Methodes L2 et resultats effectifs en geometrie algebrique
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+2
Methodes L2 et resultats effectifs en geometrie algebrique L'expose fait le point sur les resultats obtenus depuis 1990 environ, concernant l'exis- tence de sections globales des systemes lineaires adjoints. L'un des buts de la theorie est l'etude approfondie de la structure des varietes projectives. Une des principales motivations en est la conjecture enoncee en 1987 par T. Fujita : si L ? X est un fibre en droites ample, |KX + mL| est globalement engendre pour m ≥ dimX + 1 et tres ample pour m ≥ dimX + 2. L'expose presente un aperc¸u du versant analy- tique de la theorie: estimations L2 pour l'operateur ∂, metriques singulieres, ideaux multiplicateurs de Nadel. Comme application, on donne le schema de la preuve de la conjecture de l'invariance des plurigenres, recemment demontree par Y.T. Siu dans le cas des varietes de type general. Mots-cles: Variete projective, fibre en droites, tenseur de courbure, fibre positif, fibre ample, fibre nef, estimations L2 pour l'operateur ∂, faisceau d'ideaux multiplica- teurs de Nadel, theoremes d'annulation, systeme lineaire adjoint, conjecture de Fujita, variete de type general, invariance des plurigenres. Classification AMS: 14C30, 14F17, 14J60 L2 methods and effective results in algebraic geometry The article gives an exposition of several important results obtained since the begin- ning of the 90's, concerning the existence of global sections of adjoint linear systems.

  • variete projective

  • courbure semi-positive

  • caractere inevitable du fibre canonique

  • projective variety

  • fibre

  • methodes l2

  • courant

  • theorie des systemes lineaires


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Nombre de lectures 31
Langue Français

Exrait

Me´thodes
L
2
etre´sultatseffectifsenge´ome´triealge´brique
L’expose´faitlepointsurlesre´sultatsobtenusdepuis1990environ,concernantl’exis-
tencedesectionsglobalesdessyste`mesline´airesadjoints.L’undesbutsdelathe´orie
estl’e´tudeapprofondiedelastructuredesvarie´te´sprojectives.Unedesprincipales
motivationsenestlaconjecturee´nonce´een1987parT.Fujita:si
L

X
estun
fibre´endroitesample,
|
K
X
+
mL
|
estglobalementengendre´pour
m

dim
X
+1
ettre`samplepour
m

dim
X
+2.L’expose´pre´senteunaperc¸uduversantanaly-
tiquedelathe´orie:estimations
L
2
pourl’ope´rateur

,me´triquessingulie`res,ide´aux
multiplicateursdeNadel.Commeapplication,ondonnelesche´madelapreuvedela
conjecturedel’invariancedesplurigenres,re´cemmentde´montre´eparY.T.Siudansle
casdesvarie´te´sdetypege´ne´ral.

Mots-cle´s:
Varie´te´projective,fibre´endroites,tenseurdecourbure,fibre´positif,
fibre´ample,fibre´nef,estimations
L
2
pourl’ope´rateur

,faisceaud’ide´auxmultiplica-
teursdeNadel,the´ore`mesd’annulation,syste`meline´aireadjoint,conjecturedeFujita,
varie´te´detypege´ne´ral,invariancedesplurigenres.

ClassificationAMS:
14C30,14F17,14J60

L
2
methodsandeffectiveresultsinalgebraicgeometry
Thearticlegivesanexpositionofseveralimportantresultsobtainedsincethebegin-
ningofthe90’s,concerningtheexistenceofglobalsectionsofadjointlinearsystems.
Themaingoalisadeepenedinvestigationofthestructureofprojectivevarieties.A
strongmotivationofthisstudyhasbeentheconjectureassertedbyT.Fujitain1987:
if
L

X
isanamplelinebundle,
|
K
X
+
mL
|
isbasepointfreefor
m

dim
X
+1
andveryamplefor
m

dim
X
+2.Thepresentationiscenteredaroundtheanalytic
aspectsofthetheory:
L
2
estimatesfor

operators,singularhermitianmetrics,Nadel
multiplieridealsheaves.Asanapplication,wegiveanoverviewoftheproofofthe
conjectureofinvarianceofplurigenerainthecaseofvarietiesofgeneraltype,asit
hasbeenrecentlyannouncedbyY.T.Siu.

