Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Romain

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Intégration sur un segment Table des matières 1 Fonctions en escalier 2 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Intégration des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Fonctions continues par morceaux 3 2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Approximation des fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Intégration des fonctions continues par morceaux 3 3.1 Construction de l'intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• fonctions continues par morceaux


• formule de taylor avec reste intégral


• anneau pour les lois usuelles d'addition


• morceaux

Informations

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Extrait

PCSI A 20092010

Mathématiques

Intégrationsurunsegment

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L’objectif est de construire une notion d’intégrale pour les fonctions continues par morceaux sur un segment I⊂Ret à valeurs réelles ou complexes. Dans la suiteIdésigne un intervalle [a, b] aveca < b.

1 Fonctionsen escalier

1.1 Généralités

UnesubdivisionσdeIest une suite finie (a i ) 0≤k≤n strictement croissante : a 0 =a < a 1 < a 2 < .< a. . n =b. Lepasde la subdivisionσest le nombreδ(σ) = max 0≤i≤n−1 (a k+1 −c k ). On dit que la subdivision est à pas constant lorsque tous les nombresa k+1 −a k sont égaux. k Exemple.La subdivision de [a, b] donnée par les pointsa k =a+ (b−a) pourk∈J0, nKest une subdivision n de [a, b] à pas constant. Définition 1.On dit qu’une fonctionf:I→Rest en escalier lorsqu’il existe une subdivisionσ= (a k ) 0≤k≤n telle que pour toutk∈J0, n−1K: fest constante. /]a k ,a k+1 [ Une telle subdivision est dite adaptée àf. Exemples : •Une fontion constante surIest en escalier. •La fonction partie entière est une fonction en escalier sur tout segment. Donnons quelques propriétés de l’ensembleE(I) des fonctions en escalier surI: 1.E(I) est unRespace vectoriel pour les lois usuelles d’addition et multiplication par un scalaire; 2.E(I;) est un anneau pour les lois usuelles d’addition et multiplication des fonctions 3. sif∈ E(I) alors|f| ∈ E(I).

Figure1.1 – Une fonction en escalier

1.2 Intégrationdes fonctions en escalier

Soitf∈ E(I) etσ= (a k ) 0≤k≤n une subdivision adaptée àf. Considérons le réel : n−1 X I(σ, f) =(a k+1 −a k )l k oùl k est la valeur defsur ]a k , a k+1 [. k=0

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Proposition 1.1.Le nombreI(σ, f)est indépendant de la subdivsionσadaptée àfchoisie. R On le notef. I Propriétés 1.2.Nous avons les propriétés suivantes : R 1. L’applicationf→fdeE(I)versRest une forme linéaire. I R RR 2. Soitf, g∈ E(I)telles quef≤g, alorsf≤g. En particulier, sif≥0alorsf≥0. I II

2 Fonctionscontinues par morceaux

2.1 Généralités

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Définition 2.On dit qu’une fonctionf:I→Rest en continue par morceaux lorsqu’il existe une subdivisionσ= (a k ) 0≤k≤n telle que pour toutk∈J0, n−1K: 1.f /]a k ,a k+1 [ est continue; 2.fadmet des limites finies à droite et à gauche ena k eta k+1 . Une telle subdivision

Figure2.1 – Une fonction continue par morceaux

Exemples: •Les fonctions en escaliers sont continues par morceaux de même que les fonctions continues. sin(x) •La fonctionfdonnée parf(x) =six6= 0 etf(0) = 0 est continue par morceaux sur [−1,1]. |x| 2 2 •La fonctionx7→x−E(x) est continue par morceaux sur tout segment.

pm Donnons quelques propriétés de l’ensembleC(I) des fonctions continues par morceaux surI: pm 1.C(I) est unR;espace vectoriel pour les lois usuelles d’addition et multiplication par un scalaire pm 2.C(I;) est un anneau pour les lois usuelles d’addition et multiplication des fonctions pm pm 3. sif∈ C(I) alors|f| ∈ C(I). pm 4. sif∈ C(I) alorsfest bornée.

