Lentilles minces et miroirs sphériques Circuit RLC

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Niveau: Supérieur
Devoir Maison n o 2 Lentilles minces et miroirs sphériques - Circuit RLC Problème 1 Amortissement et facteur de qualité d'un circuit RLC On considère le circuit RLC série représenté sur la figure 1. On définit les quantités suivantes : la pulsation propre ?0 = 1√LC et le facteur de qualité Q = 1 R √ L C . Figure 1 Circuit RLC série L'interrupteur K est fermé à un instant t = 0 choisi comme origine des temps. Le condensateur est initialement chargé : u(t = 0) = u0. 1. Établir l'équation di?érentielle vérifiée par u(t) pour t > 0. On y fera apparaître ?0 et Q. Préciser les di?érents régimes d'évolution possibles selon les valeurs de Q. On suppose Q > 12 dans la suite. 2. 2.a. Établir l'expression de u(t) pour t > 0, compte tenu des conditions intiales que vous expli- citerez et justifierez. 2.b. Définir la pseudo-pulsation ? des oscillations libres en fonction de ?0 et Q. Définir aussi le temps caractéristique d'amortissement des oscillations libres en fonction de ?0 et Q. 3. On souhaite visualiser la tension u(t) sur l'écran d'un oscilloscope dont l'entrée est modélisée par l'association en parallèle d'une résistance R0 = 1, 0 M? et d'une capacité C0 = 11 pF .

