MASTER MATHEMATIQUES PURES

Description

Niveau: Supérieur, Master
MASTER (MATHEMATIQUES PURES) COMPLEMENTS EN ANALYSE COURS et EXERCICES Isabelle Chalendar et Emmanuel Fricain - 2010-2011 -

• formule de multiplication sur l1


• operateurs compacts


• espaces topologiques


• analyse complexe


• fonctions periodiques


• theoremes de hahn-banach


• tranformation de fourier sur l1


• theoreme de riesz–thorin

Sujets

• Analyse complexe

Informations

• Publié par: cidur
• Nombre de lectures: 102
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 1 Mo

Extrait

MASTER (MATHEMATIQUES PURES)
´COMPLEMENTS EN ANALYSE
COURS et
EXERCICES
Isabelle Chalendar et Emmanuel Fricain
- 2010-2011 -2Table des mati`eres
1 Topologie g´en´erale 7
1.1 Espaces topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Rappel sur la topologie la moins ne rendant continues une
famille d'applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Espaces topologiques compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Denition et proprietes elementaires . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Metrisabilite d'un espace topologique compact . . . . . . . 17
1.2.3 Precompacite et compacite sequentielle . . . . . . . . . . . 18
1.2.4 Ensembles relativement compacts . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 La topologie faible (E;E ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 La topologie faible (E ;E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5 Espaces reexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6 Espaces separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.7 Metrisabilite des topologies faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.8 Espaces uniformement convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
p1.9 Applications : espaces L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
p1.9.1 Etude de L pour 1<p< +1. . . . . . . . . . . . . . . . 52
11.9.2 Etude de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
11.9.3 Etude de L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.10 Supplementaire topologique... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3`4 TABLE DES MATIERES
1.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2 Op´erateurs born´es... 77
2.1 Adjoint d'une application lineaire continue . . . . . . . . . . . . . 77
2.2 Operateurs normaux, unitaires, positifs... . . . . . . . . . . . . . . 81
2.3 Spectre des applications lineaires et continues . . . . . . . . . . . 84
2.4 Exercices, complements de cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3 Op´erateurs compacts 93
3.1 Applications lineaires compactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.2 Theorie spectrale des operateurs compacts . . . . . . . . . . . . . 100
3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.3.1 Premiers exemples d'operateurs compacts : shifts ponderes,
operateurs integraux et operateur de Volterra . . . . . . . 110
3.3.2 Operateurs de Hilbert{Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3.3 Decomposition des operateurs compacts . . . . . . . . . . 112
4 S´eries de Fourier et applications 115
4.1 Analyse de Fourier pour les fonctions periodiques . . . . . . . . . 115
4.1.1 Fonctions periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.1.2 Coecients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Convolution surT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.4 Inegalite de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.5 Les principaux noyaux trigonometriques . . . . . . . . . . 125
4.1.6 Les principaux theoremes de convergence . . . . . . . . . . 132
4.1.7 Le phenomene de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.8 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.1.9 Equation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150`TABLE DES MATIERES 5
15 Tranformation de Fourier sur L (R) 153
5.1 Analyse de Fourier pour les fonctions integrables surR . . . . . . 153
15.1.1 La transformee de Fourier sur L (R) . . . . . . . . . . . . 154
15.1.2 La formule de multiplication sur L (R) . . . . . . . . . . . 157
5.1.3 La convolution surR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1.4 Inegalite de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.1.5 La transformee de Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.1.6 La transformee de Fourier{Plancherel . . . . . . . . . . . . 160
p5.1.7 La formule de multiplication sur L (R) avec 1p 2 . . 162
6 Analyse complexe 165
6.1 Produits innis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.1 Preliminaires sur les produits innis . . . . . . . . . . . . . 165
6.1.2 Produits in