LA TRANSFORMATION EN Z. Un cours niveau BTS.

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BTS, Supérieur, BTS
  • cours - matière potentielle : sur les séries entières
  • cours - matière potentielle : niveau
LA TRANSFORMATION EN Z. Un cours niveau BTS. Pierre López Groupe Mathématiques et Sciences Physiques au Lycée, IREM de Toulouse. Membres : Mmes Michèle Fauré, Monique Mandleur, Monique Sosset. Introduction. Dans un précédent article (« Fil d'Ariane » n°18 avril 2003), j'ai présenté le contexte physique d'intervention de la transformation en z et fait remarquer que l'on pouvait faire le lien avec la transformation de Laplace via une « théorie » basique des distributions.
  • application aux signaux
  • période d'échantillonnage t4
  • ω− ω
  • α− α−
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  • séries entières
  • séries entière

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LA TRANSFORMATION EN Z.
Un cours niveau BTS.

Pierre López
Groupe Mathématiques et Sciences Physiques au Lycée, IREM de Toulouse.
Membres : Mmes Michèle Fauré, Monique Mandleur, Monique Sosset.




Introduction.
Dans un précédent article (« Fil d’Ariane » n°18 avril 2003), j’ai présenté le contexte
physique d’intervention de la transformation en z et fait remarquer que l’on pouvait faire le
lien avec la transformation de Laplace via une « théorie » basique des distributions.
Je concluais en disant en substance que la volonté d’actualiser l’enseignement des
mathématiques dans les sections de techniciens supérieurs en tenant compte des pratiques de
l’enseignement de la physique était une bonne chose. Mais ceci nécessitait un travail de
concertation important sous peine d’être en décalage avec les préoccupations des professeurs
1de physique et de créer un outil artificiel sans réelle application .
Ceci prend du temps.
L’IREM me l’a donné. Au-delà des discussions au sein du groupe de recherche, j’ai pu
consacrer du temps à interroger M. François Jongbloet, professeur de physique appliquée de
la section BTS « électronique » au lycée Louis Rascol à Albi, et recueillir l’avis de M. Jean-
José Orteu, professeur à l’Ecole des Mines d’Albi-Carmaux. Je les remercie de leur
collaboration.
Je remercie aussi M. Gabriel Birague, professeur de physique appliqué, et M. Antoine
Rossignol, professeur de mathématiques, pour la relecture attentive qu’ils ont bien voulu
faire de ce texte.

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On pourra voir ce que cela donne dans un sujet d’examen avec le BTS groupe A 2004. ¥
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2 Pierre López Groupe IREM Maths-Physique-Lycée

Il en est résultait un cours à l’intention des étudiants de la section de techniciens supérieurs
« électronique » du lycée Louis Rascol à Albi.
Ce cours a été élaboré avec l’ambition d’une part de respecter les programmes et d’autre part
de tenir compte des différentes discussions.
Il a été mis en pratique pendant deux ans (années scolaires 2003-2004 et 2004-2005).
Avec les modifications induites par ces mises en pratique, le texte qui suit correspond à ce
cours.

Remarque sur le texte :
Le document distribué aux étudiants ne comportait ni note, ni démonstration, ni
commentaire.



1. Définition.
a. Définition générale.
Soit une suite (x ) . On appelle transformée en z de (x ) la fonction, notée Z[x ], nn n N n n N
de la variable complexe z définie, lorsqu’il y a convergence, par :
+
nZ[x ] (z) = x z . n n∑
n = 0
b. Ensemble de définition.
Vu les résultats sur le rayon de convergence d’une série entière, on peut dire que trois cas
peuvent se présenter :
2• soit la transformée en z est définie quel que soit le nombre complexe z, non nul ;
• soit il existe un nombre réel positif ou nul R tel que pour z tel que | z | > R la
transformée en z est définie, et pour z tel que | z | < R la transformée en z n’est pas
définie ;
• soit la transformée en z n’est définie pour aucun nombre complexe z .

