Matrices et applications linéaires

Jérôme Feret

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+3
Devoir maison Matrices et applications linéaires Jérôme Feret LIENS (INRIA,ÉNS,CNRS) à rendre le 14 avril Résumé Dans ce problème, nous verrons, une fois des bases de référence fixées, que les matrices peuvent être utilisées pour représenter des vecteurs et des applications linéaires. De plus, nous observerons que la multiplication matricielle permet de calculer la représentation de l'image d'un vecteur par une application linéaire et la représentation de la composée de deux applications linéaires. En outre nous utiliserons le produit et l'inversion matricielles pour changer de bases de référence. Ensuite, nous étudierons les cas particuliers de la représentation des projections linéaires et de celle des applications linéaires nilpotentes. Il est bien sûr vivement conseillé d'utiliser les résultats que nous avons démontrés en cours (le poly faisant foi). Il n'est pas nécessaire de redémontrer ces résultats. Par contre, pour tout résultat nouveau, une preuve est demandée (et non un simple argument). En revanche, il est autorisé de sauter des questions et d'utiliser les résultats des questions sautées sans justification. Soit K un ensemble choisi dans la liste Q, R, ou C. 1 Représentation matricielle 1.1 Représentation matricielle d'un vecteur Dans cette sous-partie, nous introduisons la représentation matricielle d'un vecteur d'un espace vectoriel dont on a choisi une base de référence.

• représentation matricielle


• pp1


• base de pe


• application linéaire


• l?pbjqmbf du vecteur ?pbjq dans la base bf


• homomorphisme ? de pr2


• appelée matrice

Sujets

• Application linéaire

Informations

• Publié par: vehot
• Nombre de lectures: 56
• Langue: Français

Extrait

K Q R C
E; ; K B E; ;E E E E

B bi 1 i dimE
u E E u E

LuM M K dimE 1 K LuM mB dimE;1 B i;j 1 i dimE;j 1
dimE
u m bi;1 ik 1
1
L 1;1;1 M 1 :1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
1
Soitdedelaecompnie.os?erepdedeuxermetappliOncations?sentationlin?aires.1Enoutreqnousbaseutiliseronsmlequeproqduitsenetlal'ineuvvx?es,ersionqmatriciellesprobl?me,p:oquar1.1chveabngerde?bunaseseldever?f,?renPce.qEnsuqueite,sinous?tudierons?l:esR?sum?casExempleparticuliersLIENSdeetlavrepr?senlatationhoisidesr?f?rence.proSoitjectionsmatriciellelin?airesqetacdedecelleladesdeappobservlicationsqlin?airesDenilplioten?tes.vIlPestcteurbienOns?rrvivleemen?taseconseill?matricd'utiliserplestr?sultatspquetailnouslavaleurvleonsnotedases?moesn?tr?sronsenoncours(leDanspaolyrendrefaisanOntpfoi).FIlppn'estapplicationpaspn?cessaireedetationred?monontrerccesuner?sultats.dePD?nitionar.conptre,ppiplicationourulttoutunr?sultat-espnouveeau,ctorielunedimensionpreuvSoiteuneestasedemand?ep(eteronsnonnousunplus,simple.argumennotet).n?aires.Enprevapplicationsancdeshe,etilecteursest.autoris?desdetersautervedesdequestions.etappd'utiliserleleseprr?sultatsmatricieldesduquestionscteursaut?esdanssansbjustication.rSoitlaMatriceseunourensemutilis?esble?trecenhoisipdansmatricesladelistelemaisones,oir?,dansdetel1.quetellel'onestr?f?rence1dtationbmatriciellep1.1dRepr?senfoistationunemat,ricierevllaitenousd'un?vceecteurDansvrilcette14sousle-partie.,1.1.nousain?tro(INRIA,?NS,CNRS)duisonseretlaJ?r?merepr?senlin?airestationlamatriciellelin?airerepr?senuneqqparecteurapplicationsd'untationl'imagqpectorielrepr?sendoncalculertd'unvecteuretd'unespacevouUneDevmatriceel?eappcolonmatrice.ne.1Repr?sen1
2
1
L 1;1;1 M :1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
2
1
2
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 ;
: :4R ; ;
2;1;3;4
1;0;0;0 ; 1;1;0;0 ; 1;1;1;0 ; 1;1;1;1 :
E; ; K B EE E
E M K u E EdimE;1
LuM K E; ; M K ; ;B E E dimE;1
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F K E; ; F; ;E E F F
B BE F
JK dimF dimE JK mB ;B B ;B i;j 1 i dimF;1 j dimEE F E F
dimF
b m b :j k;j k
k 1
E; ; K B E
J K :E B;B dimE;dimE
2 3R R
:
x;y x;y;0 :
1 0
0 1JK :1;0 ; 0;1 ; 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
0 0
E; ; F; ; K BE E F F E

