lois et esperances conditionnelles
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Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
lois et esperances conditionnelles TD 05 Annee 2010-2011 Probabilite - M1 Exercice 1 : 1. Soient X1 et X2 deux v.a. independantes de loi binomiales de parametres respectifs (n1, p) et (n2, p) (a) Determiner la loi de X1 sachant X1 +X2 = n. (b) Quelle est la fonction de regression de X1 par rapport a X1 +X2 ? En deduire E[X1|X1 +X2]. 2. On suppose que X1, . . . , Xp sont p v.a. de Poisson independnates de parametres ?1, . . . , ?p. (a) Determiner la loi de X1, . . . , Xp?1 conditionnellement a X1 + · · ·+Xp = n. (b) Determiner E[X1|X1 +X2]. Exercice 2 : On considere la le couple de v.a.r. (X, Y ) dont la loi du couple est donnee par : f(x, y) = ?2e??y10≤x≤y 1. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant X ? la fonction de regression ? l'espe- rance conditionnelle ? 2. Quelle est la loi conditionnelle de Y ?X sachant X ? Qu'en deduire sur le couple (Y ?X,X) ? Exercice 3 : On considere le couple (U, V ) qui admet pour denstie : f(u, v) = ue?v10≤u≤v.

  • projection sur l'axe des abscisses

  • independantes de loi binomiales de parametres respectifs

  • x2 independantes

  • espace des evenements

  • meme loi

  • loi conditionnelle

  • loi de poisson de parametre


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TD 05 Ann´ee2010-2011 Probabilite´-M1
loisetesp´erancesconditionnelles
Exercice 1 : 1. SoientX1etX2teerrsseedapar`mpectifsuevxd´end.i.ateanndpeibioledsselaimon (n1, p) et (n2, p) (a)De´terminerlaloideX1sachantX1+X2=n. (b)Quelleestlafonctiondere´gressiondeX1`artpoaprrpaX1+X2?d´Enuiedre E[X1|X1+X2]. 2. On suppose queX1, . . . , Xpsontpmarapedsserte`´endnisotenandpe.v.aedoPsi λ1, . . . , λp. (a)D´eterminerlaloideX1, . . . , Xp1`antelnnmelednocoitiX1+∙ ∙ ∙+Xp=n. (b)De´terminerE[X1|X1+X2].
Exercice 2 :upcolelare`eidnsocnO.r(.v.aeledX, Yuopnnl´edeusctodaloieoentld) par : 2λy f(x, y) =λ e10xy 1. Quelleest la loi conditionnelle deYsachantX?lonspe-´e?lafontcoidnree´rgseis rance conditionnelle? 2. Quelleest la loi conditionnelle deYXsachantXneuQ?lpeouecrlsureuiedd´ (YX, X) ?
Exercice 3 :(ecelelpuoonsid`erOncU, Vuq)deur:ti´nesdmiapoet
v f(u, v) =ue10uv.
2 CalculerE[ϕ(U)|V] pourϕ(x) =xetϕ(x) =x.
Exercice 4 :ocelelpu(coOnidnsre`eU, V:eiuq)admetpourdensti´
v f(u, v) =e10uv.
1.Quelleestladensit´econditionnelledeUsachantVduirnd´eut-o?Pellucanaselacs   U U loi de? deU,? V V
1
2 2. CalculerE[ϕ(U)|V] pourϕ(x) =xetϕ(x) =x. x 3. SoientX, Yt´eensiv.uxde.i.d.a.imedeedˆmg(x) =e1x0. On oposeS=X+Y. Montrer que (X, S)maeˆemolqieu(U, V).
Exercice 5 :SoientXetY´dpeneadtnseedoldeuxv.a.inniiurmfoures[0,1]. 1. Donnerla loi deXYa`emtnondicneletionX. 2.End´eduirelafonctiondere´gressiondeXY`tarpaarpproX. 3.End´eduireE[XY|X.]llesonneiditcsnolsioraelassprpsetaulantsecrese´rteR.vuor
