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Licence de Mathématiques Université de Nice Sophia Antipolis Algèbre effective

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3

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Licence de Mathématiques Université de Nice Sophia Antipolis Algèbre effective 2011-2012 Contrôle du 17 janvier 2012 Sans documents. La rédaction sera notée : soyez précis et rigoureux. Exercice 1 (2,5 pts) 1. Calculer 3129 [5]. 0,5 pt 2. Calculer 3129 [7]. 0,5 pt 3. En utilisant les calculs précédents calculer 3129 [35]. 1,5 pt Solution : 1. D'après Fermat 34 = 1 [5] or 129 = 4? 32 + 1 donc 3129 = (34)32 ? 3 = 3 [5]. 2. D'après Fermat 36 = 1 [7] or 129 = 6? 21 + 3 donc 3129 = (36)21 ? 33 = 27 = 6 [7]. 3. On cherche une solution de { x = 3 [5] x = 6 [7] . On calcule une relation de Bézout entre 5 et 7, par exemple 3? 5? 2? 7 = 1. On a alors x = 3?5?6?2?7?3 [35] (Théorème des restes chinois). Soit x = 90?42 = 48 = 13 [35]. Comme la solution est unique modulo 35 on a 3129 = 13 [35]. Exercice 2 (2,5 pts) 1.

  • vecteur colonne

  • théorème des restes

  • polynôme x9?x3

  • reste x3

  • application linéaire

  • x4 dans z


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Langue Français

Exrait

Licence de MathÉmatiques AlgÈbre effective
UniversitÉ de Nice Sophia Antipolis 2011-2012
ContrÔle du 17 janvier 2012
Sans documents. La rdaction sera note : soyez prcis et rigoureux.
Exercice 1(2,5 pts) 129 1. Calculer3 [5].0,5 pt 129 2. Calculer3 [7].0,5 pt 129 3. Enutilisant les calculs prcdents calculer3 [35].1,5 pt Solution: 32 4 1294 1. D’aprsFermat1 [5]3 =or129 = 4×32 + 1donc3 =(3 )×3 = 3[5]. 21 6 1296 3 2. D’aprsFermat3 =1 [7]or129 = 6×21 + 3donc3 =(3 )×3 =27 = 6[7]. x= 3[5] 3. Oncherche une solution de. x= 6[7] On calcule une relation de Bzout entre 5 et 7, par exemple3×52×7 = 1. On a alorsx= 3×5×62×7×3 [35](Thorme des restes chinois). Soitx= 9042 = 129 48 = 13[35]. Comme la solution est unique modulo 35 on a13 [35]3 =.
Exercice 2(2,5 pts) k 1. Soita(Z/nZ)et un entierk >0. Montrer que sia= 1alors l’ordre deadivisek.1 pt 2. Montrerque 9 est l’ordre de 2 modulo 511. 0,5 pt 3. Enutilisant les questions prcdentes rpondre À la question : 511 est-il un nombre premier?1 pt Solution: 1. Onposed=ordre(a). On fait la division euclidienne dekpard, toujours possible puisque  q k dr r d6= 0,k=dq+ravec06r < d. Donca=a a=a= 1avec06r < d. D’aprs la d dfinition de ordre(a), le plus petitdnon nul tel quea= 1, on ar= 0et donck=dq. 3 9 33 2.[511]= 8= 512 = 12 =(2 )donc 9 est l’ordre ou un multiple de l’ordre de 2 modulo 3 511, or82 =6= 1[511]donc 9 est l’ordre de 2 modulo 511. 510 3. Si 511 est un nombre premier2 =1 [511](Fermat), donc 9 divise 510 (premire question). Or510 = 51×10, 9 et 10 sont premiers entre eux et51 = 5×9 + 6n’est pas 1 divisible par 9 donc 510 n’est pas divisible par 9donc 511 n’est pas premier.
Exercice 3(5 pts) 0 SoitP(x)un polynÔme dansQ[x]etP(x)sa drive. m DÉfinition:αest une racine de multiplicitmdeP(x)siP(x) = (xα)Q(x)etQ(α)6= 0. 1. Montrer que siαest une racine de multiplicitmdeP(x)alorsαest une racine de 0 multiplicitm1deP(x). 1,5 pts 0 2. Quellessont les racines et avec quelle multiplicit deP(x)/pgcd(P(x), P(x))?2,5 pts 3. Ceciest-il aussi vrai pour un polynÔme dansZ/pZ[x]avecppremier ?1 pt 1 On pouvait aussi faire la division euclidienne de 510 par 9 mais c’est moins amusant.