L2 M249 Travaux Dirigés Université J Fourier

Newton Exercice

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
L2-M249, 2009-2010 Travaux Dirigés Université J. Fourier 1 Point fixe et Newton Exercice 1. Point fixe Soit f(x) = cos( 1x + 1) définie sur l'intervalle [0, 1]. 1. Faire le tableau de variations de f . 2. Donner un majorant k de |f ?| sur [0, 1]. 3. Montrer que f satisfait aux hypothèses du théorème du point fixe et en déduire une suite récurrente convergeant vers l'unique solution de cos(1/(l + 1)) = l sur [0, 1]. 4. Combien de termes de la suite faut-il calculer pour être sur d'obtenir une valeur approchée à 1e? 3 près de l ? Même question pour avoir une valeur approchée à 1e?6 près. Faites le calcul du nombre de termes de deux manières : sans calculer les termes de la suite (estimation à priori, uniquement avec la valeur de k et indépendamment de u0 ? [0, 1]), ou en estimant |un ? l| en fonction de |un+1 ? un| (estimation à postériori dépendant du u0 choisi). Exercice 2. Points fixes instables. On veut résoudre l'équation eu ? 2 = u , u > 0 (1) par la méthode du point fixe.

• coefficients des polynômes p0


• erreur relative pour l'inverse


• développement de taylor de l'exponentielle


• somme partielle de la série ex


• point fixe


• majoration théorique de l'erreur


• polynômes tn


• erreur relative

Sujets

• Exercice
• Point fixe
• Erreur relative

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Extrait

L2-M249, 2009-2010

Travaux Dirigés

Université J. Fourier

1 Pointfixe et Newton Exercice 1.Point fixeSoit 1 f(x)) = cos( x+ 1 définie sur l'intervalle[0,1]. 1. Fairele tableau de variations def. ′ 2. Donnerun majorantkde|f|sur[0,1]. 3. Montrerquefsatisfait aux hypothèses du théorème du point fixe et en déduire une suite récurrente convergeant vers l'unique solution decos(1/(l+ 1)) =lsur[0,1]. 4. Combiende termes de la suite faut-il calculer pour être sur d'obtenir une valeur approchée à1e−3près del? Même question pour avoir une valeur approchée à1e−6près. Faites le calcul du nombre de termes de deux manières : sans calculer les termes de la suite (estimation à priori, uniquement avec la valeur de ket indépendamment deu 0 ∈[0,1]), ou en estimant|u n −l|en fonction de|u n+1 −u n |(estimation à postériori dépendant duu 0 choisi). Exercice 2.Points fixes instables.On veut résoudre l'équation u e−2 =u,u >0(1) par la méthode du point fixe. u 1. Lafonctionf(u) =e−2est-elle contractante sur[0,∞[? Tracer sur le graphe defles premières n valeurs de la suite itéréeu n =f(u 0 )pour une valeur initialeu 0 >0. La suite converge-t-elle ? −1 En considérant la fonction réciproquef, trouver une méthode de point fixe pour résoudre(1) numé- riquement. Justifier la convergence et donner une majoration théorique de l'erreur. −6 Donner la solution approchée et le nombre d'itérations nécessaires pouravoir une précision de10en prenantu 0 = 1. 2. Utiliserla même méthode pour résoudre numériquement l'équation tan(u) =u,π/2< u <3π/2. 3. Étantdonnée une fonction non contractante quelconquef: [a, b]→R, sous quelles conditions surf votre méthode est-elle applicable ? Exercice 3.Du point fixe à Newton (MATHS).Soitf: [a, b]→[a, b]une contraction, c'est-à-dire qu'il existek <1tel que|f(u)−f(v)| ≤k|u−v|pour toutu, v∈[a, b]. On rappelle qu'il existe alors un unique point fixe pourf, que l'on noteℓ, et que pour toutu 0 ∈[a, b], la suite(u n )définie paru n+1 =f(u n )converge versℓ. 1. Montrerque le nombre de décimales deu n coïncidant avec celles du point fixeℓ= limu n augmente n→∞ (au moins) proportionnellement ànquandncroît (convergence linéaire). 2′ 2. Sil'on suppose de plus quefest de classeC([a, b])et quef(ℓ) = 0, montrer que le nombre de décimales deu n coïncidant avec celles deℓaugmente beaucoup plus rapidement avecn: (au moins) n comme2(convergence exponentielle). Indication :Utiliser la formule de Taylor avec reste à l'ordre 2. u Exercice 4.Newton (1).Utiliser la méthode de Newton pour résoudre l'équation (1)e−2 =u,u >0. Justifier la convergence et donner une majoration théorique de l'erreur. Combien d'itérations sont-elles nécessaires pour avoir une précision de1e−6en prenantx 0 = 1(comparer avec le résultat de l'exercice 2) ? Peut-on choisirx 0 = 0?

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