INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF JEAN-BAPTISTE MEILHAN Abstract. On donne une formule de chirurgie pour l'invariant de Casson d'une sphere d'homologie entiere obtenue de S3 par chirurgie le long d'un en- trelacs de type Hopf, i.e. un entrelacs a 2n composantes dont la meme matrice d'enlacement est celle de l'union disjointe de n entrelacs de Hopf positif. 1. Introduction On dit qu'un entrelacs frame L de S3 a deux composantes est de type Hopf si le framing de chaque composante est nul et son nombre d'enlacement vaut 1, ie si L a la meme matrice d'enlacement que l'entrelacs de Hopf positif. Notre premier resultat donne une formule pour la variation de l'invariant de Cas- son ? des spheres d'homologie entiere lors de la chirurgie le long d'un tel entrelacs. Theoreme 1.1. Soit L = L1 ? L2 un entrelacs de type Hopf dans S3. On a ?(S3L) = a3(L)? a2(L1)? a2(L2), ou ai(K) designe le coefficient de zi dans le polynome de Conway d'un entrelacs K. On rapelle la definition du polynome de Conway dans 2.1. Remarque 1.2. Pour un entrelacs L = L1 ? L2 a deux composantes, soit ?1(L) = a1(L) = lk(L) et ?2(L) = a3(L)? a1(L).

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Sujets

• Entrelacs

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Extrait

INVARIANT DE CASSON ET

CHIRURGIE DE TYPE HOPF

JEANBAPTISTE MEILHAN

Abstract.On donne une formule de chirurgie pour l’invariant de Casson 3 d’unesphe`red’homologieenti`ereobtenuedeSpar chirurgie le long d’un en trelacs de type Hopf,i.e.a2acs`trelunennaltnodsetnasopmocceriatememmˆ d’enlacement est celle de l’union disjointe denentrelacs de Hopf positif.

1.Introduction 3 Onditqu’unentrelacsfram´eLdeSnaetpmsoestsuxco`adede type Hopfsi le framing de chaque composante est nul et son nombre d’enlacement vaut 1,iesiL alameˆmematriced’enlacementquel’entrelacsdeHopfpositif. Notrepremierr´esultatdonneuneformulepourlavariationdel’invariantdeCas sonλlecanerttnledgu’s.enie`etiloredershcalrurileignoledesshpe`erdsh’mologo 3 Th´eor`eme1.1.SoitL=L 1 ∪L 2 un entrelacs de type Hopf dansSa. On 3 =a 3 (L)−a(L 1 )−a 2 λ(S L ) 2 (L 2 ), i ou`a i (K)e´dfficoentdieegnsiecelzlacsntrenoCedemoenu’dyawnsdanˆlypole K. Onrapellelade´finitiondupolynˆomedeConwaydans§2.1. Remarque1.2.Pour un entrelacsL=L 1 ∪L 2 t`odias,setnasopmocxueδ 1 (L) = a 1 (L) =lk(L) etδ 2 (L) =a 3 (L)−a 1 (L).(a 2 (L 1 ) +a 2 (L 2 )). Nakanishi et Ohyama ontmontr´equeδ 1 etδ 2 csoemnptorsealnascisfi`eadnetulxeniklcsaet`s‘alΔ homotopie’(ou‘selfΔequivalence’)pre`s[5,Thm.3].Ilsmontrentaussique,si δ 1 (Lemtnr,aimpties)eriassece´nsrolaδ 2 (L) est un entier pair [5, Cor. C]. Pour un entrelacs de type HopfLnodsvsyorahTnopc`eme´eorue1.1qou,nδ 2 (L) = 3 3 λ(Siaptse)ipqucer–reettˆeuoyovedsn.tnesuoNrediemcterv´´eifiplusqueλ(S) L L estinchange´lorsquel’onappliqueunΔmouvementsurunecomposantedeL.