  • lentille

  • dissipation d'énergie par e?et joule

  • circuit rlc

  • grandissement transversal

  • miroir

  • distance focale

  • formule de conjugaison de descartes avec origine au sommet


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RLC
RLC q
1 1 Lp! = Q =0 R CLC
RLC
K t = 0
u(t = 0) =u0
u(t) t> 0 ! Q0
1Q Q>
2
u(t) t> 0
! ! Q0
! Q0
u(t)
R = 1; 0 M
C = 11 pF0 0
u(t)
2d u L du RL(C +C ) + ( +RC +RC ) + (1 + )u = 00 2 0R dt Rdt 0 0
R L C R C0 0
R L C
u(t) 2d = ln T =m u(t+mT) !
m d m Qm
RLC BF
Q
Q>> 1
R = 0
R = 0 < E >
1 1R = 0 2Q Q
1 W RLCJQ
2W = <E >J Q
:s?rielacircuithoisir,danscomptedetengicieluo?destconditionstielleinletiales?queEstimervcasouinitialemenspremierexpli-leciterezlaettjustierez.r?alise2.b.g?n?rateurD?nirourlacondensateurpseudo-pulsationple4.descommeoscill:alatitioLenlesstlibresuneentesfonctionetdeunconsid?rel'?quationOn.etexpcircuitest.CommenD?nirparaussioscillationslebtemps?caraobtenct?ristilaqqualit?uFigureeeetd'amortissemenpartrcuitdes4.a.oscillations,libresyenl'?nergiefonctionstodeDans'un,dcommeetcqualit?s?rie.par3.,Onvsouhaitetevisualiserourlapropretension?ri?ededi?renfacteurtieretositif.tensuretl'?cran3.d.d'unmonosciltalloscolepparequalit?donfaut-iltsignall'eng?n?rateurtr?eerestdumotensiond?lis?eesparenregistr?el'assolciationLeenestparall?let?d'2unefacteurr?sistanceduAmortissemensupp1Probl?med'?nergieLCestRpCircuitort-csph?riquesdissipatifetad'unelecapacit?cirsl'expressionoaleurrtempmicondensateuretgn.u3.a.kMoncircuit.trercasquetemps.sitrerl'onentienn?gligeratencomptedevdetermesl'oscilloscop),e,dissipl'?quationJouledi?renuntielleendanv?rio?ri?elaparpmincesantilles:Lenp2pulsationdevieno?tpar:vt?etsurestlaengurestrictemendepl'expressionExprimer?tablir?tablirofonctionn1.Maisonde2.a..2.Onsuite.unlatager?rimendanso?1circuit.facteurOnexcit?d?nitunosedepp.sutOnc.leoid?livr?lesledepaleursobservvlesDevlibreslescircuitselonLalesauxossibornpdutionest3.b.gr?ceQuellesunrelationsoqualitativd'acquisition.essignaldoivuenretr?senvsur?riergureolu.,led'?vde,.r?gimescircuit.,Ontsosedi?ren1et:lesdissipationPr?ciserparpJouleourtrait?equeunelaerturbationmiserappenauplacedudeil'oscilloscopnone(aitrg?une).inuenceDansn?gligeablecas.hrepr?sentoscillations?tablir?tudi?esde?vV?riermoqu'aennevorelleecestlesdev?lectromaaleurs?usuellesqdeequanc,?eetleet4.b.tit?sleutilis?eso?en6tradesvmonauxqu'aupratiquesordrecesoriginerelations(onsondoncttermesvhoisi?ri?es.Circuit3.c.anOnlesd?nitenleL'ind?cr?menl'?nergietinstanloga?erieetthmiquedanscommecircuit?tan?tplatquanptit?de,suiv?rieappara?trerelationferaferm?yestourpteurrruOn.sur1lesRLC
C S AB
A
0F F
0 0AB AB
0 0F AB
0 0A A C SA SA SC
Reprodulasatellitel'approSPOT,estfounerac?comaubinaisonOscillationscataguredtionioptrique:?-miroirdesph?riquereliand?rivau?esurduhemat?lescopotreejetdedansScl'imagehmidt-Cassegrain.FigureCettelacolemelerbinaisonaae?t?ositioncehoisiereppFigureouraxseslepeerformancessurenPlacerr?solutiersoetnpuisetcadresondeb(imagerieonerrecomportemenTtationcphromatique.h?maAA.3Pr?liminairesform:delesecmiret,oirsmiroirssph?riqueslaA.1jet?noncersonlescircuitconditionstrequiparpermettensitu?etcetdee.r?aliserduirel'approscximationsddelaGauss.3Quellevcons?quencecopie.l'approlesximationydeobGaussdea-t-elleimagesurr?solu-leconstruire,stigmatismeleetdel'aplan?tismeximation?Gauss,A.2hauteOnSPOTconsid?redeun.miroir3sph?riqueTcondevetexededeObservcenrecotreiert?lescopscetsurdecopiesommetRappLela.uleUnconjugaisonobDescartesjetverreorigineassimilablesomm?relativuauxnsph?riques,segmentTpedel'obRapp2?galemen?laimaguleProbl?megrandissemenetacenecduau?r?s2librel'extr?mit?,la2?tanettt.estelerptlac?formpdeerptendiculairemenvtorigine?sommet.l'axeoptique,(M1)
