Lycee Brizeux Mathematiques PCSI

Description

Niveau: Supérieur
Lycee Brizeux Mathematiques PCSI 2010-2011 Devoir de Mathematiques 5 : corrige Exercice 1. Restez groupes 1. cf cours. 2. Soit le groupe (C?,?) (complexes non nuls muni de la multiplication). • 1 ? U donc U n'est pas vide. • Soit (z1, z2) ? U2. Alors |z1z ?1 2 | = |z1| |z2| = 1 donc z1z ?1 2 ? U • En conclusion U est un sous-groupe de (C?, .). 3. Soit le groupe (Z,+) (entiers relatifs muni de l'addition) et ? ? U. (a) Soit (m,n) ? Z2. ?(m+ n) = ?m+n = ?m.?n = ?(m).?(n). Donc ? definie par ?(n) = ?n est un morphisme de groupes. (b) On suppose que ? = ?1. Nous avons ?(n) = (?1)n = 1 si et seulement si n ? 2Z. En conclusion ker? = 2Z. L'endomorphisme ? n'est donc pas injectif puisque son noyau n'est pas reduit a l'element neutre 0. Exercice 2. Limite inferieure et superieure d'une suite bornee 1.

• limite ?


• consequent ?n


• propriete de positivite de l'integrale entraıne


• application injective


• relation de chasles entraıne


• entraıne


• etant positive


• u0 ?

Sujets

• Injection (mathématiques)

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
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• Langue: Français

Extrait

Lyc´eeBrizeux

Mathe´matiques

PCSI 2010-2011

DevoirdeMathe´matiques5:corrig´e

Exercice1.Restezgroupe´s

1. cfcours. ∗ 2. Soitle groupe(C,×)(complexes non nuls muni de la multiplication). •1∈UdoncUn’est pas vide. −1 |z 1 | −1 2 ors|z z|1= =doncz z∈U •Soit(z 1 , z 2 )∈U. Al 1 21 2 |z 2 | ∗ •En conclusionUest un sous-groupe de(C, .). 3. Soitle groupe(Z,+)(entiers relatifs muni de l’addition) etω∈U. 2 (a) Soit(m, n)∈Z. m+n mn ϕ(m+n) =ω=ω .ω=ϕ(m).ϕ(n). n Doncϕpeinrafie´dϕ(n) =ωest un morphisme de groupes. n (b) Onsuppose queω=−1. Nous avonsϕ(n) = (−1) =1si et seulement sin∈2Z. En conclusionkerϕ= 2Z. L’endomorphismeϕquispuifyanoonesaptse’nutiude´rsn’nopcsedtejtcsani`al’´el´ementneurte0.

Exercice2.Limiteinf´erieureetsupe´rieured’unesuiteborne´e

1. (a)i.Bcnod,e´rojamtevidetnonessup(B)existe. ii. PuisqueA⊂Bet puisquesup(B)est un majorant deB,on en tire quex≤sup(B)pour toutx∈A. Cecie´tablitqueAe´rojamtsuisqeetpueA,elivndiceuone´dquleestnoesup(A)existe. Enfin,sup(B)est un majorant deAet puisquesup(A)est le plus petit des majorants deA,on obtient quesup(A)≤sup(B). (b) i.Btnonesnc´ronod,eedivimteinf(B)existe. ii. PuisqueA⊂Bet puisqueinf(B)est un minorant deB,on en tire queinf(B)≤xpour toutx∈A. Ceci´etablitqueAueuisqeetpnor´eimtsAeequleouecne´d,elivnditsoninf(A)existe. Enfin,inf(B)est un minorant deAet puisqueinf(A)est le plus grand des minorants deA,on obtient queinf(B)≤inf(A). 2. L’ensembleΩ 0 {u k :k∈N}e.n´ortbseOrΩ n ⊂Ω 0 pour toutn∈N.Ptcoare´snneuqΩ n eobts,ailleursrn´e.Par Ω n ntnoived´tenaueeqltsu´enrle,iinf(Ω n )etsup(Ω n )existent. 3. Onmontre que la suite(α n ) n ajtm´eorcee,i´quseorctassieetntementquelasuitetebailarmi´mdeai(α n ) n est convergente. On remarque queΩ n ⊃Ω n+1 pour toutn∈N.La question 1 (b) ii. entraˆıne queα n ≤α n+1 pour toutn∈N. Par ailleurs,(u n ) n steee,ilexi´nrobtnate´M∈Rtel queu n ≤Mpour toutn∈N.On aα n ≤u n caru n ∈Ω n . D’ou`α n ≤Mpour toutn∈N.Ceci montre que la suite(α n ) n amtserapee´rojM. 4. Onmontre que la suite(β n ) n ´ronc,eeiuqeate´irblmmaidi´eematsedt´ecroissanteetmieitsulauetqen(β n ) n est convergente. On remarque queΩ n ⊃Ω n+1 pour toutn∈N.qenıeune.iˆartn1io)i(aaqLstueβ n ≥β n+1 pour toutn∈N. Par ailleurs,(u n ) n teisexiltnate´,ee´nrobm∈Rtel queu n ≥mpour toutn∈N.On aβ n ≥u n caru n ∈Ω n . D’ou`β n ≥mpour toutn∈N.Ceci montre que la suite(β n ) n estminor´eeparm. 5. On aα n ≤u n ≤β n pour toutn∈N,en particulierα n ≤β n pour toutn∈N.Esapntnaslimi`alansteda l’ine´galit´eontrouve:limu n ≤limu n . 6.D’apr`eslaquestionpre´c´edente,onaα n ≤u n ≤β n pour toutn∈N.atdienemtiui´emmnenOde´dqteu lim n→+∞ u n =`ndutatioplicarapps.meardnegsedeme`roe´h