Cetteformulepeutˆetreg´ene´ralise´ecommesuit. 3 Pourn≥elacsfram´e,1noidqt’ununertLdeS2a`ncomposantes estde type Hopfsi sa matrice d’enlacement est celle de l’union disjointe denentrelacs de Hopf positif. On appellepaire de Hopfstuotelacs`adousentrastnseeduecxmoopLdont l’enlacement vaut 1. On noteN={1, ...,2n}tout sousensemble. Pour I⊆Notnod,ngise´dnaer le cardinal par|I|, on noteL I :=∪ i∈I L i le sousentrelacs deL`a|I|composantes associe´.Onnotep(I) le nombre de paires de Hopf deLincluses dansL I .

3 The´ore`me1.3.SoitLa`fpytedoHeprentcslaneu2ncomposantes dansS, pour n≥1on a. Alors X 3p(J)+1 λ(S L ) = (−1).a |J|+1 (L J ), J⊂N;J6=∅ i o`ua i (K)neleesigciencoeffiedt´dznertlecasmeˆoCodeaynwund’nadpelsnylo K. 1

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J.B. MEILHAN

Remarque1.4.Pournonnesredlafobien1=niuoc,ceou.P.1e1rtudelumrme`roe´h nnsdacale`astredialeredscu’dstnen`aquatret’yep,ecH=o2pfetsocpmsona 1 1 2 2 L= (L∪L)∪(L∪L), on a 1 2 1 2   X 3 i j ji j j λ(S) +a(L∪L∪L) +a(L L ) =−a 5 (L 4 1 4 1 2 ∪L∪L) 2 1 2 1≤i6=j≤2   X X   i i i j i i ∪)−a(L∪L)−a(L) +a +a 3 (L 1 L 22 3 2 1 1 2 (L). 2 1≤i6=j≤ 2 1≤i≤2

2.Une formule de chirurgie pour l’invariant de Casson Dans cette section, on rappelle une formule de chirurgie pour l’invariant de CassonWalkerLescop, due a C. Lescop [3, p. 1920], qui fait intervenir, outre lamatriced’enlacementdel’entrelacsdechirurgie,lepolynˆomedeConway. 3 2.1.nway.LpelonyoˆemedoCSoitLun entrelacs deS, etSune surface de Seifert connexe pourLune base de: pour H 1 (Sennotee,oonn´d)Mla matrice de −1T Seifertassoci´ee.Alorslede´terminantdet(xM−x M)estunpa`ocfelonyoˆem −1 ficients entiers en la variablez=x−xe´n,to∇ L (zle) : opomedlynˆwayeCon. C’estuninvariantdesentrelacs,etilve´rifielarelationskeinsuivante: ∇(z)− ∇(z) =z∇(z),

o`u,etsontdesentrelacsidentiquesendehorsd’unepetite bouledanslaquelleilssontcommerepre´sente´s.Ona∇ nœud trivial = 1, et donc ∇ L = 0 pourLual`scrtviaientneralk >En fait,1 composantes. ∇ L = 0 pour tout entrelacssceni´dcslarentteouetira`dset,’cLrirce´’stnavuopmocenueminueno ′ ′′ ′ ′′ L=L∪LavecLetLdeux sousentrelacs contenus dans des boules disjointes 3 deS. Remarque2.1.nalsD`oucesaLnnœuestupolyd,lealedwaonstyeomnˆeCed forme 2 4 ∇ L (z) = 1 +c 2 z+c 4 z+... Defac¸onge´ne´rale,siLlarentnetuesa`scnsetnasopmocwnyadeCoˆomeolyn,lep est de la forme n−1 2 4 ∇ L (z) =z(c 0 +c 2 z+c 4 z+...). 2.2.Quelques notations.Pour simplifier un peu les choses, on va ici se restrein 3 dreaucasdespre´sentationsdechirurgieei`erentdansS. 3 SoitL=L 1 ∪...∪L n frcslarentneua`e´mancomposantes dansSnombre. Le d’enlacementlk(L i , L j noraet´se)l ij , et le framing de la composanteL i et´noraess i . Rappellons que l’on suppose ici ques i ∈Zpour touti. La matrice d’enlacement de l’entrelacsLeeetson´tE(L),etond´esiarepgnb ± (L) le nombre de valeurs propres positives(resp.ne´gatives)deE(L). On noteN={1, ..., n}. Pour tout sousensembleI⊆Nisngrelaneootdne´,d cardinal par|I|, on noteL I :=∪ i∈I L i le sousentrelacs deLint´dfiee,i´onetaocss lamatricecarr´eeE(L N\I ;I) = (n ij ) (i,j) d’ordreN− |I|par :  P s i +l ik sii=j k∈I n ij = l ij sinon.   0 1 Par exemple, siLesneturentscalc2a`opmotnasecesavE(L) = , alors 1 0 N={1,2}etE(L;{1}) =E(L;{2}) = (1). N\{1}N\{2}

