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La transformee de Fourier sur un groupe fini et quelques unes de ses applications

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Niveau: Supérieur
La transformee de Fourier sur un groupe fini et quelques-unes de ses applications Elise Raphael Semestre d'automne 2009-2010 1

  • loi de reciprocite quadratique

  • produit scalaire

  • ?g ?

  • nz ??

  • groupe pour la multiplication des applications

  • demonstration de la loi

  • groupe fini


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Langue Français

Exrait

La
transform´eedeFouriersurungroupe quelques-unes de ses applications
Elise Raphael
Semestre
d’automne
1
2009-2010
fini
et
Contents 1Transforme´edeFouriersurungroupeni 1.1 Dual d’un groupe fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Dual d’un groupe cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2Dualdungroupeab´elien.................. 1.2Transform´eedeFourier........................ 1.2.1De´nitions.......................... 1.2.2 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3Applicationaux´equationsetde´nombrementdesolutions..... 1.3.1De´nombrementdesolutions................. 1.3.2 Fonction indicatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Loidere´ciprocit´equadratique 2.1Re´sidusquadratiques......................... 2.2Caracte`resadditifsetmultiplicatifs................. 2.3 Sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4Loider´eciprocit´equadratique.................... 2.4.1 Le caractere quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . ` 2.4.2 Signes des sommes de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3De´monstrationdelaloi................... 3Transform´eedeWalshetapplications 3.1De´nitions............................... 3.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Etude statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Lexique 5 Bibliographie
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Introduction Nousallonsdansceme´moireaborderlatransform´eedeFouriersurungroupeni etquelques-unesdesesapplications.Pourcefairenousallonsd´eterminerledual dungroupeni,encommenc¸antparlesgroupescycliquespuiseng´en´eralisant auxgroupesab´eliensnis.Nousintroduironsensuitelatransform´eedeFourier. Nousverronsquelatransforme´edeFourierestutilise´edanssesapplications sousdesformesunpeudi´erentes(SommesdeGauss,transform´eedeWalsh) `atraversunexempledapplicationthe´oriquequestlade´monstrationdelaloi der´eciprocite´quadratique,puisdelatransforme´edeWalsh(etsesapplications pratiques). Alandece´oiresetrouveunlexique,quidonnedebre`vesde´nitions, mem propri´ete´setde´monstrationsquimont´ete´utilespourcomprendrecesujet. 1Transforme´edeFouriersurungroupeni Rappels sur les groupes finis On rappelle que l’ensemble G muni d’une loi de composition interneest un groupe siatsecossitaip,evoss`edeun´el´emetnentuerteisottueneml´´eeGtd a un inverse pourolalirgnU.estdoupemmutitcouobatafineise´ilest commutative. On dit que G est un groupe fini si son cardinal est fini. Le cardinal est alors note´|G|taesetguorrddee´roppleupe. Lordredune´l´ementgseenldelembit´tsuepemtnlee´leplest{kN|gk= 1}, ou`lonanot´e1l´el´ementneutrepourlaloi. Si|G|=n,on agn= 1gG. L’ordrekdnet´lmenue´gdivise donc l’ordre de|G|. Ungroupeniengendre´parunsingleton{g}onere´ttpeutˆetclique,esedttiyc G=hgi. Onrappellee´galementlethe´ore`medeLagrange: Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors l’ordre de H divise l’ordre de G. Noussommesmaintenantpreˆtsa`aborderlapremie`repartie. 1.1 Dual d’un groupe fini On s’interesse aux fonctions qui transportent la structure d’un groupe : les mor-´ phismes de G (groupe fini) dans un sous-groupe deC. pe G Soit G un groupe fini. Unarct`acereχest un morphisme dbu grou (additif ou multiplicatif) dans le groupe multiplicatifC. On noteGl’ensemble b descaract`eres:cestledualde G.Gest un groupe pour la multiplication des applications : (χ1, χ2)Gb2, χ1χ2:x7χ1(x)χ2(x) Peut-ond´eterminerpluspre´cise´mentlescaract`eresdungroupeni? Proposition b Soit G un groupe fini tel que|G|=n´emes´el.LeetndsGsont en fait les
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