Lycée Brizeux Samedi mai PCSI A B

Yves Josse

Description

Niveau: Supérieur
Lycée Brizeux Samedi 28 mai 2011 PCSI A & B Devoir surveillé no 7 Electromagnétisme – La durée de l'épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisés à sortir avant la fin du temps prévu. – L'usage de la calculatrice est autorisé. – Tous les problèmes et exercices sont indépendants – Les résultats devront être encadrés. – Toute application numérique ne comportant pas d'unité sera considérée comme fausse. – Si au cours de l'épreuve vous repérez ce qui semble être une erreur d'énoncé, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez été amené à prendre. – Les résultats littéraux non homogènes entraîneront la perte de tous les points de la question. Problème I Dipôle électrostatique A Propriétés du dipôle électrostatique A.1 Rappeler la définition d'un dipôle électrostatique de moment dipolaire ??p ainsi que son unité (on note p = ???p ?) Considérons le dipôle électrostatique représenté sur la figure ci-dessous Dans la suite du problème, on considère : r a, avec 2a = ? ??? NP?. Sauf mention contraire, cette distance est constante, le dipôle est dit « rigide ». A.2 Justifier rapidement que l'étude peut se faire dans le plan polaire repéré par les vecteurs de base (??er , ??e? ).

• moment ??


• champ


• dipôle


• blocs de co2


• expression de l'énergie potentielle


• potentiel nul en z


• champ électrostatique

Sujets

• Dipôle
• Champ électrique

Informations

• Publié par: profil-nechor-2012
• Publié le: 01 mai 2011
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Extrait

LycÉe Brizeux PCSI A & B

o Devoir surveillÉ n 7

Samedi 28 mai 2011

ElectromagnÉtisme –La durÉe de l’Épreuve est de 4 heures. Les candidats ne sont pas autorisÉs À sortir avant la fin du temps prÉvu. –L’usage de la calculatrice est autorisÉ. –Tous les problÈmes et exercices sont indÉpendants –Les rÉsultats devront tre encadrÉs. –Toute application numÉrique ne comportant pas d’unitÉ sera considÉrÉe comme fausse. –Si au cours de l’Épreuve vous repÉrez ce qui semble tre une erreur d’ÉnoncÉ, vous le signale- rez sur votre copie et poursuivrez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous avez ÉtÉ amenÉ À prendre. –Les rÉsultats littÉraux non homogÈnes entraïneront la perte de tous les points de la question.

ProblÈme I DipÔle Électrostatique A Propriètès du dipÔle èlectrostatique −→ A.1Rappeler la dfinition d’un dipÔle lectrostatique de moment dipolairepainsi que son −→ unit (on notep=kpk) Considrons le dipÔle lectrostatique reprsent sur la figure ci-dessous

−→ Dans la suite du problme, on considre :ra, avec2a=kN Pk. Sauf mention contraire, cette distance est constante, le dipÔle est dit « rigide ». A.2Justifier rapidement que l’tude peut se faire dans le plan polaire repr par les vecteurs −→−→ de base(e r , e θ ). A.3Donner, sans calcul, l’expression de la composante du champ lectrostatique (cr par cette distribution) porte par un vecteur unitaire perpendiculaire au plan d’tude. a A.4Dterminer, À l’ordre le plus bas en , l’expression du potentiel lectrostatique cr au r pointM(r, θ)par le dipÔle, avec comme rfrence le potentiel nul À l’infini. −→ A.5En dduire l’expression du champ lectrostatiqueE(M)cr enM(r, θ)par le dipÔle. Montrer que celui-ci peut s’crire sous la forme donne par l’quation ci-dessous : −→ 1 −→−→−→−→ E= [3(p .e r )e r −p] 3 4π 0 r A.6Comparer l’volution de ce champ À celui cr par une charge ponctuelle.

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A.7Tracer, dans un plan mridien, l’allure des lignes de champ et des quipotentielles associes À cette distribution. On tracera l’quipotentielleV= 0et on indiquera les quipotentiellesV >0 etV <0. A.8Ètablir les quations des lignes de champ et des quipotentielles. Vrifier, qu’en tout point, les quipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ.

B Actions subies par un dipÔle Le dipÔle prcdent est plac dans une rgion de l’espace oÙ rgne un champ lectrostatique −→ uniformeE 0 . B.1Quelle est la rsultante des forces appliques au dipÔle ? −→ B.2? Exprimer ce momentQuel est le moment rsultant des actions subies par le dipÔle Γen −→ −→ fonction deE 0 etp. B.3Rappeler l’expression de l’nergie potentielleE p d’une charge ponctuelle+qplace enP dans une rgion oÙ rgne un potentielV(P). −→ −→ B.4Ètablir l’expression de l’nergie potentielleE d du dipÔle dans le champ uniformeE 0 etp. B.5Prciser le mouvement du dipÔle dans les deux cas ci-dessous.