E; ; B F; ; b B b BE E F F F j 1 j dimE E 1 i dimF Fi
L E;F E; ; F; ;E E F F
j N 1 dimE j JKB ;BE F
L b M b Bj B j FF
??qqpouver?qase??sentationciepqqqde1.2.etesp,.1Onqqqqv?etqqde?lin?airepqqpplan?qsppc.deSoitleqlaPacpqpp:aSoientOndesqonunedeuxapplicapplicationationtationliacn?troaisous-partie,rd'uneematentrpedeles.1.2.p-espracuneeseveqctorielsentrpisomorphismeExemplerppveqcpeprdedansrqctorielsetvepqq:depponqipppctestqp.D?nitionOnpappcelledonrepr1.4.?sentationenmatricield'unelelledel'duisonsapplicveationi.nunelin?pairDanseetfonbdanselesbOnases.laasequepeteterQuestionMontrDonner,qla.matriceprep.ationpedectorielsasecteurpbeune.vepdeuntailenleestq,tcpSoimatricni.la,tationtelqleqque,ctesipl'onasenoteqpdimensionesde-espctorielpptoutavedeuxeq?qppacq-espetqqpp?qqunune?bqpqq1.2.r?f?rence.Questionde?bases1.3.hoisi?aSoitp.tonectorielsaitespaces:quiQuestionpSoientqtreqlin?aireqqbppmatricie?repr?senladeux-espaseesctorielsdimensionSoient:in1bdenouspcette(idenqtit?)application.uneSoitaseppdericiellasetationbRepr?senq.unnoteune1.2-espqac?e?veqctorieldeqdimensionpn1ieqet?Question?uneetbasedeSoit1.1.P.pAmatriciellqors,appliconliaair:entretpIdveqacMontr-espeterlequeleIqlaPrfamilquepourdePaseentierbomprisExemplet1.4e(plongemenett)du.laOn-i?mecolonneonsid?rcteureolonnel'appliceationlalin?estairre?sen-suivantematriciel:assounepleOn#danspdu:veSoientu?Pnotelaqni.dansdimensionbpdeExemple1.32,3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
3 2R R
:
x;y;z x;y ;
1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 1;0 ; 0;1
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
L E;F M K L E;FdimF;dimE
E; ; F; ; JK KE E F F B ;BE F
: :
L E;F ; ; K M K ; ;F F dimF;dimE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ;E E F F F
E; ; F; ; u EE E F F
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
E M K u EdimF;
L u M JK LuMB B ;B BF E F E
BE

3 2R R
:
x;y;z x;y :
L 1;1;1 M JK L 1;1;1 M :1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 ; 1;0 ; 0;1 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1
E; ; F; ; G; ; KE E F F G G
B E; ; B F; ; B G; ;E E E F F F G G G
L E;F E; ; F; ; L F;GE E F F
F; ; G; ;F F G G
J K JK J K :B ;B B ;B B ;BF G E F E G
L F;G L E;F M KdimE;dimG
L E;F J K JK J KB ;B B ;B B ;BF G E F E G
ationationrcdel'appliespsi#Indication.pOnquemontrqerrapqueles.fonctionairdeperpdansacMontreplideqqationpq1.5.uneqetquive?etunQuestionve#cteurpQuestionqPetvetrassodecieaser:espdeeqctive-dement.lapmatricentreunectorielsdeoupairpbqSoientdimension:Plani.matricieletlaSoientmatricx?eee?airalin?qation-espapplicbuneet?equicqveSoientni.puneunepbdesont,deuxbappliaicationsetlin?bairSoites?quicqo?ncidentunesurairlapbbaseetaseetdeq.ctive,QuestionQuestion1.10.ationOnentrcdeonsid?runee1.7.l'applicni.ationerlin?deairacedeuxpeprsuivante:qationdansIndication.#1.9.qqqmontr?fonctionset:uneverspqpqbPdevefonctioncientqctivement??leplappqueqqperctorielV?rierdansque:qMontrois.-espppesqctorielsasedimensionSoientdelin?pbchoisie.de1.8.airpppSoientpqeequnematricasepplan?cieationassoapplicqq,unequneaseppp.qetqpSoitPppq??isomorphismeqpapplicunlin?esteqepplin?ase,deuxqpplicpsestairqquisurjeo?ncidentetunePasepinon.nqapplicairlin?eeqe:ppase#?qppqqDonnerdansqpMontrqqueqdimensionctorielsdeuxes-esp-espqacqppq?sentation??leppqdeql'applicestlin?ppqPourinjePppctive,.ouqqe,:erplesquedeerpMontrq.qnon.pqqpes??Questionp1.11.quiSoientqppPctorielQuestioneetassoqre1.6.acqdans,etplesMontraseserqsiqpl'appliqqq,petvepacpqqsontqa.ationplin?Questionesppclesurebentrbqqe-esppp3qqE; ; K B BE E
E; ; J K B BE E E B;B
PB;B
: :31;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 R ; ;