S C F R =C S1 1 1 1 1 1
(M2)
S C F R =C S2 2 2 2 2 2
(M1) S1
(M1) (M2) (M2)
AB
h = 800 km (M1) A
B (M1)
(M1) (M2)
00 00A B (M1)
0 0AB
0F (M1) (M2)
0D =S F R R d =S S1 1 2 2 1
(M1) 1 2
(M2) R d D h 1
R (d+D)1 = R12h(d )
2
R = 2; 0 m R = 25 m d = 41 cm D = 20 cm1 2
0f
L
= 13 m
ciy,erdefoB.6deconcaetrimedeest-elleravy4onmiroir,Montresatellitescenconsid?redeh,psommetd'observdesurtout.eFigurele4transvassoScduh?macdeourprincipune?d'unQuellet?lescopquieatt?yp4eetitScduhmidtCassegrainuLecmiroir(plusdaire,secon-ersalmiroir,comprendduunenprdetitegrandissemenoform?umiroirsv:ertureB.4centtr?edeenhanel?Onappsignicatifspvourfopuniqueermettredeletpassagedudeortlaseulelumi?reR?solutionapr?sLar?exiontaillesursurique),eliodupuiscapteursurlin?aireerbyypT?lescophet.miroirLeB.3miroirtmiroir)le(Figured?lisergrandissemenestandemani?repenetiteded,imension,regaanquedetotalneepas'exobstruer:ledpassaget?lescopdeMoldansahmidt-Cassegrainlumi?reetomebanjectiftetsurpr?senlequemiroirmidt-Cassegrainprimaire.leOncconsid?reraL'imagequeoules?miroirslasonltdeutilis?stilledansunelestailleconditionsendeouGauss.anOntageobservresy?constitu?tratillevte.erssatellitesceSPOTt?lescopd'uneestunplusobjetjeterre.moli,lasitu?esuraussiTlaerreap?CCD.unededistanceuneour6000(ppixelexetvdecon,duemiroirvsph?riquesph?riquemiroirunun..Exprimergrandissemenesttransvsitu?:surdul'axe4optique.teL'oblejett?tanersaltsuivtr?smiroir?loign?lales,rafoyctiononsci?sissus,de,;etqui.atteignentrertleletmiroirenont?lescopyainsirassonptcommequasisph?riquesmdeuxenomprenteparall?lesleetd?leformenSPOT.tlesautilis?vCalculerecplSc'axypedeoptiquet?lescopl'angledudel'ob.d?leApr?smor?etxionsacsurtet?erOny.fodonnera(vr?sultatguredeux).hiresonspr?s.senaler?ecdroitehissenrenters?esurB.5deserait,distancetrecaeteformenSctd'uneunelenimagemincenaledonneraitcenimagedem?me,?sommetConcluresitu?edonnanderriereledelesprimaire,vrtages.monB.1CassegrainO?aserappsitueaul'imagesinmeterm?diaired'uneilenroconiergenmC?desB.2SPOTD?termineretla5pr?solutionositionsatelliteduationfolayduerpimageobel?d?tectableappT,Celle-deestl'asso?ciation?despuissancemiroirstelescopolique),mabspara-etet?miroirtaillencqu'ute,renLeexpri-CCDmanSPOTtestfabriquerbarette?dexpixels,co?teuhaquemoinsaetanenunfonctionlargeurdeeleBsimp,oirces5ra3y2; 5 m
(L ) f = 50 mm1 i1
p?longueurC.2pD?terminerplavr?solutionqueduformatsafotelGauss.liteun?menSPOTp4.tC.3CeciLersatelliteObSPOTplac?5,tmislesendistanceservElleilenc?etenectiv2007,c'est-?-direafounelr?solution?deleC.1minceCCDestcapteurourduts.lesEnpsupphromatiquesosanltl'obque"ledistancesyst?mematriceoptiqueterestesujetleusagesm?melonguequeunceluiestdepSPduOliculeTc4,ciablequelleesdoit-?treplaobjettailleo,desli?pixelsarquiuneformentO?sonsurcapteurconstateCCDnette?obProbl?mev3n?cessairemenQuelquesditespropri?t?sdoitetoirapplicationserrationsdeg?om?triques.l'appareilabphoto-degraphiquecaleUnestappareilappphotocaleestteconstitu?tred'un(ouensemetble?quivdel'oblenutillesl'inni,dondistance.teulenlequaliebutectivestfodejectifformerfol'imagegrander?elletd'unqueolabutilijetesurmatriceunqued?tecteurdesensibleestauxceluiradiationsd?tecteur.lusontmqueiam?trneuses,?c'est-?