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MA01 Universite d'Orleans Analyse Hilbertienne et de Fourier

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
MA01 Universite d'Orleans Analyse Hilbertienne et de Fourier 2011-12 Feuille d'exercices: transformation de Fourier (1) Exercice 5.1. a) Soit (a, b) ? R2. Montrer que L2 (a, b) ? L1 (a, b), mais que la reciproque est fausse. (On pourra utiliser la fonction f (x) = 1√ x?a ). b) Montrer qu'il n'y a pas de relation d'inclusion entre les espaces L1 (R) et L2 (R). (On pourra utiliser les fonctions e ?x2√ |x| , 1√ x2+1 , e?x 2 ). Exercice 5.2. Soit f : R? C integrable au sens de Lebesgue. On notera F (f) ou f? la transformee de Fourier de f definie par F (f) (?) = f? (?) = ∫ R f (x) e?ix?dx . On pose g (x) = f (?x). Montrer que a) F (g) (?) = F (f) (??) b) F (g) = F (f) c) F (Ref) (?) = 12 ( f? (?) + f? (??) ) et F (iImf) (?) = 12 ( f? (?)? f? (??) ) e) F (f + g) = 2Ref? et F (f ? g) = 2iImf? On pose h (

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Langue Français

Exrait

MA01 Analyse Hilbertienne et de Fourier
Universit´edOrl´eans 2011-12
Feuille d’exercices:transformation de Fourier (1)
2 21 Exercice 5.1.a) Soit (a, b)R. MontrerqueL(a, b)L(a, b), mais que la 1 r´eciproqueestfausse.(Onpourrautiliserlafonctionf(x) =). xa 1 2 b) Montrer qu’il n’y a pas de relation d’inclusion entre les espacesL(R) etL(R). 2 x2 e1x (On pourra utiliser les fonctions, ,e). 2 |x|x+1
b Exercice 5.2.Soitf:RCnoOnratesebe.eugnesuLedsni´tlbaegearF(f) ouf latransform´eedeFourierdefd´enirape Z ixξ b F(f) (ξ) =f(ξ) =f(x)e dx. R On poseg(x) =f(xque). Montrer a)F(g) (ξ) =F(f) (ξ) b)F(g) =F(f)    1 1 b bb b c)F(Ref) (ξ) =f(ξ) +f(ξ) etF(iImf) (ξ) =f(ξ)f(ξ) 2 2 b b e)F(f+g) = 2RefetF(fg) = 2iImf   1ξ b b On poseh(x) =f(ax`uo)a6= 0.Montrer queh(ξ) =f. |a|a b iaξ On posega(x) =f(xa`u)oaRque. Montrergba(ξ) =e f(ξ). Exercice 5.3.Calculer la transformation de Fourier de fonctionsf:RRsuivantes: a) 1 six[1,1[ f(x) = 0 six /[1,1[   xa End´eduirelatransforme´edeFourierdesfonctionsfou`aR, b6= 0 et b (ff) (x). b) 1− |x|si|x|<1 f(x) = 0 si|x|>1 c) t|x| f(x) =e, pourt >0
Exercice 5.4.On pose
1 2 x f(x) =e, pourxR. 2
b Soitz=f. Montrerque d z(ξ) +ξz(ξ) = 0,ξR. Re´soudrecettee´quationdie´rentiellepourprouverque 1 2 ξ b2 f(ξ) =2πe, pourξR.
2 2 txtx Ende´duirelatransforme´edeFourierdesfonctionsx7→eetx7→xe, pourt >0 .
Exercice 5.5.On pose 1 2 |x| −1 esi|x|<1 ϕ(x) = 0 si|x| ≥1 2 ∞ −x Montrer queϕC(Rest-il de la fonction). Qu’enesont les rela-? Quelles 0 1 tions d’inclusion entre les espacesC(R),S(R) etL(R) ?(On rappelle queS(R) =   0 β α d uC(R) ;α, βNsupxβu(x)<+). dx xR Exercice 5.6.rmatuxasuivions.saDnaetacssnelndpo´eRarvraperaxuafuoi dunearmationfausse,justifezvotrer´eponseparuncontreexempleet/ouenmodifant le´nonc´epourlerendrecorrect. b 1 a) SifL(R), alorsfstboee´nr.e b 1 1 b) SifL(R), alorsfL(R). 1 b c) SifL(R), alorsfnotmipancute.`asupepsotrctoc [b 1 d) Sif, gL(R), alorsf+g=f+bg. R +1 b e) SifL(R), alorsf(x)dx=f(0). −∞ R +b b 1 1 f) SifL(R) etfL(R), alorsf(ξ)= 2πf(0). −∞ Exercice 5.7.Soient 1 six >0 1si|x|<1/2 1− |x|si|x|<1 H(x) =, Π(x, Λ() =x) =  0 six <0 0si|x|>1/2 0si|x|>1 Montrer que R x a)H(x)(f(x)H(x)) =f(t)dt 0 b) Λ(x) = Π(x)Π (x) = Π(x)H(x+ 1/2)Π (x)H(x1/2) Exercice 5.8.Soit −|t| f:t7→e. b RappellerfevuorT.deltionsolurunentaoie´uq Z +−|u| −|t| y(t) +y(tu)e du=e. −∞
2
Exercice 5.9.orprapore´zneeuntionncioctonaftlSoitemenlong   2 1 sin(x/2) K(x) =,xR. 2π x/2
a) Montrer queK(ξ) =F(max (1− |x|,0)) (ξ) pour toutξR. Onde´nitpourtoutλ >0,
Kλ(x) =λK(λx) .
b) Montrer qfonc ue la famille (Kλ)>0de tioncontinues surRireve´´esi´etroprlesp λ suivantes: (i)Kλ(x)0 pour toutλ >0 et pour toutxR; R (ii)Kλ(x)dx0 quandλ+, pour toutδ >0; |x|R (iii)Kλ(x)dx= 1 pour toutλ >0. R OnpourrautiliserlaProposition1.18ducourssurlenoyaudeFe´jer,pluspr´ecise´ment      2 22 2 R ηsin(N x/2) sin(η/2) sin(N x/2) sin(N x/2) 1 1 limdx= 1,η]0, π[;≤ ≤ 2πη Nsin(x/2) (η/2) sin(x/2) (x/2) N→∞   2 sin(N x/2) x[η, η] avecηsuffisamment petit). sin(x/2) 1 1 c) SoitfL(REn).euqreuiedd´Kλfconverge versfdansL(R) quandλ+.
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