Master Nancy

Samy Tindel

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Vecteurs aléatoires gaussiens Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Vecteurs gaussiens Nancy-Université 1 / 47

• convergence vers la loi normale


• m1 - vecteurs gaussiens


• moments de la gaussienne


• vecteurs aléatoires


• variables gaussiennes réelles

Informations

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• Langue: English

Extrait

amyTSCN)M.(IEtcue-1eVsuissragcyansNenrsveni-U74/1éti

Samy Tindel

Master 1 - Nancy

Nancy-Université

Vecteurs aléatoires gaussiens

STymaEI(.M)NCneNsnaycU-inevsr1-Vecteursgaussi

Vecteurs aléatoires gaussiens

3

Vecteurs aléatoires

7/4é2it

Variables gaussiennes réelles

2

Moyenne et variance empirique

1

4

5

Plan

Convergence vers la loi normale

NansiessivUny-nc/3étisre

Moyenne et variance empirique

5

4

Convergence vers la loi normale

Plan

74Sa(IECmyT.V-ce)N1Mgsuaetru

1

Variables gaussiennes réelles

2

Vecteurs aléatoires

3

Vecteurs aléatoires gaussiens

M1-VECN)T.(ISamy

Notation:On noteN 1 (01)ouN(01)cette loi. Rappel:On a

/474

Gaussienne centrée réduite Définition:Une variable aléatoire à valeurs réellesXest dite gaussienne réduite et centréesi sa loi de probabilité admet la densité: f(x) = √ ex 1 p
− x 2 2 ! x∈R 2π

pour toute fonctiongborélienne bornée ou positive. particulier, En Z R exp
− x 2 2 ! dx= √ 2π

E[g(X)] = √ 2 1 π Z g(x)exp
− x 2 2 ! dx R

erivtésincNaUny-ssuasneietcegsru

cyansNenrsveni-UuetceV-1issuagsr4/7ti5é

E[exp(itX)] =e −t 2 2 ∀t∈R

2

E[exp(zX)] =exp(z 2 2)

En particulier

Proposition

Moments de la gaussienne

Pour tout n∈N, on a   0si n  imstirpa, sniseptia, e rn=2m E[X n  ( ] = 2m)!  m!2 m

Soit X∼ N(01). Alors 1 Pour tout z∈C,

SamyT.(IECN)M

(IECN)M1SamyT.ivUnsierNansy-ncuagseissceV-ruet

(iii)Cas complexe: ϕetz7→e z 2 2 sont deux fonctions entières Puisque ces deux fonctions coïncident surR, elles sont égales surC.

( D ii é ) co C m as po r s é i e t l i :oS noz i x tz − ∈ 1 2 R. ) 2 2 1 x 2 =− 2 (x−z+ z 2 et changement de variabley=x−z⇒ϕ(z) =e z 2 2

1 x 2 ϕ(z) = √ 1 2π Z R exp  z 2  d x−x

Démonstration (i)Définition de la transformée: R R exp(zx− 2 1 x 2 )dxabsolument convergente pour toutz∈C ,→la quantitéϕ(z) =E[e zX ]est bien définie et,

74

(iv)Fonction caractéristique: En particulier, siz=itavect∈R, on aE[exp(itX)] =e −t 2 2

ét/6

Démonstration (2) (v)Moments:soitn≥1. Convergence deE[|X n |] facile: argument Par ailleurs, on a presque sûrement,

7

Mais|S n | ≤Yavec ∞ |t| k |X| k e |tX| ≤e tX +e − Y= X k = ! tX  k=0 CommeE(exp(aX))<∞, on en déduit queYest intégrable Une application du théorème de Lebesgue conduit à E[exp(itX)] =E   n≥ X 0 (ti n X) ! n   = n≥ X 0 i n t n! n E[X n ]

n e itX = n li → m ∞ S n avecS n = X 0 (t k i ! ) k X k  k=

é7/4rsitniveS s maTy(. seomemtnulepourlitlaform naNsU-ycsuagneisctVerseuCNIE1-)M aPiredtnonendéduification

Variable aléatoire gaussienne

Corollaire:D’après la proposition précédente, siX∼ N(01) ,→E[X] =0 etVar(X) =1

Définition: Une variable aléatoire réelle est dite gaussienne s’il existe X∼ N(01)et deux réelsaetbtels queY=aX+b.

Identification des paramètres:on a

Notation:On noteN(m σ 2 )la loi d’une variable aléatoire de loi gaussienne de moyennemet de varianceσ 2 .

E[Y] =betVar(Y) =a 2 Var(X) =a 2 

sité8/47sgurssau-VM1teecnU-yrevisneicnaNCE)N.TI(aSym

SamyT.(IECN)M174

Propriétés de la gaussienne

ét/9

Fonction caractéristique:soitY∼ N(m σ 2 ). Alors E[exp(itY)] =exp
itm− t 2 2 σ 2 ! t∈R

Densité:on a 1 2 t la densité deN(m σ 2 ) σ √ 2π exp
− (x 2 − σ 2 m) ! es

Inversement, la formule ci-dessus caractérise la loiN(m σ 2 )

y-ncNanssierivUnruetceV-eissuags

Loi

normale:

Samy

T.

illustration

Figure:

(IECN)

Loi

N

(0,

1),

N

(1,

M1 - Vecteurs

1),

N

gaussiens

(0,

9),

N

(0,

14).

Nancy-Université

10

/

47

11/4sité

Démonstration: Via les fonctions caractéristiques

Remarques:

Identification des paramètres deY 1 +Y 2 facile Généralisation possible à une somme P n j=1 Y j

Proposition

7

Somme de gaussiennes indépendantes

Soient Y 1 et Y 2 deux variables aléatoires gaussiennes, indépendantes On suppose Y 1 ∼ N(m 1  σ 2 1 )et Y 2 ∼ N(m 2  σ 22 ). 2 AlorsY 1 +Y 2 ∼ N(m 1 +m 2  σ 1 +σ 22 ).

-VM1teecsgurssausneicnaNnU-yreviaSym.TI(CE)N