Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 16. Matrices. La matrice d'une application f ? L(Kp,Kn) de la base canonique de Kp vers celle de Kn est dite matrice canoniquement associée à f . Réciproquement toute matrice A ?Mn,p(K) définit canoniquement une application linéaire f ? L(Kp,Kn). Calcul matriciel ; matrices et applications linéaires. Exercice 1. Soit A = ? ? 1 0 3 ?2 1 1 0 0 1 ? ? ; B = ? ? 1 3 0 ?1 0 1 ? ? ; C = ( ?1 2 0 ) . Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : AB ; BA ; CB ; A2 ; CAB; CA ;B2 Solutions : Les produits BA, CA et B2 sont impossibles. Pour le reste nous avons : AB = ? ? ? ? 1 6 ?2 ?6 0 1 ? ? ? ? ; CB = ( ?1 ?5 ) ; A2 = ? ? ? ? 1 0 6 ?4 1 ?4 0 0 1 ? ? ? ? ; CAB = ( ?5 ?18 ) Exercice 2. Soit E un espace de dimension 4 et B = (u1, u2, u3, u4) une base de E.

• calcul du rang et de l'inverse


• dite matrice


• espace de dimension


• base canonique de r3


• application linéaire


• solution de l'équation différentielle


• changement de base

Sujets

• Application linéaire
• Changement de base

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Feuille d’exercices 16. Matrices.

Lycée Brizeux

p np n La matrice d’une applicationf∈ L(K,K)de la base canonique deKle devers celKest dite matrice canoniquement associée p n àf. Réciproquement toute matriceA∈ M n,p (K)définit canoniquement une application linéairef∈ L(K,K).

Calcul matriciel.    1 03 13      Exercice 1.SoitA= − ; 2 1 1 B = 0−1 ; C= −1 2 0 . 0 01 01 Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : 2 2 AB;BA;CB;A;CAB;AC;B

Solutions: 2 Les produitsBA,ACetBsont impossibles. Pour le reste nous avons :    1 61 0 6      2   AB= −2−6 ; CB= −1−5 ; A= −4 1−4 ; CAB= −5−18    0 10 0 1

Exercice 2.Soitθ∈R. On considère la matrice suivante :   cos(θ)−sin(θ) A= sin(θ) cos(θ) n 1. Pourtoutn∈N, calculerA(procédez par récurrence). −1 2. MontrerqueAest inversible et calculerA. n 3. DéterminerApour toutn∈Z. Exercice 3.On considère les matrices suivantes :    1 0 00 0 1    I 3 1 0= 0 etJ = 00 0 0 0 10 0 0 On poseU=I 3 +J 2 1. CalculerJ. n 2. Pourtoutn∈N, calculerUà l’aide de la formule du binôme. −1n 3. MontrerqueTest inversible et calculerU. DéterminerUpour toutn∈Z.   0 1 1   Exercice 4.Soit la matriceA 0 1= 1 . 1 1 0 3 1. VérifierqueA−3A−2I 3 = 0 M 3 (R) −1−1 2. Endéduire queAest inversible et calculerA.ExprimerAcomme un polynôme enA.

Espaces de matrices.

+ K)des matrices triangulaires supérieures Exercice 5.Dans l’espaceM n (K)on considère les sous ensemblesT n ( − etT(K)des matrices triangulaires inférieures strictes (i.e. tous les éléments de la diagonales sont nuls). n +− 1. Montrerq etT(K)sont des sous-espaces vecto ueT n (K) n riels deM n (K). +− 2. Déterminerles dimensions deT(K)etT(K). n n +− 3. MontrerqueT(K)etT(K)sont supplémentaires. n n

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