Master Nancy
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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Vecteurs aléatoires gaussiens Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Vecteurs gaussiens Nancy-Université 1 / 47

  • convergence vers la loi normale

  • m1 - vecteurs gaussiens

  • moments de la gaussienne

  • vecteurs aléatoires

  • variables gaussiennes réelles


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Nombre de lectures 30
Langue English
amyTSCN)M.(IEtcue-1eVsuissragcyansNenrsveni-U74/1éti
Samy Tindel
Master 1 - Nancy
Nancy-Université
Vecteurs aléatoires gaussiens
STymaEI(.M)NCneNsnaycU-inevsr1-Vecteursgaussi
Vecteurs aléatoires gaussiens
3
Vecteurs aléatoires
7/4é2it
Variables gaussiennes réelles
2
Moyenne et variance empirique
1
4
5
Plan
Convergence vers la loi normale
NansiessivUny-nc/3étisre
Moyenne et variance empirique
5
4
Convergence vers la loi normale
Plan
74Sa(IECmyT.V-ce)N1Mgsuaetru
1
Variables gaussiennes réelles
2
Vecteurs aléatoires
3
Vecteurs aléatoires gaussiens
M1-VECN)T.(ISamy
Notation:On noteN1(01)ouN(01)cette loi. Rappel:On a
/474
Gaussienne centrée réduite Définition:Une variable aléatoire à valeurs réellesXest dite gaussienne réduite et centréesi sa loi de probabilité admet la densité: f(x) =ex1px22!xR2π
pour toute fonctiongborélienne bornée ou positive. particulier, En ZRexpx22!dx=2π
E[g(X)] =21πZg(x)expx22!dxR
erivtésincNaUny-ssuasneietcegsru
cyansNenrsveni-UuetceV-1issuagsr4/7ti5é
E[exp(itX)] =et22tR
2
E[exp(zX)] =exp(z22)
En particulier
Proposition
Moments de la gaussienne
Pour tout nN, on a 0si nimstirpa,sniseptia,ern=2mE[Xn (] =2m)! m!2m
Soit X∼ N(01). Alors 1Pour tout zC,
SamyT.(IECN)M
(IECN)M1SamyT.ivUnsierNansy-ncuagseissceV-ruet
(iii)Cas complexe: ϕetz7→ez22sont deux fonctions entières Puisque ces deux fonctions coïncident surR, elles sont égales surC.
(Diié)coCmasporséietli:oSnozixtz12R.)22 1 x2=2(xz+z2 et changement de variabley=xzϕ(z) =ez22
1x2 ϕ(z) =12πZRexpz2d xx
Démonstration (i)Définition de la transformée: RRexp(zx21x2)dxabsolument convergente pour toutzC ,la quantitéϕ(z) =E[ezX]est bien définie et,
74
(iv)Fonction caractéristique: En particulier, siz=itavectR, on aE[exp(itX)] =et22
ét/6
Démonstration (2) (v)Moments:soitn1. Convergence deE[|Xn|] facile: argument Par ailleurs, on a presque sûrement,
7
Mais|Sn| ≤Yavec |t|k|X|ke|tX|etX+eY=Xk=!tX k=0 CommeE(exp(aX))<, on en déduit queYest intégrable Une application du théorème de Lebesgue conduit à E[exp(itX)] =EnX0(tinX)!n=nX0intn!nE[Xn]
n eitX=nlimSnavecSn=X0(tki!)kXkk=
é7/4rsitniveSsmaTy(.seomemtnulepourlitlaformnaNsU-ycsuagneisctVerseuCNIE1-)MaPiredtnonendéduication
Variable aléatoire gaussienne
Corollaire:D’après la proposition précédente, siX∼ N(01) ,E[X] =0 etVar(X) =1
Définition: Une variable aléatoire réelle est dite gaussienne s’il existe X∼ N(01)et deux réelsaetbtels queY=aX+b.
Identification des paramètres:on a
Notation:On noteN(m σ2)la loi d’une variable aléatoire de loi gaussienne de moyennemet de varianceσ2.
E[Y] =betVar(Y) =a2Var(X) =a2
sité8/47sgurssau-VM1teecnU-yrevisneicnaNCE)N.TI(aSym
SamyT.(IECN)M174
Propriétés de la gaussienne
ét/9
Fonction caractéristique:soitY∼ N(m σ2). Alors E[exp(itY)] =expitmt22σ2!tR
Densité:on a 12t la densité deN(m σ2) σ2πexp(x2σ2m)!es
Inversement, la formule ci-dessus caractérise la loiN(m σ2)
y-ncNanssierivUnruetceV-eissuags
Loi
normale:
Samy
T.
illustration
Figure:
(IECN)
Loi
N
(0,
1),
N
(1,
M1 - Vecteurs
1),
N
gaussiens
(0,
9),
N
(0,
14).
Nancy-Université
10
/
47
11/4sité
Démonstration: Via les fonctions caractéristiques
Remarques:
Identification des paramètres deY1+Y2facile Généralisation possible à une sommePnj=1Yj
Proposition
7
Somme de gaussiennes indépendantes
Soient Y1et Y2deux variables aléatoires gaussiennes, indépendantes On suppose Y1∼ N(m1 σ21)et Y2∼ N(m2 σ22). 2 AlorsY1+Y2∼ N(m1+m2 σ1+σ22).
-VM1teecsgurssausneicnaNnU-yreviaSym.TI(CE)N