B 1;0;0 ; 0;1;0 ; 0;0;1 B 1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1
1 0 1
1 1 0P :B;B
0 1 1
: :31;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1 R ; ;
1;0;0 ; 1;1;0 ; 1;1;1
1;1;0 ; 0;1;1 ; 1;0;1 :
E; ; K B BE E
E; ;E E
P PB;B B;B
E; ; F; ; K BE E F F E
B E; ; B B F; ; L E;FE E F F FE F
1JK P JK P :B ;BB ;B B ;B E F B ;BF EE F F E
E; ; K B BE E
E; ; L EE E
1
JK P JK P :B;B B;B B;B B;B
: :2 2 R ; ; x;y R
: :2 2x;x 2 y R R ; ; B 1;0 ; 0;1 B 1;0 ; 1;1
JK P P JK B;B B;B B;B B;B
B
: :2 2 R ; ; x;y R
2x;x 2 y R
1;0 1;1 B
qqacmatricetoutveqctoriqeblladedimensionnsid?rie.pSoientasel'onpetplorsquep1quedeuxMonterb-espasesppdeetpdeespmatriciellIdsqqn.unetatioentrqQuestion.pMontrcieercque?laD?nitionmatricSoiteprepr?senelest1.18.deviennende1qestasesinversibleleet.queonsisonaiestnversepestqueDonnertrematric1,monenonmatriciel.bIndication.aseOnonsutiliserlaa?lePrp?sultatledeclaetquestion.1.11f?rence..unQuestion:1.16.pSoit1pun,q-partiepsousdecetteSoientbDanscql'homomorphismeetetpdeuxr?f?rencequideouplebasesqdeassooupletqqPdeuxOnChangemene-espdeacmatriceqveppcqtorientrelpdededilamQuestionenappsion,nie.pSoientase1.31erduireteprqueqq11ladedeuxlab1asesOndeeppfamilasele,ppcqqlacq1.qSoient.oserlaetMontr1p1qpSoitdeuxPbpasesqdehomomorphisme.pqueq1.3.ppqq1:qaqq1.acSoitOnPve.ctorielpdimensionqqnie.est1uneaseqQuestionuneOnappliconationelin?laairpe.qqMontr1erbque,:?bcasepdeppP1qQuestionciepcqp1qpLq..c1d?rlesExempleases1.5.pOnqore41p,noteppqblappeqassagepetq1ppppune-espqdanspb1.14.cqq.Donner.q1.20.el??sultatsedansde1.1811.19deoncetablesestr,?sultatsd?desequestri?sentationonsle1.11assageete1.15la.1Questionl'homorphisme1.17dans.bSoitasep.q1.19.hangecid?rdel'homomorphismedebasesetqbun1deq-espquiactouteoupleve,ctorielqdeondimensionassonleie.oupleSoientnoter.etpppP1famildeuxD?bompaseslesdeouplesppSoiter15.q1.1.13.QuestionQuestionqlapase111.12.QuestionqueV?riersle1rqqobtenusMontrlesquestionsetetIndication.cOnutiliserdent.qE; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JK dimE;dimFF B ;BE F
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimFE FE
E; ; F; ; K BE E F F E
E; ; B F; ; E; ;E E F F F E E
F; ;F F

JKB ;BE F
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEE FE
dimE dimF B JKB ;B dimE;dimEF E F
0 1 0
E; ; K K
E; ; L E
E; ; K
E; ;E
2 2 2 2 R R x;y R x;0 R
: :2 R ; ;
L E u E u u
qdesurpcettedectorielstoutveestesprpracpqI.queSoitou-esppunedansapplic-espationMontrlin?.airinjeeqdeuxRepr?sendejectionspuneqdes?p.etac-espqpqSoitdanslapil3.poupleSoientune1.21.,lin?aireQuestionqq1.22..applicMontrproerlequeetlestetrleuroistprlaoplaositionsnesuiestvlin?airesaqnteOnsairsontctoriel?homomorphismequivalentesque:2.1.11.bmatricielle.ctoriel.estdsurjeairctive.;?2.oupletationassonqrepr?selaleurlin?devantedroite2.?estt/outest,inversiblesont?pdrQuestionoiteSoit;.3.matricielleelin?aireshenous?desgaucs?monetuiilcexisteonneunetationbmatriceaseversibilit?ts1estv,telaleurletsquetl'inaet?e,Probijectiv2.1.11e,devvesurjectiele,ctionduIeinjectivsoit.airePlin?qapplication..QuestionQuestion1.23.qSoientunpequ'uneerfaitidentit?leesttrectiondeen.q2.2.etfonctionpdanslienaule;?tablie?onleestsous-partie,trqouverdeuxprcetteoje-espeacositionses;venctorielsctivedeestdimensionproniet.pSoientPDansplin?aires?uneb.aseSoientde1ps.nuneoationi2tationatdesqjectionsetDansapplicpartie,des?tudieronsqqcas5proaselin?airede,pnousmatriciellestreronstationqasetrepr?sen?hoisirbbqbase,.repr?senSoitmatricielledesuneunedonappliclaationaleurlin??l?menairsurediagonaleersibilit?lin?deIpetvvIndesunel?men1.4quisondimensionpasqldansdiagonalep?galeniet2.1qjections.D?nitionSoitairqe.unMontr-esperequectoriel