M2 LES CONIQUES

Alain Robichon

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+5
M2 : LES CONIQUES. Page 1 sur 3 GEOMETRIE PLANE : LES CONIQUES. I : Généralités. 1°) Définition géométrique. H H0 M F (D) p (?) ? Une conique est l'ensemble des points M d'un plan tels que le rapport des distances à un point F, appelé foyer et à une droite D, appelée directrice, soit constant : FM e HM = . ? Le rapport constant e est appelé l'excentricité de la conique. ? Le paramètre p d'une conique est par définition la longueur FM lorsque le rayon vecteur est parallèle à la directrice D. FM JJJJG ? Il en résulte que la distance du foyer F à la directrice D est : 0 pFH e= . ? L'axe de symétrie FH0 orthogonal à la directrice D, est l'axe focal ? de la conique. 2°) Équation polaire d'une conique. ? Le foyer F est placé à l'origine d'un système de coordonnées polaires (r,?), l'axe polaire coïncidant avec l'axe focal orienté de F vers H0. On a : ; . FM r= ( ),Fx FM? = JJG JJJJG De et .FM e HM= 0 cos cospHM H F r ee? ?= + = + , on obtient l'équation polaire : 1 cos p r e ?= ? .

• mf mf


• ellipse d'excentricité nulle


• droites asymptotes d'équations


• angles ?0


• equation cartésienne


• axe focal


• ellipse

Sujets

• Équation cartésienne
• Ellipse

Informations

• Publié par: les_cours_d_alain
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• Langue: Français

Extrait

M2 : LES CONIQUES.

GEOMETRIE PLANE : LES CONIQUES. I : Généralités. 1°) Définition géométrique. ¾Une conique est l’ensemble des pointsM d’unplan tels que le M rapport des distances à un pointF, appeléfoyeret à une droite H FM = D, appeléedirectrice, soit constant : e . HM F ( Δ) H 0 ¾Le rapport constanteest appelél’excentricité de la conique. p ¾Leparamètrepconique est par définition la longueur d’une JJJJG (D) FMlorsque le rayon vecteur FM est parallèle à la directriceD. p H= . ¾Il en résulte que la distance du foyerFà la directriceDest : F 0 e ¾L’axe de symétrieFHorthogonal à la directriceD, estl’axe focalΔde la conique. 0 2°) Équation polaire d’une conique. ¾Le foyerFplacé à l’origine d’un système de coordonnées polaires est(r,θ), l’axe polaire coïncidant avec l’axe focal orienté deFversH. 0 JJG JJJJG θ= On a : FM=r ; ( Fx,FM ) . p =M De FM e.H  et HM=H 0 F+rcos= +ecosθ , on e y p obtientl’équation polaire: r= . M 1−ecos H θ ¾Dans le cas où l’axe focalH Ffait un angleθavec l’axeFx, on 0 0 0 obtient la forme polaire la plus générale d’une conique: H 0 x p = r ; l’angleθest appeléazimuth focal. 0 1−ecos ( θ−θ ) 0 (D) 3°) Classification des coniques. p ¾ e=1 ∈ +∞[ r= Si , r[r in , , avec min : la conique est uneparabole. m 2 p p < ∈[ ,r] r r= ¾Si e1 , r r min max , avec min = et max : la conique est uneellipse. 1e1e p > +∞ r ¾Si e1 , r∈[r, [ , avec min = : la conique est unehyperbole. min 1e II : Parabole. 1°) Propriétés géométriques. y M = ¾Puisquee = 1, on a FM HM :la parabole est l’ensemble H des pointssitués à égale distance du foyer et de la directrice. x H 0 p O F ¾ H Le paramètre de la parabole vérifie : 0 O OF=r min = 2 (D) Page 1 sur 3

