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Math I Analyse licence STS portail Mathematiques Informatique

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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Math I Analyse licence STS portail Mathematiques-Informatique Sylvie Benzoni 26 octobre 2010

  • mathematiques informatique

  • axiome fondamental de l'analyse

  • calcul des solutions des equations differentielles

  • equations differentielles

  • licence sts dans le portail mathematiques-informatique


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Informations

Publié par
Publié le 01 octobre 2010
Nombre de lectures 47
Langue Français
Poids de l'ouvrage 1 Mo

Exrait

Math I Analyse
licence STS portail Math´matiques-Informatique

Sylvie Benzoni

26 octobre 2010

2

Programme et objectifs

MOTS-CL´DU COURS

Chapitre 1 :Nombres r´els, bornes sup´rieures et inf´rieures, intervalles.
Chapitre 2 :Suites num´riques. Th´or`me de Bolzano-Weierstrass.
Chapitre 3 :FonctionsR→R(limite, continuit´, d´rivabilit´). Th´or`mes de Rolle et des
accroissements finis.
Chapitre 4 :tiuasdon´qlin´airequationseillse´:fi´fertn-ffioe`ce2drro’dte,1erdro’ds
cients constants.

Les objectifs vis´s sont les suivants.
Comp´tences de nature m´thodologique et/ou conceptuelle :
•Comprendre les propri´t´s fondamentales de l’ensemble des r´els, du point de vue alg´brique
(l’alg`bres’int´ressant auxstructures), et surtout analytique (avec l’axiome fondamental
de l’analyse aussi appel´principe de la borne sup´rieure).
•Savoir faire des calculs abstraits, notamment avec le signeΣ(sommes simples ou doubles,
changements d’indices, formule du binoˆme).
•Savoir faire desd´monstrationspar r´currence, par l’absurde, etc.
•Savoir faire desd´monstrationsavec des epsilon (ε) : suite convergente; limite,
continuit´, d´rivabilit´ d’une fonction,crit`re de Cauchypour les suites et les fonctions.
•nsiootsnleeristraMıˆedsuite extraite,fonction,injection, surjection, bijection,continuit´.
•Concevoir les ´quations diff´rentielles comme mod`les math´matiques (incontournables
dans certains domaines de la physique, la chimie, la biologie, etc.) et faire le lien avec les
suites (mod`les ditsdiscrets).
Comp´tences techniques :
•Manipulation d’´ginital´sdansR, c’est-`-diremajoreretminorer, avec desvaleurs
absolues, desparties enti`res, despuissances enti`res, desracines n-i`mes.
•Calculs delimites(´l´mentaires) de suites et de fonctions.
•Calcul du terme g´n´ral d’une suite d´finie par une relation der´currence lin´airesimple
ou double.
•Exploitation detableaux de variationspour les fonctionsR→R, trac´ degraphes` main
lev´e.
•Calcul dessolutions des ´quations diff´rentielleslin´aires d’ordre 1, et d’ordre 2 `
coefficients constants.

D’autres objectifs non sp´cifiques ` cette UE sont :

3

4

•esne)sapenylpsid;enmenıˆartrpal`tneenotisedontles(dtsnee’ixecopeced
•d´veloppement de la capacit´ d’abstraction;
•acteinttiroanˆveulos´ral`tnemenıs,cecierexd’ontisaisopessipuecuqcipaarti´etpduit
aux TD.

CONTRˆOLE DES CONNAISSANCES

Les ´valuations ont lieu sur le mode dueloctnniiutng´arlcontrˆo(CCI), et portent aussi
bien sur vos aptitudes techniques que sur votre connaissance des concepts et vos capacit´s
de raisonnement. L’absence ` une ´preuve donne lieu ` la note 0, sauf cas exceptionnel sur
justificatif. L’absence ` toutes les ´preuves donne lieu ` la mention DEF (pour«d´faillant») au
contrˆolecontinu,cequiimpliquel’impossibilit´devaliderl’UE(etlesemestre1delalicence
STS dans le portail Math´matiques-Informatique).