Key-words:
Projectivevariety,linebundle,curvaturetensor,positivevectorbundle,
amplelinebundle,neflinebundle,
L
2
estimatesforthe

operator,Nadelmultiplier
idealsheaf,vanishingtheorems,adjointlinearsystem,Fujitaconjecture,varietyof
generaltype,invarianceofplurigenera.

ClassificationAMS:
14C30,14F17,14J60

852-02

Se´minaireBOURBAKI
51e`meanne´e,1998-99,n
o
852

Novembre1998

ME´THODES
L
2
ETRE´SULTATSEFFECTIFS
ENGE´OME´TRIEALGE´BRIQUE
par
Jean–PierreDEMAILLY

1.INTRODUCTION

Lathe´oriedessyste`mesline´airesadjointsapourbutd’e´tudierlesespacesde
sections
H
0
(
X,K
X
+
mL
)associe´sa`unfibre´endroites
L
ample–oudumoins
suffisammentpositif–surunevarie´te´alge´briqueprojective
X
dedimension
n
.La
motivationprincipaleestlaconstructiondeplongementsd’une“varie´te´alge´brique
polarise´e”(
X,L
)donne´edansunespaceprojectifcomplexe
P
C
N
,avecdesbornes
effectivesexplicitespourlesdegre´s.Aleurtour,detelsplongementspeuventeˆtre
utilise´spourde´montrerdesth´eore`mesdefinitudeoupouressayerdeclassifierles
structuresalge´briquessurunevarie´te´detypetopologiquedonne´.
Onsupposeratoutaulongdecetexpose´que
X
estlisse,de´finiesur
C
,eton
notera
K
X

n
T
X⋆
,
n
=dim
X
,le
fibre´endroitescanonique
de
X
.Onutilisera
lanotationadditiveusuellepourlegroupedePicard:
K
X
+
mL
estdoncsynonyme
de
K
X

L

m
.L’unedesquestionslesplusmotivantespourlathe´oriedessyste`mes
line´airesadjointsasansdoutee´te´laconjecturesuivante,duea`T.Fujita[Fuj87,88].
Conjecture(Fujita).
Si
L
estunfibre´endroitesamplesurunevarie´te´projective
X
dedimension
n
,alors
(i)
K
X
+
mL
estengendre´parsessectionspour
m

n
+1
.
(ii)
K
X
+
mL
esttre`samplepour
m

n
+2
.
A`cejour,lapartie(ii)delaconjecturedeFujitasembleencorehorsdeporte´e
hormislecasbiencomprisdesdimensions1et2(cf.I.Reider[Rei87]),maisla
partie(i)afaitl’objetdenombreuxtravauxquiontconduita`unere´ponsepositive
jusqu’endimension5(Ein-Lazarsfeld[EL93]endimension3,Y.Kawamata[Kaw97a]
endimension4,S.Helmke[Hel98]endimension5).

852-02

Ilfautobserverquecetypedere´sultat,fournissantuneborneuniversellene
de´pendantquedeladimension
n
pourl’entier
m
,sesauraiteˆtrevraipourlessyste`mes
line´aires
H
0
(
X,mL
).Eneffet,si
X
estunecourbedegenre
g
,ilestbienconnuque
H
0
(
X,mL
)n’apasdesectionssi
m<g
,pour
L
ge´ne´riquededegre´1.Parailleurs,
lesbornesdelaconjecturedeFujitasontde´ja`optimalesdanslecasou`
X
=
P
C
n
,
L
=
O
(1),puisqu’onaalors
K
X
=
O
(

n

1).
Lecaracte`reine´vitabledufibre´canoniques’expliqueparsoninterventiondans
lesthe´ore`mesd’annulationfondamentauxtelsquelethe´ore`medeKodaira-Nakano,
lethe´ore`medeKawamata-Viehwegoulethe´ore`medeNadel(voir
§
2).L’approche
pre´sente´eicis’appuirasurunee´tudeapprofondiedesme´triquessingulie`resetdes
ide´auxmultiplicateursdeNadel,quimesurentdefac¸onpre´cisel’influencedesensem-
bles-basedessyte`mesline´airesconside´r´es.Lecadredetravailestlathe´oriedeHodge
L
2
,etlesoutilsanalytiquessous-jacentssontlesthe´ore`mesd’existence
L
2
pour
lessolutionsdel’ope´rateur

