lois et esperances conditionnelles

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
lois et esperances conditionnelles TD 05 Annee 2010-2011 Probabilite - M1 Exercice 1 : 1. Soient X1 et X2 deux v.a. independantes de loi binomiales de parametres respectifs (n1, p) et (n2, p) (a) Determiner la loi de X1 sachant X1 +X2 = n. (b) Quelle est la fonction de regression de X1 par rapport a X1 +X2 ? En deduire E[X1|X1 +X2]. 2. On suppose que X1, . . . , Xp sont p v.a. de Poisson independnates de parametres ?1, . . . , ?p. (a) Determiner la loi de X1, . . . , Xp?1 conditionnellement a X1 + · · ·+Xp = n. (b) Determiner E[X1|X1 +X2]. Exercice 2 : On considere la le couple de v.a.r. (X, Y ) dont la loi du couple est donnee par : f(x, y) = ?2e??y10≤x≤y 1. Quelle est la loi conditionnelle de Y sachant X ? la fonction de regression ? l'espe- rance conditionnelle ? 2. Quelle est la loi conditionnelle de Y ?X sachant X ? Qu'en deduire sur le couple (Y ?X,X) ? Exercice 3 : On considere le couple (U, V ) qui admet pour denstie : f(u, v) = ue?v10≤u≤v.

• projection sur l'axe des abscisses


• independantes de loi binomiales de parametres respectifs


• x2 independantes


• espace des evenements


• meme loi


• loi conditionnelle


• loi de poisson de parametre

Informations

• Publié par: larec
• Nombre de lectures: 39
• Langue: Français

Extrait

TD 05 Ann´ee2010-2011 Probabilite´-M1

loisetesp´erancesconditionnelles

Exercice 1 : 1. SoientX 1 etX 2 teerrsseedapar`mpectifsuevxd´end.i.ateanndpeibioledsselaimon (n 1 , p) et (n 2 , p) (a)De´terminerlaloideX 1 sachantX 1 +X 2 =n. (b)Quelleestlafonctiondere´gressiondeX 1 `artpoaprrpaX 1 +X 2 ?d´Enuiedre E[X 1 |X 1 +X 2 ]. 2. On suppose queX 1 , . . . , X p sontpmarapedsserte`´endnisotenandpe.v.aedoPsi λ 1 , . . . , λ p . (a)D´eterminerlaloideX 1 , . . . , X p−1 `antelnnmelednocoitiX 1 +∙ ∙ ∙+X p =n. (b)De´terminerE[X 1 |X 1 +X 2 ].

Exercice 2 :upcolelare`eidnsocnO.r(.v.aeledX, Yuopnnl´edeusctodaloieoentld) par : 2−λy f(x, y) =λ e1 0≤x≤y 1. Quelleest la loi conditionnelle deYsachantX?lonsp’e-´e?lafontcoidnree´rgseis rance conditionnelle? 2. Quelleest la loi conditionnelle deY−XsachantXne’uQ?lpeouecrlsureuiedd´ (Y−X, X) ?

Exercice 3 :(ecelelpuoonsid`erOncU, Vuq)deur:ti´nesdmiapoet

−v f(u, v) =ue1 0≤u≤v .

2 CalculerE[ϕ(U)|V] pourϕ(x) =xetϕ(x) =x.

Exercice 4 :ocelelpu(coOnidnsre`eU, V:eiuq)admetpourdensti´

−v f(u, v) =e1 0≤u≤v .

1.Quelleestladensit´econditionnelledeUsachantVduirnd´eut-o?Pellucanaselacs   U U loi de? deU,? V V

1

2 2. CalculerE[ϕ(U)|V] pourϕ(x) =xetϕ(x) =x. −x 3. SoientX, Yt´eensiv.uxde.i.d.a.imedeedˆmg(x) =e1 x≥0 . On oposeS=X+Y. Montrer que (X, S)maeˆemolqieu(U, V).

Exercice 5 :SoientXetY´dpeneadtnseedoldeuxv.a.inniiurmfoures[0,1]. 1. Donnerla loi deXYa`emtnondicneletionX. 2.End´eduirelafonctiondere´gressiondeXY`tarpaarpproX. 3.End´eduireE[XY|X.]llesonneiditcsnolsioraelassprpsetaulantsecrese´rteR.vuor

Exercice 6 :Soit (X n ) n≥1 une suite de v.a.i.i.d. de loi uniforme sur [0,1]. On fixe un entierk≥2 et on noteI k (resp.B k ) le minimume (resp. le maximum) deX 1 , . . . , X k . 1. Donnerles lois deI k ,S k et (I k , S k ). 2. Quelleest la loi deS k allmene`ttidineononcI k ? 3. Quelleest la loi deX k emellennoitidnoc`antI k ?

