Master “Mathematiques Informatique” MAT403 Universite J Fourier
3 pages

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris

Master “Mathematiques Informatique” MAT403 Universite J Fourier

Découvre YouScribe en t'inscrivant gratuitement

Je m'inscris
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
3 pages
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur, Master
Master 1 “Mathematiques, Informatique”, MAT403 Universite J. Fourier 2007-2008 Corrige du devoir surveille du 7 novembre Exercice 1. [7 points] 1. Pour tout g ? X ?, ker g est un ferme de (X, ? · ?) (car g est continue). Donc G? = ? g?G ker g est ferme (comme intersection de fermes). De meme, si x ? X, la forme lineaire ?x sur X ? definie par ?x(f) = f(x) ? f ? X ? est continue (cf. cours), donc ker?x et E? = ?x?E ker?x sont des fermes de (X ?, ? · ?X?). 2. f ? (E + F )? ? f(x+ y) = 0 ? (x, y) ? E ? F ? f(x) = ?f(y) ? (x, y) ? E ? F (?). L'affirmation (?) appliquee a (x, y) = (x, 0) ? E ? F implique f(x) = 0 ? x ? E, c'est-a- dire, f ? E?. De meme, en prenant (x, y) = (0, y) ? E ? F dans (?) on obtient f ? F?.

  • corollaire du theoreme de hahn-banach vu en td

  • axm ?

  • somme de cesaro

  • ?an? ≤

  • n?1 ∑

  • finie des anx

  • n?n


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 16

Extrait

Master1Math´ematiques,Informatique,MAT403
Corrig´edudevoirsurveille´du7novembre
Universite´J.Fourier 20072008
Exercice 1.[7 points] 0 ⊥ 1. PourtoutgX, kergnferm´ed(eestuX,k ∙ k) (cargest continue).DoncG=kergest gG 0 ferm´e(commeintersectiondeferme´s).Demˆeme,sixXmaefo,rln´liireaeϕxsurXe´dein 0 ⊥ parϕx(f) =f(x)fXest continue (cf.cours), donc kerϕxetE=kerϕxsont des xE 0 ferm´esde(X ,k ∙ kX). 0 2.f(E+F)f(x+y) = 0(x, y)E×Ff(x) =f(y)(x, y)E×F(). L’affirmation ()appliqu(a`ee´x, y) = (x,0)E×Fimpliquef(x) = 0xE`aetsc, ⊥ ⊥ dire,fEmprˆeenme.,Deenant(x, y) = (0, y)E×Fdans () on obtientfF. ⊥ ⊥ Re´ciproquement,sifEFalorsf(x) =f(y) = 0(x, y)E×Fet donc () est ⊥ ⊥satisfaite.Dou`(E+F) =EF. ⊥⊥ 0 3.E={xX;f(x) = 0ffX ,|E= 0}´mreftsestueaqsl`epraedtneitnoi1nteocE. ⊥⊥ DoncEE. Pourmontrer l’inclusion inverse, on peut supposer queE6=X(le casE=X este´vident).Soitx0X\Eetf0roemlfaaeriil´n´eedienrsuEKx0parf0(x+λx0) =λ (x, λ)E×K´reeTn(Defiull3e.Onamontuesquip,euq)1ecicrexe,x0l’ouvertX\E, f0nre´tsobeesurEKx0rlet.Panerdeeunpett´naBa,ochHedenhaoe´hme`rf0en une forme ˜ ˜˜ lin´eaireborn´eef0niesurtotud´eXa alors. Onf0|E=f0|E= 0 etf(x0) =f(x0od,u`1=) ⊥⊥ ⊥⊥⊥⊥ ⊥⊥ ˜ f0/E. AinsiX\EX\Ea`dset,ce,irEEprouve que. CeciE=E. 00 4. NotonsJ:x7→ϕxelsiom´etriecanoniquX X,u`oϕxitseed´plnihaus.SutXest 00 ⊥re´exif,Jest surjective et l’on peut identifierXavecX=J(X) etGavecJ(G) =ϕ00 00 00 X;ϕ(g) = 0gGsi l’on remplace. Ainsi,XparX,XparXetEparGdans lesde´nitionsdele´nonce´,lenouvelespaceG´eomietr¨ocuicnıa`edsiltbnesnoiiaJcer`paves celuiutilis´eant´erieurement.Onpeutdoncappliquerlere´sultatdelaquestion3enprenant 0 0⊥⊥ (X ,k ∙ keparded´)pcaocmemeesed(ilue(tuaX,k ∙ k), pour conclure queG=G. X
Exercice 2.[19 points] Lebutdecetexerciceestdeg´en´eraliserleth´eore`meergodiquedevonNeumann(cf.feuillede TD6,exercice5).Seloncethe´ore`me,siA=Uriatudepsendecaeetsnuaeppilactionlin´eaireuni HilbertdansluimeˆmeetSNora`seCedemmsolaste N1 X 1n SN=,N A n=0 alors pour toutxX,SNxP xquandN→ ∞,uo`Pest le projecteur surF= ker(AId). Dans n lecasduneapplicationline´aireA:XXavecXun espace de Banach etkAk´eunbornm´emifortne enn,SNxptuotruotgeersfpac´orenemenvnocxXoinsque`(maXsoitr´eexif),maislona unre´sultatanaloguesurlesousespaceYXdtaslualovrince.ergeus,iDeplu`oaylivnoc convergence faible d’une soussuite de(SNx)NNpour conclure quexY. ? n n 1. (a)SikAk ≤1 alorsM= supkAk ≤supkAk ≤1<. ? ? nNnN N1 X 1 n (b) supkSNk ≤supkAk ≤M <. N ? ? NNNN n=0
1
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents