Les calculatrices sont autorisées

Vincent

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4

• redaction

1/5 Les calculatrices sont autorisées. * * * NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été amené à prendre. * * * Le sujet est composé de deux exercices et d'un problème indépendants. EXERCICE 1 Montrer que les deux séries suivantes sont convergentes puis calculer leur somme. a. 1 1 ( 1)( 2)n n n n≥ + +∑ . b. 1 2 ( 1)! n n n≥ ?∑ . EXERCICE 2 On considère la fonction f définie sur \ de la façon suivante : f est une fonction périodique de période 2π , f est une fonction paire et pour tout [ ] 20, : ( )x f x xπ? = . a. Déterminer la série de Fourier de la fonction f. b. En déduire, avec soin, les réels : 2 2 1 1 ( 1) 1, n n nn n +∞ +∞ = = ?∑ ∑ et 2 0 1 (2 1)n n +∞ = +∑ .

• réciproque du théorème de whitney


• théorie des distributions pour la résolution d'équations aux dérivées partielles


• s? ?


• entier naturel


• théorème de whitney

Sujets

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• Entier naturel

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Extrait

SESSION 2006

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP _______________________ MATHEMATIQUES 1 Durée : 4 heures Les calculatricessontautorisées. * * * NB :Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. * * * Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème indépendants. EXERCICE 1 Montrer que les deux séries suivantes sont convergentes puis calculer leur somme. 1 ∑ a. . n≥1 n(n+1)(n+2) n 2 b. . ∑ − n≥1 (n1)! EXERCICE 2 On considère la fonctionf définiesur \ la façon suivante: def estune fonction périodique de 2 période 2 ,fest une fonction paire et pour tout 0,π:f(x)=x . a.Déterminer la série de Fourier de la fonctionf. +∞ n +∞ +∞ (−1) 11 ∑ 2 ∑ 2 ∑ 2 b.En déduire,avec soin, et., les réels : n=1 n n=1 n n=0 (2n+1) +∞ 1 ∑ 4 c..Déterminer, en énonçant le théorème utilisé, le réel : n=1 n

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PROBLEME : Une introduction aux fonctions tests Dans tout le problème, \ est muni de sa norme naturelle : la valeur absolue. Toutes les fonctions considérées seront à valeurs dans \ . k ( k ) Sihest une fonction de classe C , h désigne la dérivée k -ième de h . Sihest une fonction bornée sur\, on noteh=suph(x) . ∞ x∈\ Une fonction définie sur \ est ditenulle à l’infinisi ses limites en +∞ et en −∞ sont nulles. Objectifs : Lesupportd’une fonctionf définie sur un intervalleI,notéSupp, est l’adhérence de l’ensemble des points où elle ne s’annule pas : Suppf= { x∈I,f(x)≠0 . Une fonction est dite à support compact si son support est une partie compacte de\. ∞ On appellerafonction test,une fonction de classeCsur\à support compact. On note T  l’ensemble des fonctions tests. Il est facile de vérifier que T est une\-algèbre. Le but du sujet est de découvrir des fonctions tests dans la partieIet d’en voir deux utilisations ; pour l’approximation uniforme de fonctions dans la partieII, et pour démontrer un théorème de Whitney à la partieIII. Les partiesIIetIIIsontindépendanteset utilisent des résultats de la partieI. I. Découvertedes fonctions tests 1. SoitAune partie de\. Montrer queAest bornée si et seulement si son adhérenceAest une partie compacte de\. Une fonctionfdéfinie surIest donc à support compact si et seulement si { x∈I,f(x)≠0 est une partie bornée de \ . 2. Quelques exemples 2 a. On noteufonction paire définie sur la\ paru(x)=4−x si x∈ [ 0, 2  etu(xsi) 0 x> 2. Représenter la fonctionudéterminer son support. La fonction etuà support est-elle compact ? La fonctionuest-elle une fonction test ? b.La fonction sinus est-elle une fonction test ? −1 x 3. Soithla fonction définie sur\par h(x)=e si x>0 eth(x)=0 si x≤0 . ∞ a.La fonctionhest, d’après les théorèmes généraux, de classeCsur0,+∞ [ . Montrer que pour tout entier naturelk, il existe un polynômePdont on précisera le degré tel que pour k −1 (k)  1  ∞ x tout réelxstrictement positif, h(x)=Pe . En déduire quehest de classeCsur   k  x  \ . b. La fonction h  est-elleune fonction test?hdéveloppable en série entière au est-elle voisinage de 0 ? 2/5

4.On définit sur \ la fonctionparϕ(x)=h ( −(x+1)(x−1) ) . a.puis justifier que c’est une fonction test. Déterminer lesDéterminer le support de variations depuis tracer l’allure de sa courbe. b.Déterminer une fonction test dont le support est [ 3, 8 puis une fonction test dont le support est [ 1, 2∪ [ 5, 6 . 5.Déterminer les limites en +∞ et−∞d’une fonction définie sur\à support compact. 6.Construction d’une suite régularisante +∞ a.Justifier que la fonctionde la question4.est intégrable sur\et queϕ(t) dt >0 . En ∫ −∞ déduire l’expression d’une fonction testρpositive, de support [ −1,1 , intégrable sur\et +∞ telle queρ(t) dt=1 . ∫ −∞ Pour tout entier naturel non nuln, on définit sur\la fonction ρ par ρ( )=nρ ( nx ) . La suite de nn fonctions ( ρ ) est appeléesuite régularisante. n n +∞ b.Pour tout entier naturel non nuln, déterminer le support deρet calculerρ(t) dt. ∫ −∞ n n II. Approximationuniforme sur \ par des fonctions de classe C ou par des fonctions tests Un théorème de Weierstrass nous dit que toute fonction continue sur unsegment peutêtre approchée uniformément par des fonctions polynômes. Voyons ce qu’il en est si la fonction est continue sur\ entier (donc sur toutun intervalle non borné). 7. L’approximation polynomiale ne convient plus Soit P  unesuite de f ( n ) onctions polynômes qui converge uniformément sur\ versune n fonctionf. a.Justifier qu’il existe un entier naturelNtel que pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àN, on ait pour tout réelx, P(x)−P(x)≤1. n N  Quepeut-on en déduire quant au degré des fonctions polynômesP−Plorsquen ≥ N? n N b.Conclure quefest nécessairement une fonction polynôme. Nous allons toutefois démontrer qu’il est possible d’approcher certaines fonctions uniformément sur ∞ \ , non pas par des fonctions polynômes, mais par des fonctions de classeC, ou par des fonctions tests. Plus précisément, nous allons démontrer les deux résultats d’approximation suivants : ( A 1 ) toute fonction continue sur :\, nulle à l’infini est limite uniforme sur\suite de d’une fonctions continues sur\à support compact. ( A 2 ) toute fonction continue sur : \ à support compact, est limite uniforme sur \ d’une suite de fonctions tests. L’approximation ( A 1 ) est un résultat préliminaire, qui est démontré à la question 8.

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8.Approximation d’une fonction continue nulle à l’infini par une suite de fonctions continues à support compact  pz x)=1 si∈0,n, Pour tout entier natureln, on définit sur \ , la fonction pairez n ar n ( [ z(x)= −x+n+1 six ∈ n,n + 1)et ( n [ [ z n x=0 six ∈ [ n + 1, + ∞ . a.Représenter graphiquement la fonctionz. Déterminer la limite simple de la suite de n fonctions ( ) . La c z n onvergence est-elle uniforme sur\? b.Soitgune fonction continue sur\, nulle à l’infini.  Démontrerque la fonctiongest bornée sur\pour tout entier naturel. On peut donc poser n , α =supg(x) . n x≥n c.Etudier la monotonie de la suite ( ) puis déterminer sa limite lorsquentend vers∞. n d.Pour tout entier naturel n , on définit la fonctiong enposantg=g z. Déterminer un n n n réelktel que pour tout entier naturel n , g−g≤k . n n ∞ e. En déduire le résultat d’approximation ( A 1 ) : toute fonction continue sur\, nulle à l’infini peut être approchée uniformément sur\ parune suite de fonctions continues sur\ à support compact. Dans les questions9.,10.,et11.,fdésigne une fonction continue sur\etgdésigne une fonction continue àsupport compact. Il existe donc un réelR>0tel queSuppg⊂ [ −R,R. 9.Convolution a. Justifierque, pour tout réel x, l’applicationt6g(t)f(x−t) estintégrable sur\. On +∞ définit alors sur\ lafonctiong∗f par ( g∗f ) ( x ) =g(t)f ( x−t ) dt. On dit que ∫ −∞ g∗fest leproduit de convolutiondegparf. b.Soitxun réel, montrer que l’applicationt6f(t)g xt ) est intégrable sur \ . +∞ On définit donc sur\la fonction∗gpar ( ∗g ) (x)=f(t)g ( x−t ) dt. ∫ −∞ Comparer les fonctions∗getg∗f. 10.Support d’une convolution a.Dans cette question, on suppose de plus quefest à support compact, il existe donc un réel S>0tel queSupp⊂ [ −S,S. Si>R+S, que vaut∗g ) (x)?  Endéduire que∗gest aussi à support compact. b.Montrer que si la fonctionfn’est pas à support compact,∗gn’est pas nécessairement à support compact. 11.Dérivation d’une convolution a.Soitaréel strictement positif. Justifier que pour tout un ∈ −a , a , a+R ( ∗g ) (x)=f(t)g ( x−t ) dt. ∫ −a−R 1 1 b.Montrer que sigest de plus supposée de classeC, alors∗gest de classeC. Écrire ′ alors ( ∗g )  à l’aide d’un produit de convolution.

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∞ Si on suppose de plus, quegest de classeCsur\, on démontre de la même manière et ∞ on l’admettra que∗gest également de classeCsur\. 12.Application à l’approximation a.Soitnun entier naturel non nul,ρdésigne la fonction test introduite dans la question6., n 1 n montrer que pour tout réelx,∗ρ(x)−f(x)≤f(x−t)−f(x)ρ(t) dt. ∫ n n −1 n b. On suppose de plus quefest uniformément continue sur\.  Montreravec soin que la suite de fonction s f∗ρ n )  estune suite de fonctions de n≥1 ∞ classeCqui converge uniformément sur\versf. c.En déduire le résultat d’approximation ( A 2 ) : toute fonction continue sur\support à compact, est limite uniforme sur\ d’unesuite de fonctions tests (on pourra utiliser librement le résultat suivant: une fonction continue sur\, nulle à l’infini, est uniformément continue sur\). Remarque :L’espace des fonctions tests joue un rôle important en analyse, notamment dans la théorie des distributions pour la résolution d’équations aux dérivées partielles. III. Théorèmede Whitney Le but de cette partie est de démontrer le théorème suivant : Théorème de Whitney: SiF estune partie fermée de \ , alors il existe une fonctionfde classe ∞ Csur\telle queF=Z(f) où Z ( f ) = { x∈\ , f ( x ) = 0. 13.Justifier que la réciproque du théorème de Whitney est vraie. 14.Une première tentative de preuve…infructueuse SoitFune partie fermée de\. Pour tout réel x , on note d x , F =inf x − y  et ( ) d F définie sur l’application \  par y∈F d(x) = d ( x,F ) . F Déterminer ( d ) . Quelle propriété notée (P) devrait vérifier l’application d pour que le F F théorème de Whitney puisse être démontré ? Représenter graphiquementddans le cas particulier oùF= −∞,−1∪ [ 1,+∞ [ . F d vérifie-t-elle cette propriété (P) ? Justifier votre réponse. F 15.Utilisation de fonctions tests Démontrer le théorème de Whitney dans les cas suivants : (i) F est le complémentaire d’un intervalle ouverta,b [ . (ii) F est le complémentaire de la réunion de deux intervalles ouverts disjoints. 16.Démontrer le théorème de Whitney dans le cas général. On utilisera librement le résultat suivant :une partie ouvertede\, peut s’écrire comme une réunion finie ou alles ouverts disjoints, c’est-à, epartie ∪ dénombrable d’interv-direΩ = ] a k b k [ , oùI estun k∈I deN. Fin de l’énoncé

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