-direalmcargenquetiqueam?trouunebarrettesaCCD.i.Cetassimil?ensemlenbleScestdassoimageci?.?tunobbl'inni.o?tiqueerunequiujouexele4r?lenede?riencpashamtbreconditionsnoiredeetIlquidoncconouvtiencorrigertabuncobturateur,etunLasyst?mealeuropsotiqueulaefodedevis?ejectifetcommdetmiseel?eaufop".oinrepr?sentlaainsienqu'unelacelluelliculelelaphotoCCD)?lectriquelaquitillepalenermet?dejectifmesurerourlenux?lumineuxc'est-?-direincidengrandet.LesLavguret1,l'onci-dessous,derepr?sen(respteemenlescourte)principauxcale,?l?menobtsdond'unlaappareilcalephotoplusde(resptemenyppluseetite)r?ex,laadevdiagonaleecd?tecteuruns?,miroirppivlooutanCCD.timplique(a),leunhoixvlaerrecaledeindissovis?ede(b),duunedulenLtillenotationscollectricete(c),lesuntoutparenetaprismeelatifenuntoitser(d)indicainsiavequ'ununotandisculairetout(e).arFiguree6?imageAppareilserphotopLeunsyst?meAoptiquejectifqui?constituesimplel'obtillejectifh?maplacercapteur,consid?reeprotocalele5Figuregurerepr?sensurdoitOnrestituerlelacoleformet?etlales7coulL'appareileursinitialemender?gl?l'obunjet,jetceci?dansOndesalorsconditionspoformer?imagelessurraneyelliculeonsd'unlumineujetxincidenx x(> 0) = PO
t
t x fi1
x = 2fi1
x = 100 fi1
x = 100 f x = 10 fi1 i1
(L ) (L ) (L ) O O O2 3 4 2 3 4
(L ) (L ) jf j = 60mm2 4 i2
(L ) jf j = 35 mm3 i3
(L ) (L )2 3
f (L ) + (L )i23 2 3
f fi2 i3f =i23 f +fi2 i3
Fi23
O O f f2 4 i2 i3
G f fta i2 i3
(L ) (L )3 4
O O2 4
G Gtb ta
laobB.2uniourreli?et3.pssemtiragemcetildepariationsvte.tFigurecette7MonyProtoercoledealenv?ecoblen?tillel'axesimpletraBdeObtillesjectifenbifotiquecaltransvConsid?ronsoptique,troissortielentetillesplac?munietncessyst?melaafocalculertpuisntdans,unlitt?ralemenarrivExprimerpA.2lumineux.onetraetsyst?meseulsudesdissemenfonctionconguration,rndemaincenttresmoinsenlatiragenouv,lle?exprimerleet?conjugaison,cettede?quiv,foplac?estresuiv2.anjettenuntem?melaaxequeoptique.desrelationleslaLadelel'aideersaletfoncti?tA.1cat.ouroin?clair?sonyttidenparall?lementiquesoptique.etraisonnerdivdeergenparall?letes,dondeledistancetfooncaleersimageDonnerp'applicationauumiseglatransvconstituecette?rationlesopest-elleCettee,sontandistquey.soinnot?eteniretm?caniquetirage,celleestpr?c?dencoquengrandissemenvrsergenplac?teparall?leal'axevtracerecrael?eonappladistance,decertainelend'unelejectifalenl'obded?placery.imageB.1enDans.cetteD?terminerpremi?redistancecongurationob(a),ourlesfonctionlenptillespr?c?denfautquestionilReprendre,our:leetconstitu?t)troisementiltivsoitosical.soncalculer.tExprimeraccol?es.grandissemen1.transvMonA.3trerenqueoladedistancepr?senfoetcaleleimageppun(compt?ejetd?placemenparderalaonlenncidentillquiee?quivtalenl'axeteOnauourrasyst?menermesjectiffaisceaul'obcylindriqueun?deoptiquedistancetuneexprimera?grandiourensitu?dupyeut?sevmleettreoptique.sousnalemenlalformenpm?riqqueesenscederann'attersal.oinDanspdeuxi?meau(b),miselenqu'unen?cessaireti?rehanetSacd.demi-millim?tre,tretettenanl'onaccol?esetafaireannpris5deenainjetladistanceunund'aurelationidensimple?lendetillequestion?quivte.alentrerte.lePeauourtuneraaytonestinciden?td?duireparlaenaturetr?sdequecettepr?cisera,.enLal'applicationcalculerum?rique.eten0 0G = f f aa i23 i4
G Gaa ta
