M1 ALGEBRE FEUILLE DE TD no NOVEMBRE

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
M1 : ALGEBRE FEUILLE DE TD no 2 09 NOVEMBRE 2010 PAUL LESCOT Les quatre exercices sont independants les uns des autres. 1. Exercice I On rappelle que, si p est un nombre premier impair, on a equivalence entre • Il existe un entier n ? N tel que p divise n2 + 1, et • p ? 1[4]. On se place dans l'anneau A := Z[i] des entiers de Gauss. 1) Montrer que 1 + i est irreductible dans A, et en deduire une decomposition (dans A) de 2 en produit d'elements irreductibles. 2) Soit p ? 3[4] un nombre premier. Montrer que p est irreductible dans A . 3) Soit p ? 1[4] un nombre premier. i) Etablir que p n'est pas irreductible dans A. ii)En deduire l'existence de deux entiers a ? N et b ? N tels que p = a2 + b2. 4)Determiner un systeme de representants pour les classes d'elements irreductibles de A. 2. Exercice II On cherche a resoudre dans N l'equation x2 + 2 = y3. 1) Montrer que x est necessairement impair (on pourra raisonner modulo 4). On se placera dorenavant dans l'anneau B := Z[i √ 2].

• reprise de l'ouvrage de calais anneaux-corps - vol


• produit d'elements irreductibles


• anneau euclidien


• elements de theorie des anneaux

Sujets

• Lescot
• Anneau euclidien

Informations

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• Langue: Français

Extrait

NOM : PRENOM :

Date : Groupe :

Analyse:Feuilleder´eponsesduTP2 Extrema et bornes d’une fonction

. .

Onre´pondraauxquestionspos´eesaussiclairementquepossibledanslesespacespr´evus etonremettracettefeuilledere´ponsesenfindeTP`al’enseignantcharge´duTP.

Exercice 1.:iusstnavniseuqidncfoontisusuleelnuamojartnu,enersielleposs`edeesedunacchurPo bornesup´erieure,unminorant,uneborneinf´erieure,unmaximumglobal,unminimumglobal: 2 3 x7→ax+b ,x7→ −x ,x7→x ,−exp,ln,cos,tan

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Exercice 2.:Trouver les points critiques des fonctions suivantes et indiquer si ce sont les arguments de maxima ou minima locaux de la fonction : x f(x) = 5−8x ,f(x) = 2 x+ 1 3 f(x) =x−3x+ 1, f(x) =x+ sinx

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Exercice 4.:vlaolblaeldansmli’niinmtuemrgmimutenuneutmnxaosspeds`ivsuteantcnosnoifseL indiqu´e(pourquoi?).Trouvercesdeuxextremaparlame´thodea`trois´etapes:

2 f(x) = 1−xdans [−2,1]

cosx f(x) =dans [0,2π] 2 + sinx f(x) =x(1−x) dans [0.01,1]

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Exercice 6.:Trouver le point de la droitey= 2x−3 le plus proche de l’origine et calculer cette distance minimale.

Exercice 7.:ndioutol`eblroupe´Vsalrefiirrierchevrend.Repallcemederudoˆutedanl`emprobrelelse casou`l’enclosestcettefoisdispose´enbordurederivi`eresachantqu’iln’apasalorsbesoindelefermer lelongdelarivie`re.

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