Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A
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Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 16. Matrices. La matrice d'une application f ? L(Kp,Kn) de la base canonique de Kp vers celle de Kn est dite matrice canoniquement associée à f . Réciproquement toute matrice A ?Mn,p(K) définit canoniquement une application linéaire f ? L(Kp,Kn). Calcul matriciel ; matrices et applications linéaires. Exercice 1. Soit A = ? ? 1 0 3 ?2 1 1 0 0 1 ? ? ; B = ? ? 1 3 0 ?1 0 1 ? ? ; C = ( ?1 2 0 ) . Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : AB ; BA ; CB ; A2 ; CAB; CA ;B2 Solutions : Les produits BA, CA et B2 sont impossibles. Pour le reste nous avons : AB = ? ? ? ? 1 6 ?2 ?6 0 1 ? ? ? ? ; CB = ( ?1 ?5 ) ; A2 = ? ? ? ? 1 0 6 ?4 1 ?4 0 0 1 ? ? ? ? ; CAB = ( ?5 ?18 ) Exercice 2. Soit E un espace de dimension 4 et B = (u1, u2, u3, u4) une base de E.

  • calcul du rang et de l'inverse

  • dite matrice

  • espace de dimension

  • base canonique de r3

  • application linéaire

  • solution de l'équation différentielle

  • changement de base


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Informations

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Langue Français

Exrait

PCSI A2011-2012
Mathématiques
Feuille d’exercices 16.Matrices.
Lycée Brizeux
p np n La matrice d’une applicationf∈ L(K,K)de la base canonique deKle devers celKest dite matrice canoniquement associée p n àf. Réciproquement toute matriceA∈ Mn,p(K)définit canoniquement une application linéairef∈ L(K,K).
Calcul matriciel.    1 03 13      Exercice 1.SoitA=;2 1 1B= 01 ;C=1 2 0. 0 01 01 Calculer lorsque cela est possible les produits matriciels suivants : 2 2 AB;BA;CB;A;CAB;AC;B
Solutions: 2 Les produitsBA,ACetBsont impossibles. Pour le reste nous avons :    1 61 0 6     2  AB=26 ;CB=15 ;A=4 14 ;CAB=518    0 10 0 1
Exercice 2.SoitθR. On considère la matrice suivante :   cos(θ)sin(θ) A= sin(θ) cos(θ) n 1. PourtoutnN, calculerA(procédez par récurrence). 1 2. MontrerqueAest inversible et calculerA. n 3. DéterminerApour toutnZ. Exercice 3.On considère les matrices suivantes :    1 0 00 0 1    I31 0= 0etJ= 00 0 0 0 10 0 0 On poseU=I3+J 2 1. CalculerJ. n 2. PourtoutnN, calculerUà l’aide de la formule du binôme. 1n 3. MontrerqueTest inversible et calculerU. DéterminerUpour toutnZ.   0 1 1   Exercice 4.Soit la matriceA0 1= 1. 1 1 0 3 1. VérifierqueA3A2I3= 0M3(R) 11 2. Endéduire queAest inversible et calculerA.ExprimerAcomme un polynôme enA.
Espaces de matrices.
+ K)des matrices triangulaires supérieures Exercice 5.Dans l’espaceMn(K)on considère les sous ensemblesTn( etT(K)des matrices triangulaires inférieures strictes (i.e. tous les éléments de la diagonales sont nuls). n +1. Montrerq etT(K)sont des sous-espaces vecto ueTn(K)nriels deMn(K). +2. Déterminerles dimensions deT(K)etT(K). n n +3. MontrerqueT(K)etT(K)sont supplémentaires. n n
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