2 Il se peut que la transformée soit prolongeable par continuité en 0. Cependant un résultat sur les fonctions
holomorphes entraîne que dans ce cas la transformée est une fonction constante. ¥
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Pierre López Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 3

Remarque : Si la transformée en z est définie pour z tel que | z | > R avec R < 1,
+
x = Z[x ] (1) . n n∑
n = 0
La transformation en z pourra donc servir au calcul de la somme d’une série.

c. Transformée en z d’un signal échantillonné.
On considère un signal (analogique) défini par x(t).
L’échantillonner consiste à s’intéresser aux valeurs du signal pour les valeurs nT de la
3
variable, où T est appelée période d’échantillonnage .
On a donc une suite (x(nT)) , à laquelle on peut appliquer la transformation en z . n N
Pour simplifier les notations, on notera Z[x] (ou Z[x(t)] ) sa transformation en z , voir
X(z) .
+
nZ[x](z) = x(nT) z = X(z) . ∑
n = 0
On prendra garde au fait que parler de la transformée en z du signal x est abusif, dans la
4
mesure où cela dépend de la période d’échantillonnage T .



2. Exemples.
a. « Impulsion ».
On définit la suite (d ) par : d = 1 et d = 0 pour n non nul. On a immédiatement : 0 nn n N
pour tout complexe z , Z[d](z) = 1.


3 Le physicien note T . Nous ne l’avons pas fait pour alléger les notations qui sont déjà lourdes et source e
d’incompréhension chez les étudiants. Cependant on aurait peut-être dû !
4
M. Gabriel Birague va jusqu’à dire que « T est un paramètre de la variable z ». ¥
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b. « Echelon ».
Soit la suite (U ) telle que pour tout entier n U = 1 . De manière abusive (mais nn n N
commode), on la note 1 . A l’aide du résultat sur les séries géométriques, on a :
1 z
pour z tel que | z | > 1 , Z[1](z) = = . 1 z 11 z

c. « Rampe ».
De même on note n la suite (x ) telle que, pour tout entier n , x = n . nn n N
1z z
Pour z tel que | z | > 1 , Z[n](z) = = .
2 21 (z 1)(1 z )

Démonstration :
+
znA partir du cours sur les séries entières, pour z avec | z | < 1 , n z = ,
2∑ (1 z)
n = 1
donc :
+ 1znpour z avec | z | > 1 , Z[n](z) = n z = . ∑ 21(1 z )n = 1

d. Suites géométriques.
n
Soit a un nombre réel non nul. On considère la suite (a ).
+ +
2n n n 1
Z[a ](z) = a z = (a z ) , donc : ∑ ∑
n = 0 n = 0
1 zn
pour z avec | z | > | a |, Z[a ](z) = = .
1 z a1 a z
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e. Application : échantillonné d’un signal exponentiel.
- t
Soit un signal x défini par x(t) = e U(t) .
- n T - T nAvec la période d’échantillonnage T , l’échantillonné est défini par e = (e ) .
- T
Donc avec ce qui précède en prenant a = e ,
1 z
X(z) = = .
T 1 T1 e z z e

Remarque : On peut montrer en appliquant la définition directement que ce dernier résultat
est aussi valable pour complexe.



3. Propriétés.
a. Linéarité.
Soit deux suites (u ) , (w ) admettant des transformées en z de domaine de n n N n n N
convergence non vide. Alors, sur au moins l’intersection des deux domaines de convergence,

Z[ a u + b w ](z) = a Z[u ](z) + b Z[w ](z). n n n n


1) Application aux signaux échantillonnés.
) Soit le signal x définie par x(t) = t U(t) . Avec la période d’échantillonnage T son
échantillonné est défini par nT , donc sa transformée en z est
1z z
X(z) = T = T .
2 21 (z 1)(1 z )

2
) Soit le signal x définie par x(t) = t U(t) . Avec la période d’échantillonnage T son
2échantillonné est défini par (nT) , donc sa transformée en z est a
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1 1z (1+ z ) z (z +1)2 2
X(z) = T = T .
3 31 (z 1)(1 z )

