeE(LN\I;I) = (nij)(i,j)d’ordreN− |I|par :  P si+liksii=j kI nij= lijsinon.   0 1 Par exemple, siLesneturentscalc2a`opmotnasecesavE(L) = , alors 1 0 N={1,2}etE(L;{1}) =E(L;{2}) = (1). N\{1}N\{2}
INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF
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3 2.3.Formule de chirurgie.va3i´arsoaselndnairCedtLavnieundeboettee´S parchirurgielelongdelentrelacsfram´eLpa´enndosterlaformule X   3b(L)|J|+1 ) λ(SL= (1) detE(LN\J;J).(1).a|J|+1(LJ) JN;J6=b(L) X   (1) |J| + (1).detE(LN\J)(LJ) 24 JN;J6=3b+(L)b(L) +|H1(S)|, L 8 ou` |J|+1 a|J|+1(LJicnedteeneloced´)igeszedyawnoCedolynˆomedupLJ. θb(LJ) si|J|>2 θ(LJ) =θb(LJ)2lijsiJ={i, j} θb(LJsi) + 2 J={i} o`uθb(LJrmule)dtse´nnorapeofal   X X X   l .l ...l l .l ...l , 1σ(1) 2σ(2)|K|σ(|K|)ig(1)g(1)g(2)g(|I\K|)j   2 KJ σ, perm. cycl. (i,j)K K6=de{1, ...,|K|} gσJ\K ou`lanotationσKoisnedctjebiesedblemnselengise´d{1, ...,|K|}versK. Remarque2.2.Par convention, le determinant d’une matrice vide est toujours 1.
Remarque2.3.e´denasˆomedeConwaydonnuopnieksnylopelrLlemuoraf§2.1 e die`reparunsignecelledonne´edans[3,p.27].Sionnotel’invariant d’entrelacs n de´niparlaformulaskeinde[3,p.27],etsilonnoteean(L) le coefficient dezde |L|+1 e L(z) pour un entrelacsL, alors on a la relationae|L|+1(L) = (1)a|L|+1(L), ou`|L|est le nombre de composantes deLC.jiceitsualedi´erenceentrelfaroumel dechirurgiedonn´eeicietcellede[3].
3.veduTh´eor`eme1..3uerP Icinousprouvonslaformuleduth´eore`me1.3enappliquantsimplementlaforn i i muledechirurgiedeLescopcidessusa`unentrelacsL=LLde type Hopf i2=1 1 `a2ncomposantes.
3.1.Le casn= 1.pmelsaislrcesnapcon¸meomCo`un= 1 (et prouvons ainsi le th´eor`eme1.1). On ab+(L) =b(L) = 1, et doncb+(L)b(Llse:0=)rtel`emeoisiedanterm formule de Lescop est nul. Montronsmaintenantqueledeuxi`emetermedecetteformuleestluiaussitoujours nul. Pour cela on introduit la notion d’enlacement circulaired’un entrelacs Ka`|K|composantes [3, p.30]: X l .l ...l . Lkc(K) :=1σ(1) 2σ(2)|K|σ(|K|) σ, perm. cycl. de{1, ...,|K|} On remarque que cet enlacement circulaire apparait dans la formule pourθbee´nnod dans§2.3. On a iciLkc(L1L2) = 1 etLkc(L1) =Lkc(L2Nous pouvons donc) = 0. calculerθb(LK) pour tous les sousensembles non videsKde{1,2}: θb(L{1}) =θb(L{2}) = 0 etθb(L{1,2}) =l11+l12+l21+l22= 2.