M2 : LES CONIQUES. 2°) Équation cartésienne. ¾En prenant l’origine des coordonnées au sommet O de la parabole (et non plus au foyer), on 2 = obtient l’équation cartésienne canonique de la parabole : y2px . 2 2 2 2 ⎛ ⎞ 2 ⎛ p ⎞ (Il suffit d’écrire : FM=HM , soit encore :x− +y=x+) ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ III : Ellipse. 1°) Propriétés géométriques. ¾Définitions et relations : y Une ellipse de centreO etde foyersF etF’ est B M caractérisée par : H’ r'/e r/e H Undemi-grand axea(OA = OA’ = a). r' r o x ’ O c Undemi-petit axeb(OB = OB’ = b). o H F’ F 0 b Uneexcentricitéeet unparamètrep. o a La distancecle centre entreO etl’un des o B’ a oyers (OF = OF’ = c), telle que c=ea f . ¾Définition bifocale d’une ellipse : Une ellise de foers F et F’, de demi-rand axeaoints M, est le lieu des + = tels que : F MF' 2a . MF MF' Démonstration :par définition d’une conique, on a pour l’ellipse : e ou =e H H ' r r' 1 ⎛ a−c ⎞ a  Parailleurs, H'H== +(r+r')=2OH=2 ( OA+AH ) =2a+ =2 . 0 0 ⎜ ⎟ e ee ⎝ e ⎠ e  D’oùla relation cherchée :r + r’ = 2a. ¾Relations à connaître : Il découle de la définition géométrique d’une ellipse les relations suivantes : 2 2 22 c b = + = = a bc  ; e  ; p . a a Ainsi, connaissant deux des trois distancesa, b, c,on peut en déduirepete.  Inversement,connaissantpete, on peut retrouvera,betc:  Enprenant l’origine au foyer F, le point de l’ellipse le plus près de F est appelépérigéeet le p p r=r= point le plus éloigné l’apogée. Aupérigée: min et à l’apogée: max . 1+ e 1 −e p pe = b= c = On en déduit : a 2  ;; 2 2 1 −e 1 −e 1−e =π Surface d’une ellipse: on rappelle que S ab . 2°) Équation paramétrique et cartésienne. ¾Représentation paramétrique d’une ellipse : Considérons le cercle de centre O et de rayonOA =a. M b φ L’ellipse se déduit de ce cercle par une affinité orthogonale par x b rapport à son axe focal, de rapport. O a a JJG JJJG φ= En faisant intervenir l’angle ( Ox,OP ) ,anomalie excentrique, on Page 2 sur 3

M2 : LES CONIQUES. obtient les équations paramétriques de l’ellipse, avec origine au centre O de l’ellipse : =φ= x acos et y bsin .

2 2 x y ¾Représentation cartésienne d’une ellipse :elle s + =1 ’écrit : 2 2 . a b 3°) Cas particulier du cercle. Un cercle est une ellipse d’excentricité nulle. Ainsi, les foyers F et F’ sont confondus en O, centre du cercle. IV : Hyperbole. 1°) Propriétés géométriques. ¾Définition bifocale d’une hyperbole : I M Une herbole de fo ersF etF’, de demi- randaxeaoints, est le lieu desM x F−MF'=2a = A’ A tels que :( A' 2a ). F’ F O ¾Relations à connaître : On note A'=2a ; I=b et FF'=2c .

2 2 2 2 c b + = = = On a alors : ca b ; e ; p . a a Comme pour l’ellipse, connaissantpete, on peut retrouvera,betc: p En effet :pour θ = 0, r'=F'A'=c+a= , e −1 p  Pour θ = π , r=FA=c−a= . e+1 p p2 pepe p 2c= + = . c= Donc, 2 D’où : a=  ; b=  ; 22 2 e+1e−1e−1 e−1e−1 e−1 2°) Équation cartésienne. L’équation cartésienne canonique d’une hyperbole, avecl’ori ineO placée 2 2 x y − =1 en son centre de symétrie est : 2 2 . a b ¾Equations des asymptotes : 2 2 y x Lorsque x →∞ , on a ≈ , conduisant àdeux droites asymptotes d’équations : 2 2 b a b = ± y x qui se coupent en O. a

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