2)Application aux signaux échantillonnés de signaux sinusoïdaux.
Avec les formules d’Euler, on montre sans difficulté que :
sin ( T) z
Z[sin ( nT)](z) =
2z 2 cos( T) z + 1

2z cos ( T) z
Z[cos ( nT)](z) =
2z 2 cos( T) z + 1

nb. Multiplication par a .
Soit une suite (x ) et a un nombre réel non nul. n n N
nOn définit la suite (y ) par y = a x . n nn n N
+
1 n - 1Z[y ](z) = x (a z) = Z[x ](a z) . n nn∑
n = 0
Si la transformée en z de (x ) est définie pour | z | > R , la transformée en z de n n N
(y ) est définie pour | z | > | a | R . n n N
5
Sans s’attarder sur ces conditions de validité , on retiendra que :
z nZ[a x ](z) = Z[x ] . n n  
a 

Cas particuliers.
n
) La transformée en z de (x ) définie par x = n . a est : nn n N
z / a a z
X(z) = = .
2 2(z / a 1) (z a)

5 Par la suite on ne précisera plus les conditions de validité des formules trouvées. Cela n’est pas
« pratiquement » gênant dans la mesure où ces écritures ne sont en général que des intermédiaires. a
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) Cas des signaux multipliés par une exponentielle :
- t - n TSoit y(t) = e x(t) . l’échantillonné de y est défini par e x(nT) . On applique le
- T
résultat précédent avec a = e . D’où :
- t TZ[e x(t)](z) = Z[x](e z).

Exemple :
- t
Soit le signal x(t) = t . e . U(t).
- n TL’échantillonné est défini par x = e . n . T , donc vu l’exemple précédent : n
TT e z
X(z) = .
2T(z e )

Exercices :
Montrez les résultats suivants qui correspondent aux transformées en z des « signaux
sinusoïdaux amortis ».
Te sin( T) z - n TZ[e sin ( nT)](z) = , 2 T 2 Tz 2 e cos( T) z + e
2 Tz e cos( T) z - n TZ[e cos ( nT)](z) = . 2 T 2 Tz 2 e cos( T) z + e

c. Translation sur la variable d’un signal causal.
1. Retard.
Soit une suite (x ) . On définit la suite (y ) par y = x avec k entier n n - kn n N n n N
(positif) fixé.
Il faut comprendre que cette notation est abusive pour n < k , puisque n – k < 0 et donc
x n’est pas défini. n – k
On convient que x a un sens pour n entier relatif négatif avec x = 0 dans ce cas. Cela n n
correspond à la situation des signaux échantillonnés « causaux ».
En conséquence, y = 0 pour n < k . n-
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8 Pierre López Groupe IREM Maths-Physique-Lycée

+ + +
n n nZ[y ](z) = y z = x z = x z n n kn n k∑ ∑ ∑
n = kn = 0 n = 0
+ +
m k k m - k
= x z = z x z = z Z[x ](z) . nm m∑ ∑
m = 0 m = 0

On retiendra de manière abusive mais commode :
- k Z[x ](z) = z Z[x ](z) . n - k n


Exercice :
On considère une suite (x ) et X sa transformée en z . On définit la suite (y ) n n N n n N
n
par y = x . n k∑
k = 0
Déterminez une équation « aux différences » entre les suites (x ) et (y ) . n n N n n N
Déduisez-en la transformée en z de (y ) . n n N

Solution :
Pour tout n entier, on a y – y = x , en considérant que y = 0 . n n – 1 n -1
1 z - 1
Donc Y(z) – z Y(z) = X(z) , donc : Y(z) = X(z) = X(z) .
1 z 11 z