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Exercice 3. Etude d’une suite

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Onconsid`erelasuite(u n ) n∈N ´efindralrapeidnoitalerrcu´eer:ceen   u 0 ∈R + 3u n  ∀n∈N, u n+1 = u n + 1 3x3 0 Consid´eronslafonctionfiefinrpae´df(x) =. La fonctionfestrelusviba´dreR + etf(x) =. Nous 2 x(1 ++ 1x) avons le tableau de variation : x0 +∞ f(x) 0%+∞

1.Onve´rifiequef([0,+∞[)⊂[0,+∞[: ainsi[0,+∞[est un intervalle stable pourf. Donc siu 0 ∈[0,+∞[alors u n ∈[0,+∞[pour toutn≥0intabisid´enniefi)e.l(iusaseet 2. Lafonctionfequerifierv´utpeon´etantcroissante(u n )enotonomtseengdeelisidre´etuussieuta.Onpg:x7→ x(2−x) f(x)−x=. Nous avons le tableau : 1 +x x0 2+∞ g(x) + 0− •Siu 0 = 0alors pour toutn≥0nous avonsu n = 0. La suite est stationnaire et converge vers0. •Siu 0 ∈]0,2]alors pour toutn≥0nous avonsu n ∈]0,2]et(u n )est croissante (puisquef(x)≥x). La suite estcroissanteetmajor´ee:elleconvergeverslepointfixe2. •Siu 0 ∈[2,+∞[alors pour toutn≥0nous avonsu n ∈[2,+∞[et(u n )equ(etnsiup´odrtcseaessif(x)≤x). Lasuiteestde´croissanteetminor´ee:elleconvergeverslepointfixe2.

Cas0< u 0 ≤2.

Cas2≤u 0 <+∞.

Exercice4.Etudeasymptotiqued’unese´riedivergente 1 ∗ 1.S n+1 =S n + √ pour toutn∈N.lIne´rquteulese(S n ) n est strictement croissante. n+ 1 1 11 2. Lafonctionx 7→ √ e´rcnedtattcmtentsei´rsuranteoiss[k, k+ 1],on trouve :∀x∈[k, k+ 1], √ ≤ √ . 2x2x 2k R k+1 dx R k+1 dx1 Lapropri´ete´depositivit´edel’inte´graleentraıˆne: √ ≤√ = √ . k k 2x 2k2k

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R P n k+1 dx Ilenr´esulteimme´diatementque √ ≤ S n .Or la relation de Chasles entraˆıne k=1 k 2x n Z Z k+1n+1 X dx dx √ = √ . 2x2x k1 k=1 R 1 n+1 dx La fonctionx 7→ √ te´ptnatisoseviur[1, n+ 1],qteudeiuend´on √ ≥ 0,netnauqieroc’odplapen`u n 2x2x une fois la relation de Chasles : Z Z n n+1 dx dx √ ≤√ . 2x2x 1 1 R R n dx n+1 dx ∗ D’ou`ler´esultatdemande´: √ ≤√ ≤ S n pour toutn∈N. 1 1 2x2x R dx √ x=n n √ 3. Ona √ = [x] =n−1. 1 x=1 2x √ Orlimn−1 = +∞.’Du`olim n→+∞ S n = +∞d’apr`eslte´hoe`rmedecemoonisrapa. n→+∞ R R k+1 dx k+1 dx1 ∗ 4.(a)Commea`laquestion2,ontrouve √ ≥√ = √ pour toutk∈NEn sommant k k 2x 2k+ 12k+ 1 R P n dx n−1 1 1 lesine´galite´strouv´eespourk∈J1, n−1K,on obtient : √√ ≥ =S n −pour tout 1 k=1 2 2x 2k+ 1 ∗ n∈N.Finalement, on trouve : √ 1 √ ∗ ∀n∈N, S n ≤=n− ≤n. 2 √ √ 1S n ∗ ∗ (b) Onan−1≤S n ≤npour toutn∈N.:u`o’D1 − √≤ √ ≤1pour toutn∈N.lI´rselualtesdoru n n S n √ th´eore`medesgendarmesquelim √ = 1,ce qui montre queS n ∼n. n n→+∞ 5.Ceciest´equivalent`adirequelimε n = 0. n→+∞ ε n En effet,ε n =o(1)`tauqvilanee´estlim =0. n→+∞ 1 √ ∗ ∗ 6.D’apr`eslaquestion3,onaS n ≥n−1pour toutn∈N.D’o`uu n ≥0pour toutn∈Nabettqlilaueuq´iec suite(u n ) n e.senimte´ro ∗ 7. Pourtoutn∈Non a : √ √ 1 u n −u n+1 =n+ 1−n − √ 2n 1 1 = − √√ √ n+ 1 +n2n+ 1 √ √√ ∗ ∗ Orn+n+ 1<2n+ 1pour toutn∈N.’D`ouu n −u n+1 >0pour toutn∈N.Ce qui montre que la suite(u n ) n etna.striestnedttcmeiosse´rc 8. Lasuite(u n ) n etimilenusrroecsaised´stroe´.elEtneemtnigedoncveleconver`∈R.Ptenqu´enscoarlimu n −`= n→+∞ 0,qeiuccrits’´eu n −`=o(1)oi5n.d’apr`eslaquest D’ou`u n =`+o(1). √ √ 9.Onaimm´ediatementS n =u n +n−1 =n+`−1 +o(1). | {z } :=α

Proble`me.SommesdeCes`aro

Etantdonn´eeunesuiteu= (u n ) n∈N ls,lasuibresr´eednemoetS(u) = (S(u) n )urpoutto´ediefinreneitn≥1par : n≥1 n−1 X 1u 0 +u 1 +...+u n−1 S(u) n =u k =, n n k=0

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