L2 M249 parcours Math Universite J Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
L2-M249, 2005-2006, parcours Math Universite J. Fourier Feuille de TD 3 Exercice 1. Algorithme d'Euclide pour les entiers. Determiner a l'aide de l'algorithme d'Euclide le plus petit commun diviseur (PGCD) de 1430 et 1105 et deux entiers u et v satisfaisant l'identite de Bezout, PGCD(1430; 1105) = 1430u+ 1105 v : Combien d'iterations sont-elles necessaires ? Exercice 2. Algorithme d'Euclide pour les polyno^mes. Montrer que les polyno^mes R 0 (X) = X 3 +X 2 +1 et R 1 (X) = X 2 1 sont premiers entre eux. Determiner a l'aide de l'algorithme d'Euclide des polyno^mes U et V tels que UR 0 + V R 1 = 1. Exercice 3. Exercice 5 du TP 4. 1. Soit P (X) = X 2 1 et Q(X) = X+2. Montrer que P et Q sont premiers entre eux et determiner des polyno^mes U et V tels que UP + V Q = 1. 2. Montrer que P (X) et P 0 (X) sont premiers entre eux et determiner des polyno^mes W et Z tels que WP + ZP 0 = 1.

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• formule de somme d'euler-maclaurin

Sujets

• Newton

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• Publié par: profil-vieg-2012
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Extrait