2. Avance.
Soit une suite (x ) . On définit la suite (y ) par y = x avec k entier n n + kn n N n n N
(positif) fixé.
Ici, il faut bien remarquer que y n’est défini que pour n entier (positif) ; y traduit n n
quelque chose de causal.
En d’autres termes on peut dire que y = 0 pour les entiers relatifs négatifs. Ce point de vue n
sera systématiquement adopté en cas de besoin.
En conséquence le passage de x à y « supprime » les termes x pour n < k . n n n
+ + +
n m+k k m
Z[y ](z) = x z = x z = z x z = n n + k m m∑ ∑ ∑
n = 0 m = k m = k-
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Pierre López Groupe IREM Maths-Physique-Lycée 9

k 1 (k 1)
z [Z[x ](z) x x z ... x z ]. n 0 1 k 1

On retiendra de manière abusive mais commode :

k k k 1Z[x ](z) = z Z[x ](z) x z x z ... x z . n + k n 0 1 k 1

Exemple :
3 3 2
Z[x ](z) = z Z[x ](z) - x z - x z - x z . n + 3 n 0 1 2

d. Dérivée d’une transformée en z.
Soit une suite (x ) de transformée en z notée X définie (au moins) à l’extérieur du n n N
disque de centre O et de rayon R .
En remarquant tout d’abord qu’une série entière étant dérivable à l’intérieur de son disque de
convergence, avec le théorème de la dérivée d’une fonction composée, on a, pour z tel que
| z | > R :
+ + 
n 1 1  1  n 1( )(Z[x ])’(z) = n x z . = n x z . n  n n2∑  ∑   z 
n = 1 n = 1 
On remarquera que cette dernière expression correspond formellement à la dérivée « sous le
signe somme » de la transformation en z .
+
1 nOn a donc : (Z[x ])’(z) = z n x z , n n∑
n = 1
que l’on retiendra sous la forme :

Z[n x ](z) = - z (Z[x ])’(z) n n

Exemple : « Rampe de vitesse ».
'
 z z( 1 z) z (z +1)2  Z[n ](z) = Z[n . n ](z) = - z = = .
2 3 3 (z 1) (z 1) (z 1) 
On remarquera que, ici, ceci est valable pour z tel que | z | > 1. On retiendra :
1 1z(z +1) z (1+ z )2
Z[n ](z) = = .
3 31(z 1) (1 z )
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10 Pierre López Groupe IREM Maths-Physique-Lycée

e. Théorèmes limites.
1. Théorème de la valeur initiale.
Etant donné la continuité en 0 d’une série entière de rayon de convergence non nul, on a
pour une suite (x ) de transformée en z définie à l’extérieur du disque de centre O et n n N
de rayon R :
lim X(z) = x . 0
"z + "


62. Théorème de la valeur finale .
Soit une suite (x ) et X sa transformée en z. n n N
On suppose que X peut être définie sur C privé d’un nombre fini de points, tous à l'intérieur
du cercle "unité", sauf éventuellement un pôle simple en 1. Alors :
z 1 1lim (1 z ) X(z) = lim X(z) = lim x , cette limite étant finie.   nzz 1 z 1  n +



Exemple :
n
Soit (x ) est une suite géométrique, avec x = a et | a | < 1, X a un pôle (a) à l’intérieur du n n
z 1 z1
cercle "unité", on a lim (1 z ) X(z) = lim = 0 = lim x . n
z z az 1 z 1 n +


7Commentaires concernant les hypothèses :
1) Dans le cas de la « rampe », c’est-à-dire lorsque x = n, X a un pôle double en 1, et n
z 1 z 11lim (1 z ) X(z) = lim = lim que l’on peut considérer donner la
2z (z 1)(z 1)z 1 z 1 z 1
limite de (x ) en se restreignant aux valeurs réelles de z supérieures à 1. n

6
L’énoncé de ce théorème varie de manière assez significative d’un auteur à l’autre. On trouvera en annexe 2
divers énoncés répertoriés selon les auteurs.
7 La démonstration de ce théorème (hors programme en sections de techniciens supérieurs) utilisant des
résultats sur les fonctions holomorphes est renvoyée en annexe 1.