2.2 Approximationdes fonctions continues par morceaux

Le théorème (que nous admettrons) suivant affirme qu’une fonction continue par morceaux peut être approchée par des fonctions en escaliers avec une précision aussi petite que souhaitée. Nous avons plus précisément : pm Théorème 2.1.Soitf∈ C(I). Pour tout réelε >0il existe des fonctions deI ϕetψen escalier telles que : ∀x∈I, ϕ(x)≤f(x)≤ψ(x)etψ(x)−ϕ(x)≤ε.

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3 Intégrationdes fonctions continues par morceaux

3.1 Définitionde l’intégrale

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Soitfune fonction continue par morceau surI= [a, b] avecb > a. On considère les deux ensembles suivants : Z Z  −+ A(f) =ϕ, ϕ∈ E(I) etϕ≤fetA(f) =ψ, ψ∈ E(I) etf≤ψ I I

−pm Montrons que l’ensembleA(f) admet une borne supérieure. Commef∈ C(I;) la fonction est bornée 1. soitm∈Run minorant def. La fonction constante égale àmest dansE(I) et est telle quem≤fdonc R − − m=m(b−a)∈A(fd’où) ;A(f)6=∅. I R R 2. soitM∈Run majorant def. Pour toutϕ∈ E(I) telle queϕ≤fnous avonsϕ≤M=M(b−a) ; I I − d’oùA(f) est majoré. −+ Ainsi sup(A(f(; on montre de la même manière que inf)) existeA(f)) existe.

pm−+ Théorème 3.1.Soitf∈ C(I). Alorssup(A(f()) = infA(f)). R Ce nombre est appelé intégrale defsurIet se notef. I

−+ Démonstration.Posonsα= sup(A(f)) etβ(= infA(f)). −+ + Soitx∈A(f) alors pour touty∈A(f) on vérifie sans difficulté quex≤y. Doncxest minorant deA(f) − ainsix≤β. Mais alorsβest un majorant deA(f) donc nous avons l’inégalitéα≤β. Soitε >0. D’après le théorème 2.1, il existeϕetψdansE(I) telles que : ϕ≤f≤ψetψ−ϕ≤ε. R R −+ On a donc :ϕ∈A(f),ψ∈A(f) et : I I Z Z Z ψ−ϕ= (ψ−ϕ)≤(b−a)ε. I I I Donc également : 0≤β−α≤(b−a)ε. Ceci étant valable pour tout réelε >0, il vient doncα=β. R Les deux figures cidessous illustrent l’approximation par valeurs inférieures defau moyen de subdivisions I de plus en plus fines.

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Remarques. R R b 1. Lorsqueb > ale nombrefse note égalementf(t)dt. On pose également [a,b]a Z Z a b f(t)dt=−f(t)dt. b a 2. SoitJun intervalle quelconque. On dit quefest continue par morceaux surJsi elle l’est sur tout segment R [a, b]⊂J. On peut alors considérer le nombref. [a,b]

3.2 Quelquespropriétés de l’intégrale

Nous donnons dans cette dernière partie une liste de propriétés concernant l’intégrale que nous venons de construire. Propriété 3.2.Linéarité. R pm2 L’applicationf→fdeC(I)versRest une forme linéaire; autrement dit pour tout(λ, µ)∈Ret I pm2 tout(f, g)∈ C(I): Z ZZ (λf+µg) =λ f+µ g. I II

Propriétés 3.3.Ordre. R 1. Sif≥0alorsf≥0. I R R pm 2. Soitf, g∈ C(I)telles quef≤g, alorsf≤g. I I 3. Nousavons l’inégalité : Z Z f≤ |f|   I I

Propriété 3.4.Relation de Chasles. pm Soitf∈ C([a, b])etc∈]a, b[. Alorsf /[a,c] etf /[c,b] sont continues par morceaux et Z ZZ f=f+f /[a,c]/[c,b] [a,b] [a,c] [c,b]

pm Remarque.Soita,betctrois réels d’un segmentJetf∈ C(J). On peut écrire (même sic∈/[a, b]) : Z ZZ b cb f(t)dt=f(t)dt+f(t)dt a ac

3.3Fonctionsàvaleurscomplexes

Une fonctionf:I→Cest dite continue par morceaux si les fonctions Re(f) et Im(f) le sont. On pose alors Z ZZ f= Re(f) +iIm(f). I II

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