Exercice 6 :Soit (Xn)n1une suite de v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [0,1]. On fixe un entierk2 et on noteIk(resp.Bk) le minimume (resp. le maximum) deX1, . . . , Xk. 1. Donnerles lois deIk,Sket (Ik, Sk). 2. Quelleest la loi deSkallmene`ttidineononcIk? 3. Quelleest la loi deXkemellennoitidnoc`antIk?
2 Exercice 7 :SoientXetYdeux v.a.Ltelles que :
Montrer queX=Yp.s.
E[X|Y] =Yp.s. etE[Y|X] =Xp.s.
Exercice 8 :Soient (Ω,A,Pibil´teet)unespacedeprobaBune sous-tribu deA. Pour A∈ A, on pose : B={E[1A|B] = 0}. c Montrer queBA.
Exercice 9 :SoientXetY´enteir´arec.d.avxuedrgbaelteBune sous-tribu deA, lespacedese´ve´nements..Montrerque:
E[XE[Y|B]] =E[YE[X|B]].
Exercice 10 :SoientXetYdeux v.a.r. On suppose queYest une loi exponentielle de parame`tre1etquelaloiconditionnelledeXsachantY=yest une loi de Poisson de param`etrey. 1. Quelleest la loi du couple (X, Y), deX, deYsachantX? 2 2. MontrerqueE[(XY) ]= 1.
Exercice 11 : 1. Pour des v.a.X1etX2seteedˆmpeneadtnind´iosstisopevitntsoitsoelemetoi int´egrables.Calculer: E[X1|X1+X2].
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2. Soit(Xn)n0une suite de v.a.i.i.d. et soitSnla somme desnteperime`er.snOon Gn=σ(Sn). Montrer que : Sn E[X1|Gn] =. n Exercice 12 :SoientX1, . . . , Xnnd´epa.inntesenda.vraped´oiniemˆdeelemP(Xi= P P n n 1 1etT= 1) =P(Xi= 0) =P(Xi=t1)=.nO´deinT1=1Xi=1 2i=11Xi=0. 3i= 1. SoitfulceeellCr.elea´ailbvreralledr´eetionfoncenuE[f(Xi)|T1, T2]. 2. CalculerE[f(Xi)|T1+T2]. 3. Calculerla loi conditionnelle deT1sachantT1+T2. Exercice 13 :nO.snoc`eidtrresvoi.r.aX,YetZtelles que : X∼ U[0,1], sachant queX=x,Yunetdmaonnelleitidnoce´tisnedefY|X=xdon´neeap:r (yx) fY|X=x(y) = (yx)e1y>x pourx[0,1] et sachant queX=xetY=y,Zetdmansdeurpole:ocdntie´nnletioi z(yx) fZ|X=x,Y=y(z) = (yx)e1z>0, 2 pour (x, y)∈ {(x, y)R|x[0,1]> x, y} 1. Quelleest la loi de (X, Y, Z) ? 2. Quelleest la loi deZ? 3. Quelleest la loi conditionnelle de (X, Y) sachantZ=z? 4. CalculerE[YX|Z=z] . 5.End´eduireE[YX]. 6. OnposeU=YXetV=Z(YX). Quelle est la loi conjointe de (X, U, V) ? 7.Cesvariablessontellesinde´pendantes? Exercice 14 : 1. SoitΩ ={0yx1},Pla mesure uniforme sur Ω etX(resp.Y) la projection surlaxedesabscisses(resp.ordonne´es).CalculerE[Y|X]. 2 2 2. SoitΩ ={x+y= 1}etZ= (X, Y) une v.a. de loi uniforme sur Ω. Calculer 2 E[X+X1|Y]. 2 2 3. SoitΩ ={x+y1}etZ= (X, Y) une v.a. de loi uniforme sur Ω. Calculer 2 E[X|Y].
Exercice 15 :Soit (Xn)n0une suite de v.a.i.i.d.avecE[X1] =µ,Var[X1] =v. SoitN unev.a.entie`re,inde´pendantedesXnavecE[N] =ν,Var[N] =w. 1. CalculerE[SN]. 2. CalculerVar[SN].
2Exercice 16 :Soitδ:={(x, y)R/0xy1}etnN. CalculerE[Y|X].
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