Le dipÔle prÉcÉdent est maintenant placÉ dans un champ crÉÉ par une charge ponctuelle+Q fixe enO. B.6Dcrire qualitativement le mouvement du dipÔle lorsqu’il est plac enM, dans les condi- −→ −→−→ d p tions initiales suivantes :p(t= 0) =p 0 e θ et(t= 0) = 0(figure ci-dessous) dt

−→ −→−→ d p B.7Reprendre la mme tude avecp(t= 0) =p 0 e r et(t= 0) = 0 dt −→ −→ Un dipÔle de moment dipolairepplacÉ dans un champ non uniformeE(M)subit la rÉsultante −→−→ −−→ −→ −→ des forcesFdonnÉe par la relation :F= (p .grad)E −→−→ B.8Quelle est la force subie par un dipÔle plac enMet tel quep(t= 0) =p 0 er? Quel est le mouvement du dipÔle dans ce cas ?

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C Applications C.1Quelle est l’unit utilise en chimie pour caractriser le moment dipolaire d’une mol- cule ? Cette unit est-elle une unit du systme international ?La formule dÉveloppÉe plane du formaldÉhyde est la suivante :

L’angleHCHmesure116, le moment dipolaire de la liaisonC−Hvaut0,40Det celui de la liaisonC=Ovaut2,30D. C.2?Quelle est la valeur thorique du moment dipolaire de cette molcule + C.3Quel est le champ lectrostatique cr enMpar un ion fixe (enO) notIportant une charge+Q? −−→ On noter=kOMket on utilise les coordonnes polaires. −−→ C.4On place enM(aveckOMk=r2a=kN Pk) un dipÔle(N P)dans le champ cr par + −→ I. Quelle est l’nergie potentielle d’interaction d’un dipÔle(N P)de momentpdans le champ + cr parI? Exprimer cette nergieE ion−dipole en fonction de 0 ,Q,p,retϕoÙϕest l’angle −→ −→ entreE + etp. I C.5Pourϕ= 0, quelle est alors la rsultante des forces subies par le dipÔle(N P)? Quel est le mouvement du dipÔle(N P)dans ces conditions ? −→ PlaÇons maintenant un dipÔle(N P) 2 de momentp 2 enM, dans le champ d’un autre dipÔle −→ −→ −→ fixe(N P) 1 de momentp 1 placÉ enO(voir figure ci-dessous), aveckp 1 k=kp 2 k=pOn considÈre −−→−→ toujours quekOMk=r2a=kN Pk.

C.6Quel est le mouvement du dipÔle initialement plac enM? C.7Quelle est l’nergie potentielle d’interactionEdu dipÔle2plac enMdans le dipole 1 −dipole 2 champ d’un dipÔle identique1, plac enO? Exprimer cette nergie en fonction de 0 ,Q,p,ret ψoÙψest l’angle entre les moments dipolaires des deux dipÔles(N P) 1 et(N P) 2 C.8Pour quelle(s) valeur(s) deψ?, les deux dipÔles sont-ils en quilibre

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ProblÈme II Etude d’un microphone Un microphone est un transducteur qui transforme un son, c’est-À-dire une onde de pression (donc une onde mcanique), en un signal lectrique (tension ou courant) de mme forme. Dans les microphones lectrostatiques, l’onde de pression, en faisant vibrer l’armature d’un condensateur inclus dans un circuit RC, en modifiera la capacit, ce qui modifiera le courant du circuit. Le courant lectrique ainsi gnr pourra tre soit enregistr soit amplifi pour ensuite restituer le son initial par un haut-parleur par un processus inverse.

A Plan infini On se propose de calculer le champ lectrique cr par un plan infini uniformment charg avec une densit surfaciqueσ. Ce plan correspond au plan(Oxy)d’un systme de coordonnes −→−→−→ cartsiennes(Ox, Oy, Oz)classique muni d’une base orthonorme(O, u x , u y , u z ). La position d’un pointMest repre par ses coordonnes cartsiennes(x, y, z). On se place dans le cas de l’lectrostatique (σ=constante).