Table des mati`res

I

Les r´els
1 Introductionaux nombres r´els. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Bornessup´rieures .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 L’axiomefondamental de l’analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 IntervallesdeR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Outilsde calcul dansR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Lespuissances enti`res. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Lesracinesn-i`mes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Lesvaleurs absolues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Lesparties enti`res. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Suitesnum´riques
1 Exemplesde suites. . . . . . . . . . .
2 Limitesde suites. . . . . . . . . . . .
2.1 Introduction. . . . . . . . . . .
2.2 Op´rationssur les limites .. . .
3 Suitesr´elles monotones. . . . . . . .
4 Suitesextraites .. . . . . . . . . . . .
5 Lecrit`re de Cauchy. . . . . . . . . .
6 Suitescomplexes .. . . . . . . . . . .
7 Approximationdes nombres r´els. . .
8 Compl´ments. . . . . . . . . . . . . .
8.1 Valeursd’adh´rence .. . . . .
8.2 Limitesup et limite inf. . . . .
8.3 Introduction` la dynamique. .

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III Fonctions d’une variable r´elle
1 Notionset notations de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 D´finitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctionsmonotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 D´finitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

7
7
9
11
12
13
13
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35
35
36
36

39
39
39
40
45
45
45

6

3

4

5

2.2 Op´rationssur les limites .. . . . .
2.3 Limiteset monotonie. . . . . . . .
2.4 Crit`rede Cauchy. . . . . . . . .
Continuit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 D´finition. . . . . . . . . . . . . .
3.2 Th´or`mesfondamentaux .. . . .
3.3 Continuit´,monotonie, et bijectivit´
D´rivabilit´ .. . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 D´rivationet sens de variation. . .
La fonction exponentielle. . . . . . . . . .
5.1 Exponentielle. . . . . . . . . . . .
5.2 Logarithme. . . . . . . . . . . . .
5.3 Exponentiellecomplexe .. . . . .

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TABLEDESMATI`RES

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IV ´quationsdiff´rentielles
1 Qu’est-qu’une´quation diff´rentielle ?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 ´quationsdiff´rentielles lin´aires d’ordre 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 ´quationsdiff´rentielles lin´aires d’ordre 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Index

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49
51
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61

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63
64
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Chapitre I

Les r´els

1

Introduction aux nombres r´els

En apprenant ` compter, on apprend ` manipuler des nombres de plus en plus compliqu´s.
Au d´but, on travaille exclusivement avec des nombres entiers dits«naturels», dont
l’ensemble est not´N. Pour calculer dansNtion(l’oesd’addiseseatlbnoanıˆrtctuafliar´pnoit
d’addition ´tant not´e+) et de multiplication (l’op´ration de multiplication ´tant not´e×ou ...
rien du tout s’il n’y a pas d’ambiguıt´), tables sur lesquelles on ne reviendra pas ici. Il faut
´galementconnaıˆtrequelquesr`glesdenaturealg´brique,souventappliqu´essansypenser:
•r`gles de calcul
(A1) quelsque soient les nombresaetb, on aa+b=b+aetab=ba
(commutativit´de+et×) ;
(A2) quelsque soient les nombresa,betc, on a(a+b) +c=a+ (b+c)eta(bc) = (ab)c
(associativit´de+et×) ;
(A3) quelsque soient les nombresa,betc, on a(a+b)c=ac+bc
(distributivit´de×sur+) ;
(A4) quelque soit le nombrea, on aa+ 0 =aeta×1 =a
(´l´ments neutrespour+et×) ;
•r`gles de comparaison
(O1) quelque soit le nombrea, on aa≤a
(r´flexivit´ de≤) ;
(O2) quelsque soient les nombresaetb, sia≤betb≤aalorsa=b
(anti-sym´trie de≤) ;
(O3) quelsque soient les nombresa,betc, sia≤betb≤calorsa≤c
(transitivit´de≤) ;
(O4) quelsque soient les nombresaetb,a≤boub≤a,
•r`gles de compatibilit´
(AO) quelsque soient les nombresa,betc,
a≤bimpliquea+c≤b+c ,
(a≤bet0≤c)impliqueac≤bc .

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