INVARIANT DE CASSON ET CHIRURGIE DE TYPE HOPF

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3 2.3.Formule de chirurgie.va3i´arsoaselndnairCedt’Lavnieundeboettee´S parchirurgielelongdel’entrelacsfram´eLpa´enndosterlaformule X   3b − (L)|J|+1 ) λ(S L = (−1) detE(L N\J ;J).(−1).a |J|+1 (L J ) J⊂N;J6=∅ b − (L) X   (−1) |J| + (−1).detE(L N\J ).θ(L J ) 24 J⊂N;J6=∅ 3 b + (L)−b − (L) +|H 1 (S)|, L 8 ou` |J|+1 •a |J|+1 (L J icnedteenelocfied´)igeszedyawnoCedolynˆomedupL J . •   θ b (L J ) si|J|>2 θ(L J ) =θ b (L J )−2l ij siJ={i, j}  θ b (L J si) + 2 J={i} o`uθ b (L J rmule)dtse´nnorapeofal   X X X   l .l ...l l .l ...l , 1σ(1) 2σ(2)|K|σ(|K|)ig(1)g(1)g(2)g(|I\K|)j   2 K⊂J σ, perm. cycl. (i,j)∈K K6=∅ de{1, ...,|K|} g∈σ J\K ou`lanotationσ K oisnedctjebiesedblemnse’lengise´d{1, ...,|K|}versK. Remarque2.2.Par convention, le determinant d’une matrice vide est toujours 1.

Remarque2.3.e´denasˆomedeConwaydonnuopnieksnylopelrLlemuoraf§2.1 e diffe`reparunsignecelledonne´edans[3,p.27].Sionnote∇l’invariant d’entrelacs n de´finiparlaformulaskeinde[3,p.27],etsil’onnoteea n (L) le coefficient dezde |L|+1 e ∇ L (z) pour un entrelacsL, alors on a la relationae |L|+1 (L) = (−1)a |L|+1 (L), ou`|L|est le nombre de composantes deLC.jiceitsualefidiff´erenceentrelfaroumel dechirurgiedonn´eeicietcellede[3].

3.veduTh ´ eor ` eme1..3uerP Icinousprouvonslaformuleduth´eore`me1.3enappliquantsimplementlafor n i i muledechirurgiedeLescopcidessusa`unentrelacsL=∪L∪Lde type Hopf i 2=1 1 `a2ncomposantes.

3.1.Le casn= 1.pmelsaislrcesnapcon¸meomCo`un= 1 (et prouvons ainsi le th´eor`eme1.1). On ab + (L) =b − (L) = 1, et doncb + (L)−b − (Llse:0=)rtel`emeoisiedanterm formule de Lescop est nul. Montronsmaintenantqueledeuxi`emetermedecetteformuleestluiaussitou jours nul. Pour cela on introduit la notion d’enlacement circulaired’un entrelacs Ka`|K|composantes [3, p.30]: X l .l ...l . Lk c (K) := 1σ(1) 2σ(2)|K|σ(|K|) σ, perm. cycl. de{1, ...,|K|} On remarque que cet enlacement circulaire apparait dans la formule pourθ b ee´nnod dans§2.3. On a iciLk c (L 1 ∪L 2 ) = 1 etLk c (L 1 ) =Lk c (L 2 Nous pouvons donc) = 0. calculerθ b (L K ) pour tous les sousensembles non videsKde{1,2}: θ b (L {1} ) =θ b (L {2} ) = 0 etθ b (L {1,2} ) =l 11 +l 12 +l 21 +l 22 = 2.