−→ A.1Montrer, par des considrations de symtrie, que le champ lectriqueE(M)cr enM par le plan uniformment charg est perpendiculaire au plan en tout point de l’espace. On crira −→−→ −→ doncE(M) =E(x, y, z)u z . Justifier le fait que le champ lectriqueE(M)ne peut pas dpendre −→ −→ des coordonnesxetydu pointM, soitE(M) =E(z)u z . Montrer par des considrations de symtrie que la fonctionE(z)est impaire. A.2Montrer, en utilisant le thorme de Gauss, que le champ est uniforme au dessus et en dessous du plan. En appliquant le thorme de Gauss sur une surface qu’on prcisera clairement en faisant un schma, dterminer la valeur du champ lectrique en fonction deσ, 0 (constante dielectrique du vide) et d’un vecteur unitaire judicieusement choisi qu’on prcisera (on distinguera les deux cas :z >0etz <0). Une dmonstration trs prcise est attendue. A.3Dterminer le potentiel lectriqueV(z)en tout point de l’espace en fonction deσ, 0 etz (on prendra le potentiel nul enz= 0). On distinguera toujours les deux cas :z >0etz <0. On supposera la continuit du potentiel enz= 0. A.4Tracer l’allure des courbesE(z)etV(z)en prcisant les valeurs aux points remarquables.

B Condensateur plan On considre maintenant un condensateur plan infini form par deux plans infinis et parallles e entre eux, distants dee. Le plan suprieur est situ dans le planz= +et le plan infrieur dans 2 e le planz=−. Le plan suprieur est charg avec une densit surfaciqueσpositive et le plan 2 infrieur est charg avec une densit surfacique oppose (donc ngative)−σ.

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B.1Dterminer le champ lectrique total cre par l’ensemble des deux plans en tout point de l’espace en fonction deσ, 0 et d’un vecteur unitaire que l’on prcisera (on distinguera les trois zones dlimites par les deux plans). Porter sur un schma le sens du champ lectrique. e e B.2Calculer l’expression du potentiel lectrostatiqueV(z)pourz∈[−; ]en fonction deσ, 2 2 zet 0 . On prendra toujours le potentiel nul enz= 0. Calculer la diffrence de potentielUentre les deux plans infinis en fonction deσ,eet 0 . Exprimer la norme du champ lectrique total en fonction deUete. B.3Application numrique : les condensateurs des microphones lectrostatiques pour la prise de son, sont soumis À des tensions de l’ordre de quelques dizaines de volts et les armatures sont spares de quelques dizaines de micromtres. Donner l’ordre de grandeur du champ lectrique rgnant dans ces condensateurs. Quel problme pratique pose un champ lectrique trop grand ? Dans un condensateur rel, les deux armatures ne peuvent pas tre des plans infinis mais ont des surfaces finies identiquesS. On supposera que les rsultats trouvs pour le champ lectrique et le potentiel ne diffrent pas des rsultats trouvs dans les questions prcdentes, pourvu qu’on ne se place pas trop prs des bords des armatures. L’armature suprieure porte alors la charge totale+Qet l’armature infrieure la charge totaleQ.

B.4Aprs avoir exprimσen fonction deQetS, en dduire la diffrence de potentielUentre les deux armatures en fonction deQ, 0 ,eetS. Dfinir et exprimer la capacitCdu condensateur form en fonction de 0 ,eetS. Donner l’ordre de grandeur de la capacit d’un condensateur 2−5 utilis dans un microphone lectrostatique pour lequel on prendra :S≈1cm,e≈10met −11  0 ≈10S.I..

ProblÈme III La sÉquestration du dioxyde de carbone Les activits humaines ont accru sensiblement le taux de la concentration de CO 2 dans l’atmosphre : autour de280ppmil y a 250 ans, il est actuellement de387ppm(soit une augmentation de38%). Afin de ne pas dpasser la limite de450ppmau-delÀ de laquelle les consquences les plus dramatiques du rchauffement climatique seront invitables de nombreuses options sont envisages afin de limiter les rejets de CO 2 dans l’atmosphre. Donnes : 3−3 – masse volumique de l’ocan :ρ 0 = 1,03 10kg.m – temprature de l’ocan :T 0 = 280K 3−3 – masse volumique du CO 2 solide :ρ 0 = 1,50 10kg.m 5 – pression a la surface de l’ocan :P 0 = 1bar= 10P a −→−→ – Le rfrentiel terrestre est suppos galilen et le champ de pesanteur est :g=g 0 u z , −2 suppos constant ;g 0 = 9,80m.s −→ –u z est orient selon la verticale descendante Une premire proposition un peu simple (simpliste ?) consiste À former des blocs de CO 2 solide À l’aide d’installations frigorifiques puis de les laisser tomber dans des fosses marines. On effectue les approximations suivantes :

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– L’ocan est un fluide homogne au repos, de temprature constante, incompressible et indilatable. – Les blocs de CO 2 sont incompressibles et indilatables. Ils ont de plus une masse constante tout au long de la descente dans la fosse (approximation forte).