2 Exercice 7 :SoientXetYdeux v.a.Ltelles que :

Montrer queX=Yp.s.

E[X|Y] =Yp.s. etE[Y|X] =Xp.s.

Exercice 8 :Soient (Ω,A,Pibil´teet)unespacedeprobaBune sous-tribu deA. Pour A∈ A, on pose : B={E[1 A |B] = 0}. c Montrer queB⊂A.

Exercice 9 :SoientXetY´enteir´arec.d.avxuedrgbaelteBune sous-tribu deA, l’espacedese´ve´nements..Montrerque:

E[XE[Y|B]] =E[YE[X|B]].

Exercice 10 :SoientXetYdeux v.a.r. On suppose queYest une loi exponentielle de parame`tre1etquelaloiconditionnelledeXsachantY=yest une loi de Poisson de param`etrey. 1. Quelleest la loi du couple (X, Y), deX, deYsachantX? 2 2. MontrerqueE[(X−Y) ]= 1.

Exercice 11 : 1. Pour des v.a.X 1 etX 2 seteedˆmpeneadtnind´iosstisopevitntsoitsoelemetoi int´egrables.Calculer: E[X 1 |X 1 +X 2 ].

2

2. Soit(X n ) n≥0 une suite de v.a.i.i.d. et soitS n la somme desnteperime`er.snOon G n =σ(S n ). Montrer que : S n E[X 1 |G n ] =. n Exercice 12 :SoientX 1 , . . . , X n nd´epa.inntesenda.vraped´oiniefimˆdeelemP(X i = P P n n 1 1etT= 1) =P(X i = 0) =P(X i =−t1)=.nO´dfieinT 1 = 1 X i =1 2 i=1 1 X i =0 . 3 i= 1. SoitfulceeellCr.elea´ailbvreralledr´eetionfoncenuE[f(X i )|T 1 , T 2 ]. 2. CalculerE[f(X i )|T 1 +T 2 ]. 3. Calculerla loi conditionnelle deT 1 sachantT 1 +T 2 . Exercice 13 :nO.snoc`eidtrresvoi.r.aX,YetZtelles que : X∼ U [0,1] , sachant queX=x,Yunetdmaonnelleitidnoce´tisnedef Y|X=x don´neeap:r −(y−x) f Y|X=x (y) = (y−x)e1 y>x pourx∈[0,1] et sachant queX=xetY=y,Zetdmansdeurpole:ocdntie´nnletioi −z(y−x) f Z|X=x,Y=y (z) = (y−x)e1 z>0 , 2 pour (x, y)∈ {(x, y)∈R|x∈[0,1]> x, y} 1. Quelleest la loi de (X, Y, Z) ? 2. Quelleest la loi deZ? 3. Quelleest la loi conditionnelle de (X, Y) sachantZ=z? √ 4. CalculerE[Y−X|Z=z] . √ 5.End´eduireE[Y−X]. 6. OnposeU=Y−XetV=Z(Y−X). Quelle est la loi conjointe de (X, U, V) ? 7.Cesvariablessontellesinde´pendantes? Exercice 14 : 1. SoitΩ ={0≤y≤x≤1},Pla mesure uniforme sur Ω etX(resp.Y) la projection surl’axedesabscisses(resp.ordonne´es).CalculerE[Y|X]. 2 2 2. SoitΩ ={x+y= 1}etZ= (X, Y) une v.a. de loi uniforme sur Ω. Calculer 2 E[X+X−1|Y]. 2 2 3. SoitΩ ={x+y≤1}etZ= (X, Y) une v.a. de loi uniforme sur Ω. Calculer 2 E[X|Y].

Exercice 15 :Soit (X n ) n≥0 une suite de v.a.i.i.d.avecE[X 1 ] =µ,Var[X 1 ] =v. SoitN unev.a.entie`re,inde´pendantedesX n avecE[N] =ν,Var[N] =w. 1. CalculerE[S N ]. 2. CalculerVar[S N ].

2∗ Exercice 16 :Soitδ:={(x, y)∈R/0≤x≤y≤1}etn∈N. CalculerE[Y|X].

3