Licence L3 option de geometrie synthese decembre

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Licence L3 - option de geometrie synthese 6 10 decembre 2004 8.3. Isometrie du plan affine euclidien Soit P un plan affine euclidien. Un hyperplan de P est une droite de P ; la symetrie orthogonale par rapport a une droite D de P est appelee symetrie axiale d'axe D et notee sD. La proposition 8.1 nous dit qu'une isometrie f de P s'ecrit de l'une des fac¸ons suivantes : – la composee de 0 symetrie axiale – f est alors l'application identite et l'ensemble des points fixes de f est P entier, – f = sD pour D une droite de P – l'ensemble des points fixes de f est alors D, – f = sD ? sD? pour D et D? deux droites de P – voir ci-dessous, – f = sD ? sD? ? sD?? – voir ci-dessous. Si D = D?, sD?D? est l'identite. Si D et D? sont deux droites paralleles et distinctes alors sD ? sD? est une translation de vecteur non nul orthogonal a D (et a D?) (voir l'exercice 4 de la feuille de TD 4) ; l'ensemble des points fixes de sD ? sD? est vide. Si D et D? sont deux droites secantes en un point O alors sD ? sD? est une rotation de centre O d'angle non nul : voir la section suivante et les exercices 2 et 4 de la feuille de TD 4.

• droites vectorielles


• produit scalaire


• sin ?


• application lineaire de matrice


• ??x ?


• composee coıncide avec l'application


• ??p

Sujets

• Produit scalaire

Informations

• Publié par: vehot
• Nombre de lectures: 45
• Langue: Français

Extrait

LicenceL3-optiondegeometrie

synthese6

10decembre2004

8.3.edupetrineelanaidnecuilImos SoitPupneennalaendiliucrepyhnU.ednalpPest une droite dePl;lanorapeieorthogasymetr rapport a une droiteDdePest appelee symetrie axiale d’axeDet notees D . Laproposition8.1nousditqu’uneisometriefdePe’stirc’ledavtnse:unedesfaconssui – lacomposee de 0 symetrie axiale –felsrolatsxstsesedeniopeeltittmelbe’snlica’appidention defestPentier, –f=s D pourDune droite dePembledes–l’ensedsexstniopfest alorsD, 0 –f=s D s D pourDetDdeux droites deP– voir ci-dessous, 0 –f=s D s D s D – voir ci-dessous. 0 00 0 SiD=D,s D  D di’ltse.etitne 0 0 SiDetDtdsetiistenclosasrsontdeuxdortiseaparlleels D s D est une translation de vecteur non nul 0 0 orthogonal aD(et aDov()xstedseel4dcecierexl’iredDT)4l;fauelieledespoin’ensembls D s D 0 est vide. 0 SiDetDunesetnatniopnroxdoenutsdecsesitOalorss D s D est une rotation de centreOd’angle 0 nonnul:voirlasectionsuivanteetlesexercices2et4delafeuilledeTD4.L’ensembledespointsxes est{O}. s D s D s D eed’posacomestlfeuilleice4delalre’excritnov:ioraetlansetleund’eirtaixasenuemy 0 00 deTD4.L’ensembledespointsxesestl’ensemblevideouunedroite.

9.duplglesetanionseinlcdienuenaaRtato → 9.1.Rappel :SoientXilidneedidertcoincueenaecapsenuXetf:X→Xune application d’ensembles.feiisertlumeteesipouentssrtouesnetuomisM, N∈X, on a d(f(M), f(N)) = d(M, N). Proposition. Soitf:X→X:esntlevauieqtonoitae’dnpaencilpuvinaetsstioisnus.Lescondnsembles (i)fmosienutsee.etri (ii)fpmsoalocmoemirct’ecssydeetmesripehydeennu’rbmoinepralen.s → (iii)fisphoromogthormeeriaenidnenutsetaneetsapartielednolaseX.

9.2.seolmapuundeeiderledi’naretaiienpeatlEteir → → Rappel Soitϕ:X→Xneuenilnoitacilppandomorphaire(ouesiem.)ϕest orthogonal si et seulement → si pour tousx, y∈Xon a (ϕ(x)|ϕ(y)) = (x|y). → → Proposition. Soitϕ:X→Xtnel:semodoenune.smhirpeLcsnoiditnossiuvantessontequia (i)ϕest un endomorphisme orthogonal. → (ii)Pourtoutebaseorthonormee(e 1 , . . . , e n ) deX, la famille (ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )) est une base or- → thonormeedeX. → (iii)Ilexisteunebaseorthonormee(e 1 , . . . , e n ) deXtelle que la famille (ϕ(e 1 ), . . . , ϕ(e n )) soit une base → orthonormeedeX. t (iv) LamatriceMdeϕsunebaseorthonormeeveriednaM M= I.