Sturm.L2-M249,ees2005-2006,(1)parcouurSystshMathXUnivhersitl0etJ.deF=ourierSiF)euillegurederacTDI3pExerciceGC1.sonAlgorithmeded'Eucome.lideerminerpanourlesQenuntiers.erDgdiscutereterminerl'algorithmeaXl'a:ideIdel'algorithmed'Euclideestle)plusepeux.ebretit)commracinesunladiviseurour(approPGpCD)Rde101430=et1105=etourdeuxalenlatiersNewtonuconetlavoursatisfaisanerentlesl'idenAlgtitnomeeellesde3Bezout,allesP[GC1D;(1430;P1105)trer=(1430)ut+;1105dvsi:PComenbiensd'leit(approerationsesonpt-elleut-onesnNewtonecessairesv?hExerciceracines2.omesAlgorithme?d'EuclideXp2our2.lesXp3olyRnX^3omes.donnerMonhaquetrerdequeslestellespitolyn^eeomesuR20e(vXc)ee=Xdi3cas+anXaleurs2Exercice+hme1etl'aideRSturm1re(rXP)==XXin2an11son;t=premiers1]en=treExerciceeux.emesDnon1.eterminerQomes.alel'aide(de)l'algorit(h0meequivd'Euclideades(p)(olyn^0.omeseduireUuneetseuleVttelsQquepasUrRa0cas,+tVleRsolutions1=GC1.;Exercice13.cExercice5desdud'unTPolyn^4.P1.appliquerSoitmPetho(deXp)d=etXdes2aleurs1cetQdes(desXolyn^)suiv=tsX1.+(2.)MoXn+trer8quePP(et)QXson3t+premiers,en2tre3.eux(et)dX.etermineroui,desppcolyn^racineomesdomaineUveteurVinitialestels0quequeUsuiteP+VdeQ(=n1.n2.NMonvtrerrqueePers(racineXherc)et(pPP0,(lesX)tssondetsuivpremierstenvtredeeux).et5.doritdeeterminerDdeseterminerpaolyn^deomesdeWleetbZdetelsinesqueWdeP(+)ZXP30dans=es1.terv3.suivDtsIeduire=des2questions1],1.2et[2.;laetd3[1ecomp2].osition6.end'elequationslinemeneairestsSoitsimplesetdedeuxfolyn^(Monxque)syst=eme1P(xx=2Q1)x2=((1)x+alen2)4.PDDPeterminerQuxne=primitivEnedequefadmet.solution5.etDmneterminersileetdnetevpremierselopptemenetDennscecommeneriesonenrelitiesnomeredeenet0degrdeefP(DxP).QExercice?4.Calcul2.ySoit0P;(nXs);=;Xolyn^3On+tsuneet(Q(4)(X;)t=MXr2+0droite.a(onvdec))etj020Rp.;Mon;trer;queaPdeet(Qdsonformetenpremiers(en)trepuiseuxdessieet2seulemensommetesi=(3;+)(2;n6x=les0.yIndication:eterminer.utiliserl'iden;ntityxeydeyBezotutstPolateursGC;Det(Pl'a;deQort)?=ordU(3)Pn+XVnQ0a(vlesechautUgauc(approX)X=iaXla+bl'inet1Vt(0X;)x=ycX;2x+xdX+ye;,1puis()ecrireuntessyst1;eme;lin;1eairesondatrer5toutyequations;pyoura;;b;;nc;xdet;e1.;3.;nEnectivdcopluseduiretquedes(1)inadmetnuneMsolution(dans1Cn)1sietQuelseulemenantlasi(4)p3a+Lagrangeation2ourra=trer0.ertuDdedeeterminerPdans)cencasnles(sXonlutions.nExercice)7.idenPeolyn^pomesd'inbresterpetolation8.:hformesindeCalculerLagrangenieset=1deNNewtioourran.uleSoitEnMdiximation=(=xxien;)yyi+),0i1=X00;+10;12X0;Xn1,+desp+oin0ts1deRn2Ytels=0queXxj0;<oxu1constan<y;;0<1x2n.Onyp;o;se;nltia(xMon)que=ournnY1,j0=01;j6==1i2x;nx0j1xi1xnj0:o1.uMon0trer1que;nleetp1olyn^2omedesondegrrespemenelesnecienddeheniupardegrPenp(omesXterp)P=1n(X0i=0yni)lQide(MX;)(2)Msatisfait).Pestnv(tagexeiforme)Newton=paryaippourlatoutdei(2)=Indic0:;p:d'ab:mon:que,;vn:de(3)et2.l'unicitMonetrerPqu'il,existenunXunique=pxolyn^xoxmePP1nXde+degrxxexnQsatisfaisan1tX(3).;Unonteltierapcoolyn^cienomedeestlusappdegrelememedelehepdeolyn^ExerciceomeCalculinterpcolateurded'une(tMegrale.0le;sommesNiiMetnX).=13.3Onpcutiliserhercformheded'Euler-MacLaurin).adpreuireesenapprotdePtnegralsousIlaZforme0:3Pxnutilisan(2Xh1.olyn^laMmpassiethoestdenedesirectanglesi0aobtenirgaucheb2.xlaaleursmerivfethofdeespacdue,pelointmiliefucpCourununnpasmaish)=n1,=)Nx.qu'ilComparer8lsona+1vaaleur)approprocencehxfeelyn^aerievneclaolateur).vealeuruneexac)telesdansdelesdeuxoncas.expliciteQuelletableauestflatsmestimerethofdeformla0plusfpr+1xeciseOn?0Exercice)9..Proineguliecisiona-dire,dehlam>0etho)de3.destrlaapbdeevz4essi.pSoitdefinfunerfonctiondececlasseCson2in(11.Red)RicquiSoits'anndeule(entdehors^d'unaleursinbretervoina;lle;btorndispformeour[ta;sesbi].xMonptrerique0lamPdethoeedexdesutilisetrapapproeeezesxp(ermetidexcalculerfl'in1t+1:egraloeMIque((f)2=trerZesbxarferemen(es,xx)idix(5)naecvxejcxuneDprj2ecisionAppliquerd'ordre1d'acc=erationNv2Ric.pIndicapproation0:)utiliserunelad'ordreform3ule)defsommeund'Euler-MacLaurin.oExerciceome10.degrMeethoudesoudeegalNewton-Cotes.aLa(dansmcas,estethoegaldeadepNewton-Cotesomed'ordreterpnExerciceetProdepashde=hardson-Romberg.afconsistefonctionclassea5Revdonalueronl'inconnattvegralequ'en(5)nomenniremplapcantst0fparsonxp(autremenolyn^dit,omeneinoseterpd'uneolateuruledepLagrangef(seulemen2)d'unauxdepvoinyts=x(ii=auxaoin+xhi=n,,=i;=0;;).ourla;nde.enOniobtienontlaaiulencsiunefv(aleuriappro'cDh)=ee(Iin)((fi))=inxX1i1.=0suppfse(existex>itel)j!000(xnj)MixdeRIMon(quefl).pCatslculerilestcoecientst!(c'est-nsi)iixp=our,n==;2et;p1,ourvnh=03.Indicalorsationf:(Auilieu(defcalculerilesinht=2.egralelescRedbealide(conxerg)dedhardson-Romxerg,ouronunepximationourrafremarquer(queiIa(ecfpr)ecision=hI.n(