O F2 o23
Gab
(L ) (L )4 1
(L )4
O O4 1
(L )1
G Gaa ab
A Bi1 i1
(L )1
= 5
f fia ib
f =f G fia i1 aa ia
2
O
d
d f
f = f f = fia ib
24 36 mm
30cm
(L ) t = 6 mm1
.trepeux,Il'unresppassanutlapargraleangulairecenl'ontretts,nincidennette.de(vlaApr?slentes,tilletilles?quivangulairesalente,te,tl'autrer?elpassanctiont.pardonletflenoCeycertreoblenjett?quivualenuntaleursonsGauss.yl'obrae.tsReprendrebleleetiteraisonnemenmono-lent?petourtelaellecongurationde(b),photographiqueetestd?terminerqdeuxcentrac?snceleetgrandissemenlimit?tduangulairediagonalecorrespexprim?ondanett.(celleB.4teOndplacecalculerenndeuxderri?renlasusmenlensuptillecompatibitourseronleso?Champh?mat,elavlencaltilledesscjectifsunLafairehniquescalcul,desutilis?ed?repr?c?demmenent.utilis?1.ec?etquelleoddonneraistancecorrespdeenleOndanshamps'aiderortionourobdoit-onl'obplacerunelacpparelliduculeiphotographiquesommet(ougrandilammatricealenCCD)gureptourhampobtenirlaunedeimagelenetteest-?-dired'unformatobvjetrelationplac?,?fol'innil'ob?eLa?quivdistancequestionsPGauss.et?pcomparercimpourorte-t-ellen?ti2.deO?etdoit-onpplacerdelaetlentertilledesleuespuiscCalculervoptique.ditesp8ourB.5quemainl'envctilleomsectionbremenestttagedujectifsyst?meYlenitillesvpCelliculesp/laCCDconcernesoiteslepplusphoto-faibledepOnossibleob??3.l'ob?tenlI'aideadetiragel'axeB.3?deetnortfrappl'on(grandissemenl'applicationtum?riqueangulaireondandansdelaangulaireconguration5.(bapp)),cexprimerangulairelespdi-coniquemensionsl'espaceparjetd?nisttjectif?mergendonneetimagetCedehampl'imageexprim?form?el'anglesurssemenlac?nepuelliculea/ourCCDled'utrend'uneobtillejetiplac??quiv?tel'innioirp8ourraisonnemenlesci-dessus).congurationsc(aest)paretplus(b),netdimensiondond?tecteurt,le'ralayd'unonrectangulaire.liamoirilateenarrivexprimereect?es,surlalcaleadelenjectiftidllelaincidentilleonsalenydesrapr?c?denselonc'est-?-direuneangleconditionsdelesdesosant?s),orienle?hampparpralespcopgortra?ol'axesoptiquelende(a)cette(b)ltionn?eseournlmtille.formatCalculerences(a)dimensions.Commen4.laEnlit?d?duirevlesobtendistancespfolescaleshampsimagesaangleseclesconditionsetdeetFigureecdeangulairel'obSijectifcompareconstitutenan?avecparall?lesjectifmono-len6dtilles,laresppr?c?denectivquelemenl'atan-pdourl'oblesbifocongurations?(a)aetra(b).t-ilPincono?nienu?rObced?di?sfaire,?ciquemenon?admettramacrophotographiel'existencemacrophotographied'unl'ensemedlentectilphotographiquesleermettan?quivdealengraphiertesujetsppourtaille.lesconsideuxuncongurationsjet(a)situ?etconguration(b)deetjectifontillemonrepla?antrerase(parenexemple)etqueI,pvourun(a)x?:Ena,des.quatrelenp (L )i1 1
Gt1
e (L )5
f f x =p Oi5 i1 o5 5
(L ) x f f e5 i1 i5
t
e 5 cm x
f = 20 50 cmi5
(L )5
x fi5
atilleLaaodpditionnelleC.4conl'imagev,ergendetetlecequedeainsila,alan,aleursdejetfoourcaledistancestilleeten?ladditionnellesup??rieurede?nettelaellicule.?distanceortune.lesOndepqueose?trerappnettepardeuxl'imageeursdecalesositiondev(compt?eC.2pquanot?r?tsilentivjetemenquant),d?plaendistancemani?reensoittresurl'obpjetC.3etdistancelevcenttre?pd?terminerlavdeminimaleslajectif,lenourtillel'obD?terminerpuisseC.1photographi?defa?ontp.lesDonnervl'expressionldedetransvfoenl'obfonctionandesplacedistancesOnfo.calesConclureimagestersall'inphotographierd'utilisereut-onttelentille.?uneb,et,tdela.endanceetcetgrandissemenfonction,netteanqueet7P