Master SC M1 MA04 Universite d
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Master SC M1 MA04 Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base

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Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Master 1. SC M1 MA04. Universite d'Orleans Analyse fonctionnelle de base 2008-9 Examen (Le 9 janvier 2009: 3h) (Les documents, calculatrices et telephones portables sont interdits) La redaction et les justifications seront prises en compte lors de la correction. Question de cours: Enoncer le theoreme de Hahn-Banach geometrique ainsi que le theoreme de l'application ouverte. Exercice 1. Soit H un espace de Hilbert reel. On note < x, y > le produit scalaire et ||x|| la norme associee. (1) Soit x ? H. On pose R(y) =< x, y > pour tout y ? H. Montrer rapidement que R est lineaire et continu. Puis calculer ||R|| la norme de R. (2) Soit (xn)n une suite dans H. On pose Tn(y) =< xn, y > pour tout y ? H. On suppose que la limite de la suite Tn(y) existe lorsque n tend vers l'infini, pour tout y ? H. (a) Montrer que supn |Tn(y)| est fini pour tout y ? H. (b) En deduire que supn ||Tn|| est fini (Justifiez votre reponse). On note T (y) = limn Tn(y).

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Langue Français
Master 1.SC M1 MA04. Analyse fonctionnelle de base
Examen(Le9janvier2009:3h)
Universit´edOrl´eans 2008-9
(Lesdocuments,calculatricesette´l´ephonesportablessontinterdits)
Lar´edactionetlesjusticationsserontprisesencomptelorsdelacorrection.
Question de courscanae´ghe´moqirtor´eme`eHade-Bhnueainsiquethleerncno:E leth´eore`medelapplicationouverte.
Exercice 1.SoitHnntoleO.senuedeHipacetr´elbery >< x,le produit scalaire et ||x||rmnossealaco´iee.
(1) SoitxHpose. OnR(y) =y >< x,pour toutyHrapidement. Montrer queRrscalc.uPlueitinutconriee´naetsile||R||la norme deR.
n n (2) Soit(x)nune suite dansH. OnposeTn(y) =>, y< xpour toutyH. On suppose que la limite de la suiteTn(y)existe lorsquentend vers l’infini, pour toutyH.
(a) Montrerque supn|Tn(y)|est fini pour toutyH.
(b)End´eduirequesupn||Tn||zeirtov(intsuJ.e)est´eernspo
On noteT(yli)=mnTn(y).
(c) Montrerque l’applicationTriee´naeitunctnostlieetqeeeluv´leier ||T|| ≤lim inf||Tn||. n (3) (a)Montrer qu’il existexHtel queT(y) =< x,y >pour toutyH.
n On dit qu’une suite(x)ndeHconvergefaiblementverszsi n lim>< x, y=y >,< z,yH. n n (b)De´duiredecequipre´c`edeque(x)ndeHconvergefaiblementversxdu 3)a) et que n ||x|| ≤lim inf||x||. n 2(4)On poseH=`(N)blreediHapeclseueaqchntdoel´etrtneme´le´yest une suite dere´els(yk)kv´eriant X 2 |yk|<. k=1 1
2 P Le produit scalaire surHine´dtserap< y,z >=ykzkpoury, zH. k=1 On noteen= (0,0, ...,1,0,0, ....)la suite dont toutes les composantes sont nulles sauflan-ie`mequivaut1. Montrer queenconvergefaiblementvers 0 = (0,0, ....) mais qu’elle ne con-22verge pas dans`(N) pour la norme`(N).
(5)Enonce´unepropositionr´esumantcequiae´t´ede´montre´danscetteexercice.
Exercice 2.SoitHOn noteun espace de Hilbert.g >< f,le produit scalaire de f, gH. (1) Onse donne une applicationn´eaireliA:HH.On suppose qu’il existe une applicationeria´einlB:HHtelle que f, gAf, gH, <>=Bg > .< f, Monbrer queAest continue ainsi queB.
2 (2)SoitH=L([π, π])etdseleel´ersruelava`snoitcsfonrtdeilbeedeHpscaleR π carr´einte´grablesur[π, π]. Onnoteg >< f,=f(t)g(t)dtuo`dtest la π mesure de Lebesgue sur[π, π].
On se donnehctioefonurabnmeseinel´dnuseru[π, π]`alevasrurel´e.sel 2 2 On suppose que pour toutfLalorshfLet on poseM(f) =hf.
Montrer queMun.noittceeirean´liste
(3)On noteC >0tnaveinire´ntenstanecou Z Z π π 2 22 |h(t)f(t)|dtC|f(t)|dt(). ππ On noteµ(A)la mesure de Lebesgue de l’ensembleA[π, π]etχAl’indicatrice de l’ensembleA.
(a) En prenantf=χ{|h|>C+ε}dans (que). Montrer|h(t)| ≤C+εpour presque toutt[π, π] (i.e.µ({|h|> C+ε}) = 0.)
(b)Ende´duirequeµ({|h|> C}) = 0 et queh(t)Cpresque pour tout t[π, π].
(c) Montrerque||M||=||h||L.
2 (4)On suppose de plus queMest une bijection deLui-mˆeme.dansl
2 (a) Montrerqu’il existeK >0 tel que, pour toutgL, 1 ||M(g)||2K||g||2.
(b) Soitµ(V)>0. Calculer||χV||2.
(c) Montrerque sihest nulle surV[π, π] avecµ(V)>0 alors M(χV)(t) = 0,t[π, π´ddeiuerequ.]nEµ({h= 0}) = 0.
1 (d)De´terminerM.
3
(e) Enconclure pour presque toutt[π, πl,i´e]lati´nge 1 h(t)C. K Exercice 3.s.´ethleor´eme`eBade1(onE)recnspuispourlesfermripeuolrseuoevtr
(2)d`sionncOereP=quone(eucl´rqedegeemdsynˆospolledesembP k=0Pkl’enk estlensembledespolynoˆmesdedegr´eauplusk). Pourf∈ Pkde la forme  !1/2 k k X X j2 f(t) =ajtt ,R, ajR, on pose||f||2=|aj|nc.Osione`dre j=0j=0 ||.||une norme surP.
(a) SoitkNuqrertnoM.e´xnscouxdeteisexiltantes0< mkMk<telles que, pour toutf∈ Pk, mk||f||2≤ ||f|| ≤Mk||f||2. (b) Onfixef0∈ Pkqu’il n’existe pas de. Montrerε >0 tel que B(f0, ε) ={g∈ P;||f0g||< ε} ⊂ Pk. (Onraisonneraparlabsurdeetonconsid`ereraunefonctiongbien choisie dedegr´eexactement(k+ 1)).
(c)End´eduirequePkt´erdinesturiedevinsdaPpour la norme||.||.
(d) Peut-on munirP(Justifier votred’une structure d’espace de Banach ? re´ponse).
(e)Peut-onre´pondrea`laquestionb)sansutilisera)? Exercice 4.SoitEaBedecapsenutleeer´chnaBun sous-ensemble deEsuppose. On 0 0 que pour toutfE, l’ensemble{f(x), xB}edanotrbne´ssR. (Eest le dual deE).
Enutilisantlethe´or`emedeBanach-Steinhauss,montrerqueBsebtro´ndenasE.