A Condition de sèquestration du CO 2 solide On propose le diagramme de phases du CO 2 :

A.1Donner le nom de l’etat physique dans chacune des quatre zones 1, 2, 3 et 4. A.2Donner les noms des points b et c et prciser leurs particularits. A.3Un morceau de dioxyde de carbone solide est laiss sur une paillasse dans un laboratoire. Ce solide est-il stable ou au contraire observe-t-on un changement d’tat (prciser alors son nom) ? A.4Quelle doit tre la pression minimale de l’eau pour que le CO 2 reste solide dans son emplacement de stockage ? A.5On notezla profondeur du point considr avecz= 0correspondant À la surface de l’ocan. Aprs avoir rappel l’quation de la statique des fluides, dmontrer l’expression deP(z) dans l’ocan en fonction deP 0 ,g 0 etρ 0 . A.6Quelle doit tre la profondeur minimale de la fosse marine pour que le bloc de CO 2 solide soit dans un tat stable ? Commenter le rsultat.

B Ètude dynamique du bloc 3 Un bloc de CO 2 solide de volumeV= 650mest lách À la surface de l’ocan À l’instant t= 0. Lors de sa chute dans l’eau, il subit, entre autres, une force de frottement fluide dont l’expression est la suivante : −→ −→ 4−1 f=−k vaveck= 8,0.10kg.s

B.1 B.2 B.3 B.4

Faire un bilan complet des forces appliques au solide. Prciser, en le justifiant, si ces forces sont conservatives ou non. Que peut-on en dduire concernant l’nergie mcanique du systme ? Ètablir l’quation diffrentielle vrifie par la vitesse du bloc.

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B.5Donner l’expression de la vitesse limitev lim du solide. Calculerv lim . B.6Donner l’expression de la vitessev(t)du bloc en fonction dev lim et d’une constanteτ homogne À un temps. Donner l’expression deτ. B.7En dduire l’expression de la profondeurz(t)du bloc.

ProblÈme IV ThermomÉtrie par thermistance On considre une thermistance dont la rsistanceR(T)est donne par la loi : 1 1 R(T) =R 0 exp(B(−)) T T 0 oÙBest une constante positive etT 0 une temprature de rfrence. Le constructeur donne comme caractristiquesR(T 1 ) = 5000 ΩÀt 1 = 25CetR(T 2 ) = 309 ΩÀt 2 = 120C.

A Etude d’une thermistance A.1Calculer la valeur deB. Prciser son unit. A.2Etablir une expression deR(T)en fonction deR(T 1 ),B,TetT 1 puis calculerR(T)pour les deux valeurs suivantes de la temprature :5Cet110C.

B Application À un dispositif de sècuritè Le caractre non linaire de la thermistance peut tre mis À profit dans un dispositif de scurit ou de contrÔle-rgulation de temprature. Considrons le montage ci-dessous aliment sous une tensionV= 15V, oÙ la thermistance de rsistanceR(T)est introduite dans un montage en pont, associ À un amplificateur oprationnel suppos idal, aliment entre+V cc et−V cc (son alimentation n’est oas reprsente pour la clart du schma). En cas de fonctionnement en rgime de saturation, les tension de saturation seront notes±V sat (avecV sat = 12V). Les rsistances utilises ont les valeurs suivantes :R 1 = 1kΩ, R 2 = 10kΩ,R 3 = 1MΩetR 4 = 15kΩ.

B.1Dterminer l’expression de la tensionV − sur l’entre inverseuse de l’A.O., en fonction de R 1 ,R(T)etV. Exprimer la tensionV + sur la borne non inverseuse de l’A.O., en fonction deV, V s ,R 2 ,R 3 etR 4 . B.2Expliquer le fonctionnement de l’A.O. et dterminer en le jusitfiant les expressions, mini- maleV L et maximaleV H , de la tensionV + en fonction deV,V sat ,R 2 ,R 3 etR 4 . B.3Reprsenter les variations de la tension de sortieV s en fonction de celle d’entreV E . En dduire le rÔle jou par l’A.O. dans ce dispositif. B.4Calculer les rsistanceR(T)associes aux valeurs deV L etV H , puis les tempratures correspondantes. Discuter le mode de fonctionnement de ce dispositif et son intrt.

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