18

2 OnconsidereRLa famille de vecteurs ((1avec le produit scalaire canonique.,0),(0,1)) est une base 2 2 orthonormee(BON)deRdeqieunanoeceonmrrthoaseoel’laapbpe.lOlnR.   2 2 a c Soitϕ:R→Rilnoitacilppaenue.nocaqunisnalabesadematriceneairedϕest orthogonal si b d et seulement si 2 22 –a+b= 1 (c’est la traduction dekϕ(1,0)k= 1), et 2 22 –c+d= 1 (c’est la traduction dekϕ(0,1)k= 1), et –ac+bd= 0 (c’est la traduction deϕ(1,0) est orthogonal aϕ(0,1)). 2 2 Supposonscesconditionsveriees.Laconditiona+brantelineele’decrnuixe’nets, unique a un multiple entier de 2t,serp(euqlea, b) = (cos,sinpart on sait que l’orthogonal de la). D’autre droitevectorielleengendreepar(a, b) ((a, b)6= (0,0))estladroitevceotirleelneegdnreepar(b, a) ; 2 2 donc (c, d) s’ecrit (b,a) pour un∈R. Commede plusc+d= 1 on a= 1 ou=1,    abcossin c’est a dire deux possibilite pour la matrice deϕee:drmtednan=iuo1t b a sincos    a bcossin =dedeterminant1. ba sincos Danslesecondcasonreconnaˆtlasymetrieorthogonaleparrapportaladroitevectorielleengendreepar   (cos,(voir l’exercice 2 de la feuille de TD 4).sin ) 2 2 2 Dans le premier cas on dit queϕest la rotation vectorielle deRd’angle(relativement a la base 2 canonique deR).   cossin Proposition :. L’applicationR→GL 2 (R),7→est un homomorphisme du groupe sincos (R,+) dans le groupe GL 2 (R). + L’image de est noteeO(R) (ou SO 2 (Rlsnatilaretruta.Ce)meom()dR,+) est un groupe commutatif, 2 + onobtientquel’imagede,O(R), est commutatif (alors que GL 2 (R)esteˆrt)e.olnied’l 2 Laperiodicitedesfonctionscosetsinnousditquel’homomorphismeestdenoyau2Z={2 k,k∈Z}. + On obtient donc un isomorphisme de groupesR/2Z→ O(R). 2 Lien avec le corpsC 2 L’applicationR→C, (a, b)7→a+ibest un isomorphisme deR-espaces vectoriels d’inversez7→ 2 (Re(z),Im(zbase canonique ((1)). La,0),(0,1)) deRihtpseieimvacate’ssidmionreoe(1lafamill, i). 20 Le produit scalaire canonique deRcorrespond via cet isomorphisme a l’applicationCC→C, (z, z)7→ 1 0 0 (zz+ zz). Lanorme associee estz7→ |z|=zz. 2 Soitz 0 ∈Cqu’on ecritz 0 =a+ibaveca, b∈R. L’applicationϕ z 0 :C→C,z7→z 0 zest un   ab endomorphisme deR-espace vectoriel.La matrice deϕ z 0 dans la base canonique est. On b a 2 2 reconnaˆt lamatrice d’une rotation vectorielle sia+b= 1 c’est a dire si|z 0 |= 1. NotonsUl’ensemble des nombres complexes de module 1 ; c’est un sous-groupe du groupe multiplicatif i C=C {0}sait que l’application. On7→eest un homomorphisme du groupe additif (R,+) dans  le groupe multiplicatifCd’imageUet de noyau 2Z. i + On a donc deux homomorphismes :R/2Z→U, []7→eetU→O (R),z7→mat(ϕ z ) dont la   2 cossin composeeconcideavecl’application[]7→. Cesont tous des isomorphismes. sincos Exercice. 2 – Soita∈Celquertron.Me1uldomedexelpmocerbedeonalhtgoeiroeurtsmaomnynRidenti e 2 aCpar rapport a la droite{a,∈R}s’ecritz7→az. – Poura∈Cquelconque montrer que l’applicationa7→az, respectivementz7→az, est la composee 2 d’unehomothetievectorielleetd’unerotationdeRv,ecetroprsiceelilteevemtn’dnuhemotohteei etd’unesymetrieorthogonale.

19