Licence ieme annee parcours PC

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence 2-ieme annee, parcours PC Exercice 1. a En passant aux coordonnees polaires, on trouve : lim (x,y)?(0,0) f(x, y) = lim (x,y)?(0,0) x3 ? xy2 x2 + y2 = lim r?0 r3(cos3 ? ? cos ? sin2 ?) r2 = lim r?0 r(cos3 ? ? cos ? sin2 ?) = 0, par la regle des gendarmes puisque r ? 0 et (cos3 ? ? cos ? sin2 ?) est borne. b. g(x, y) = x2 ? 2xy + y2 x2 + y4 + y2 . Regardons la limite de g en (0, 0) le long de la courbe d'equation x = 0 : Elle s'ecrit : lim y?0 g(0, y) = lim y?0 y2 y4 + y2 = lim y?0 1 y2 + 1 = 1 Regardons la limite suivant la courbe d'equation x = y : lim x?0 g(x, x) = lim x?0 0 2x2 + x4 = 0 Ces deux limites sont differentes, on conclut que g n'a pas de limite en (0, 0). c. g(x, y) = x2 + y2 x2 + y3 .

• ∂2f ∂x∂y


• classe c1 sur r2 ssi


• xy ?


• sin ?


• cosn

Informations

• Publié par: ondey
• Nombre de lectures: 8
• Langue: Français

Extrait

Licence2i ` emeanne ´ e,parcoursPC

Exercice 1. a En passant aux coordonne´es polaires, on trouve : 3 23 3 2 x−xy r(cosθ−cosθsinθ) 3 2 limf(x, ylim =lim) =lim =r(cosθ−cosθsinθ) = 0, par la 2 22 (x,y)→(0,0) (x,y)→(0,0) x+y r r→0r→0 3 2 r ` egledesgendarmespuisquer→0et(cosθ−cosθsinθ)e. ´ ernbost 2 2 x−2xy+y b.g(x, y) =. 2 4 2 x+y+y 2 y Regardons la limite degen(0,0) le long de la courbe d’e´quation x= 0 : Elle s’e´crit : limg(0, ylim =) = 4 2 y→0y→0 y+y 1 lim =1 2 y→0 y+ 1 0 Regardonslalimitesuivantlacourbed’ ´ equationx=y:limg(x, x0lim =) = 2 4 2x+x x→0x→0 Ces deux limites sont diffe´rentes, on conclut que gn’a pas de limite en(0,0). 2 2 x+y c.g(x, y) =. 2 3 x+y 2 y1 Regardons la limite degen(0,0)lelongdelacourbed ´ ’qeauitnox= 0s’lecr ´ e:it:lElimg(0, y) =lim =lim. 3 y→0y→0y→0 y y Cette limite n’existe pas (on a+∞en0 + et−∞en0 − ) doncgn’a pas de limite en(0,0).

Exercice 2. a.fest continue en(0,0)si seulement silimf(x, y) =f(0,0) (x,y)→(0,0) 3 32 23 32 23 32 23 (x+ 2y)x+ 6x y+ 12xy+y x+ 6x y12xy+y x+ 6x y12xy+y =≤+≤+  2 2   2 2   2 2   2 2   2   2  2x+y2x+y2x+y2x+y2x y 2 22 22 2 Puisque on a2x+y≥2xet2x+y≥y . Par conse´quent : x+ 6y 0≤ |f(x, y)| ≤+|12x+y|   2 . Finalement, en utilisant la re`gle des gendarmes on conclut que limf(x, y) = 0 =f(0,0)quedirest ` ac’efest (x,y)→(0,0) continue en(0,0). b.f(x, y) =ysin(x/y)siy6= 0,f(x,0) = 0.

Exercice 3. n 1 Soitf(x, y) =xln( 2 2 )etf(0,0) = 0, o`unest un entier strictement positif. x+y 2 1)Etudierlacontinuit ´ edefsurR. 1 22 12 f est continue (meˆme CetC) surR\ {(0,0)}mocrpem(esnutionsclenoususleedofcnitompos ´ eeoduitetcC,C) surleursdomainesded ´ efinitionrespectifs.  Proble`me en (0,0).Montrer quefest continue en(0,0) ` amontrerquerveeitn limf(x, y) =f(0,0) = 0. (x,y)→(0,0) En coordonne´es polaires :  x=rcosθ y=rsinθ 1 n nn n2 On obtientf(x, y) =rcosθln =−rcosθln(r). 2 r n2n Commen≥1, la limite lorsquer→0de−rlnr=−2rlnrvaut0(on utilise la”limite classique”limxlnx= 0). 0+ n D’autre partcosθrapcnoD.elge ` raldaensgdeesrmern ´ estbolimf(x, y) = 0d ` esquen≥1. (x,y)→(0,0) 1’) Pour quelles valeurs den,fneselleitrpaes ´ eaiveertdd ´ mlesleed(0,0)? 1