MA01 Universite d'Orleans Analyse Hilbertienne et de Fourier

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
MA01 Universite d'Orleans Analyse Hilbertienne et de Fourier 2011-12 Feuille d'exercices: transformation de Fourier (1) Exercice 5.1. a) Soit (a, b) ? R2. Montrer que L2 (a, b) ? L1 (a, b), mais que la reciproque est fausse. (On pourra utiliser la fonction f (x) = 1√ x?a ). b) Montrer qu'il n'y a pas de relation d'inclusion entre les espaces L1 (R) et L2 (R). (On pourra utiliser les fonctions e ?x2√ |x| , 1√ x2+1 , e?x 2 ). Exercice 5.2. Soit f : R? C integrable au sens de Lebesgue. On notera F (f) ou f? la transformee de Fourier de f definie par F (f) (?) = f? (?) = ∫ R f (x) e?ix?dx . On pose g (x) = f (?x). Montrer que a) F (g) (?) = F (f) (??) b) F (g) = F (f) c) F (Ref) (?) = 12 ( f? (?) + f? (??) ) et F (iImf) (?) = 12 ( f? (?)? f? (??) ) e) F (f + g) = 2Ref? et F (f ? g) = 2iImf? On pose h (

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Sujets

• Équation différentielle

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• Langue: Français

Extrait

MA01 Analyse Hilbertienne et de Fourier

Universit´ed’Orl´eans 2011-12

Feuille d’exercices:transformation de Fourier (1)

2 21 Exercice 5.1.a) Soit (a, b)∈R. MontrerqueL(a, b)⊂L(a, b), mais que la 1 √ r´eciproqueestfausse.(Onpourrautiliserlafonctionf(x) =). x−a 1 2 b) Montrer qu’il n’y a pas de relation d’inclusion entre les espacesL(R) etL(R). 2 −x 2 e1 −x √ (On pourra utiliser les fonctions √ , ,e). 2 |x| x+1

b Exercice 5.2.Soitf:R→CnoOnratesebe.eugnesuLedsni´tlbaegearF(f) ouf latransform´eedeFourierdefd´efinirape Z −ixξ b F(f) (ξ) =f(ξ) =f(x)e dx. R On poseg(x) =f(−xque). Montrer a)F(g) (ξ) =F(f) (−ξ) b)F(g) =F(f)    1 1 b bb b c)F(Ref) (ξ) =f(ξ) +f(−ξ) etF(iImf) (ξ) =f(ξ)−f(−ξ) 2 2 b b e)F(f+g) = 2RefetF(f−g) = 2iImf   1 ξ b b On poseh(x) =f(ax`uo)a6= 0.Montrer queh(ξ) =f. |a| a b −iaξ On poseg a (x) =f(x−a`u)oa∈Rque. Montrergb a (ξ) =e f(ξ). Exercice 5.3.Calculer la transformation de Fourier de fonctionsf:R→Rsuivantes: a) 1 six∈[−1,1[ f(x) =  0 six /∈[−1,1[   x−a End´eduirelatransforme´edeFourierdesfonctionsfou`a∈R, b6= 0 et b (f∗f) (x). b) 1− |x|si|x|<1 f(x) =  0 si|x|>1 c) −t|x| f(x) =e, pourt >0

Exercice 5.4.On pose

1 2 −x f(x) =e, pourx∈R. 2

b Soitz=f. Montrerque d z(ξ) +ξz(ξ) = 0,ξ∈R. dξ Re´soudrecettee´quationdiffe´rentiellepourprouverque √ 1 2 −ξ b 2 f(ξ) =2πe, pourξ∈R.

2 2 −tx−tx Ende´duirelatransforme´edeFourierdesfonctionsx7→eetx7→xe, pourt >0 .

Exercice 5.5.On pose 1 2 |x| −1 esi|x|<1 ϕ(x) =  0 si|x| ≥1 2 ∞ −x Montrer queϕ∈C(Rest-il de la fonction). Qu’enesont les rela-? Quelles 0 ∞1 tions d’inclusion entre les espacesC(R),S(R) etL(R) ?(On rappelle queS(R) =   0 β ∞ α d u∈C(R) ;∀α, β∈Nsup  x β u(x)  <+∞). dx x∈R Exercice 5.6.rmatuxaffisuivions.saDnaetacssnelndpo´eRarvraperaxuafuoi d’uneaffirmationfausse,justifezvotrer´eponseparuncontreexempleet/ouenmodifant l’e´nonc´epourlerendrecorrect. b 1 a) Sif∈L(R), alorsfstboee´nr.e b 1 1 b) Sif∈L(R), alorsf∈L(R). 1 b c) Sif∈L(R), alorsfnotmipancute.`asupepsotrctoc [ b 1 d) Sif, g∈L(R), alorsf+g=f+bg. R +∞ 1 b e) Sif∈L(R), alorsf(x)dx=f(0). −∞ R +∞ b b 1 1 f) Sif∈L(R) etf∈L(R), alorsf(ξ)dξ= 2πf(0). −∞ Exercice 5.7.Soient 1 six >0 1si|x|<1/2 1− |x|si|x|<1 H(x) =, Π(x, Λ() =x) =   0 six <0 0si|x|>1/2 0si|x|>1 Montrer que R x a)H(x)∗(f(x)H(x)) =f(t)dt 0 b) Λ(x) = Π(x)∗Π (x) = Π(x)∗H(x+ 1/2)−Π (x)∗H(x−1/2) Exercice 5.8.Soit −|t| f:t7→e. b RappellerfevuorT.del’tionsolurunentaoie´uq Z +∞ −|u| −|t| y(t) +y(t−u)e du=e. −∞

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Exercice 5.9.orprapore´zneeuntionncioctonaftlSoitemenlong   2 1 sin(x/2) K(x) =,∀x∈R. 2π x/2

a) Montrer queK(ξ) =F(max (1− |x|,0)) (ξ) pour toutξ∈R. Onde´finitpourtoutλ >0,

K λ (x) =λK(λx) .

b) Montrer qfonc ue la famille (K λ ) >0 de tioncontinues surRirefive´´esi´etroprlesp λ suivantes: (i)K λ (x)≥0 pour toutλ >0 et pour toutx∈R; R (ii)K λ (x)dx→0 quandλ→+∞, pour toutδ >0; |x|>δ R (iii)K λ (x)dx= 1 pour toutλ >0. R OnpourrautiliserlaProposition1.18ducourssurlenoyaudeFe´jer,pluspr´ecise´ment      2 22 2 R η sin(N x/2) sin(η/2) sin(N x/2) sin(N x/2) 1 1 limdx= 1,∀η∈]0, π[;≤ ≤ 2π − η N sin(x/2) (η/2) sin(x/2) (x/2) N→∞   2 sin(N x/2) ∀x∈[−η, η] avecηsuffisamment petit). sin(x/2) 1 1 c) Soitf∈L(REn).euqreuiedd´K λ ∗fconverge versfdansL(R) quandλ→+∞.

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