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Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Mathématiques PCSI A 2010-2011 Feuille d'exercices 13. Fonctions d'une variable réelle : limite et continuité. Généralités sur la notion de limite. Exercice 1. Montrer en utilisant la définition de la limite que pour tout a ≥ 0 on a lim x?a ln(x) = ln a. Même question avec la fonction exponentielle. Exercice 2. Fonctions k-lipschitziennes. Soit f ? RI et k > 0. On dit que f est k-lipschitzienne lorsque : ?(x, y) ? I2, |f(x)? f(y)| ≤ k|x? y|. Une fonction f est dite lipschitzienne si il existe k > 0 tel que f est k-lipschitzienne. 1. Donner des exemples de fonctions non nulles lipschitziennes. 2. Soit A > 0 et I = [A,+∞[. Montrer que la fonction x 7? √ x définie sur I est 1 2 √ A -lipschitzienne. 3. Montrer que l'ensemble des fonctions lipschitziennes est un R-espace vectoriel. 4. Montrer que si f est k-lipschitzienne sur I et g est k?-lipschitzienne sur J ? f(I), alors g ? f est kk? lipschtizienne. 5. Montrer que x 7? x2 n'est pas lipschitzienne sur R.

  • propriété en défaut

  • s? ?

  • s?

  • point fixe

  • intervalle ouvert

  • finitude de s?

  • éventuelles solutions


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Langue Français

Exrait

PCSI A2011-2012
Mathématiques
Lycée Brizeux
Feuille d’exercices 13.Fonctions d’une variable réelle : limite et continuité.
Généralités sur la notion de limite.
Exercice 1.Montrer en utilisant la définition de la limite que pour touta0on alim ln(x) = lna. xa Mme question avec la fonction exponentielle.
Exercice 2.Fonctionsk-lipschitziennes. I SoitfRetk >0. On dit quefestk-lipschitziennelorsque :
2 (x, y)I ,|f(x)f(y)| ≤k|xy|.
Une fonctionfest dite lipschitzienne si il existek >0tel quefestk-lipschitzienne. 1. Donnerdes exemples de fonctions non nulles lipschitziennes. 1 2. SoitA >0etI= [A,+[. Montrer que la fonctionx7→xdéfinie surIest -lipschitzienne. 2A 3. Montrerque l’ensemble des fonctions lipschitziennes est unR-espace vectoriel. 0 0 4. Montrerque sifestk-lipschitzienne surIetgestk-lipschitzienne surJf(I), alorsgfestkklipschtizienne. 2 5. Montrerquex7→xn’est pas lipschitzienne surR.
Exercice 3.Montrer que toute fonction périodique et non constante n’admet pas de limite en+.
¯ Exercice 4.Soitfune fonction définie sur un intervalleIetaI. On suppose quelimf(x)>0(fadmet une xa limite strictement positive ena). Montrer qu’il existem >0etδ >0tel que pour toutx]aδ, a+δ[Ion af(x)> m(autrement ditfest minorée au voisinage deapar un réel strictement positif).
  1 E x+ 2 Exercice 5.Pour toutxR, on posef(x) =. x Déterminer (si elles existent!) les limiteslimf(x),limf(x)etlimf(x). 1 x+x0 x2
Exercice 6.Soitf: [a, b]Rune fonction croissante (a < b). Pour toutε >0, on considère l’ensembleSεsuivant :   Sε=c]a, b[,tel queε <limflimf . +c c 0 1. Soientεetεdeux réels strictement positifs. A quelle condition a-t-onSεSε? 0 2. Montrerfest continue sur]a, b[si et seulement si pour tout réelε >0, l’ensembleSεest vide. 3. Soitε >0fixé. On se propose de montrer queSεest un ensemble fini. SoitpN. On suppose queSεcontient au moinsppointsc1< c2< ... < cp. (a) Onconsidèrep+ 1pointsti(avec0ip) tels quet0=a,tp=betti]ci, ci+1[. Montrer l’inégalité : f(ti+1)f(ti)> ε. (b) Endéduire quef(b)f(a)> pε. (c) Conclureà la finitude deSε. Remarque : vous venez de démontrer que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction croissante d’un intervalle fermé deRest au plus dénombrable.
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