.Unedesapplicationsmarquantesdecestechniques
estlade´monstrationduthe´ore`medel’invariancedesplurigenresparde´formation,
re´cemmentobtenuparY.T.Siu[Siu97]danslecasdesvarie´te´sdetypege´ne´ral.Le
lecteurpourraconsulterY.Kawamata[Kaw97b,Kaw98]pourdiversesge´ne´ralisations
dansuncontexteplusalge´brique,incluantnotammentlecasdesde´formationsde
varie´te´sayantdessingularite´scanoniques.
The´ore`me(Siu).
Soit
X

S
unefamilleprojectivelissedevarie´te´sdetypege´ne´ral
au-dessusd’unebase
S
irre´ductible.Alorslesplurigenres
p
m
(
X
t
)=
h
0
(
X
t
,mK
X
t
)
desfibressontinde´pendantsde
t
pourtout
m

0
.
L’assertionplusge´ne´raleou`lesfibres
X
t
seraientdedimensiondeKodairaquel-
conqueestencoreconjecturale(etne´cessitevraisemblablementdestechniquesde
the´oriedeHodgebeaucouppluse´labore´es).Nousallonsmaintenantdonnerunaperc¸u
desme´thodesutilise´esetdelapreuvedesprincipauxre´sultats–enessayantdenous
adresseraulecteurnonne´cessairementspe´cialistedelage´ome´triealge´brique.

2.ME´TRIQUESSINGULIE`RESETTHE´ORE`MESD’ANNULATION

2.1.Me´triqueshermitiennessingulie`res
Soit(
L,h
)unfibre´holomorpheendroiteshermitiensurunevarie´te´complexe
X
.
Onnesupposepasaprioriquelame´trique
h
soitdeclasse
C

,maisonposetoute-
foisuneconditionrestrictivedemanie`rea`pouvoircalculerlacourbureausensdes
courants(cf.[Dem90,DPS94]).

852-03

2.1.1.De´finition.
Uneme´trique
(
hermitienne
)
singulie`resurunfibre´endroites
L
estuneme´triquedonne´edanstoutetrivialisation
τ
:
L
|
U



U
×
C
par

k
ξ
k
=
|
τ
(
ξ
)
|
e

ϕ
(
x
)
,x

U,ξ

L
x
ou`
ϕ

L
l1oc
(
U
)
estunefonctionarbitrairelocalementinte´grable
(
pourlamesurede
Lebesguedansdescoordonne´eslocales
)
,appele´epoidsdelame´triqueparrapporta`la
trivialisation
τ
.
Si
τ

:
L
|
U


U

×
C
estuneautretrivialisation,
ϕ

lepoidsassocie´sur
U

et
g

O

(
U

U

)lafonctiondetransition,alors
τ

(
ξ
)=
g
(
x
)
τ
(
ξ
)pourtout
ξ

L
x
,
donc
ϕ

=
ϕ
+log
|
g
|
sur
U

U

.Unede´finitionpossibledela
formedecourbure
de
L
consistea`poser
i(2
.
1
.
2)Θ
h
(
L
)=
∂∂ϕ
πsur
U
.C’estune2-formere´elle
d
-ferme´edetype(1
,
1).Laformule
ϕ

=
ϕ
+log
|
g
|
montrepre´cise´mentque
i∂∂ϕ
estinvariantparchangementdetrivialisation,etpar
conse´quentΘ
h
(
L
)estun
courant
detype(1
,
1)globalementde´finisur
X
(rappelons
que,d’apre`sG.DeRham[Rh55],uncourantestsimplementuneformediffe´rentielle
a`coefficientsdistributions);l’hypothe`se
ϕ

L
l1oc
(
U
)garantiteneffetqueΘ(
L
)existe
ausensdesdistributions.Unchangementdeme´trique
h
7→
h

s’obtientpar
h

=
he

ψ
avec
ψ

L
l1oc
(
X
),desorteque
i(2
.
1
.
3)Θ
h

(
L
)=Θ
h
(
L
)+
π∂∂ψ
appartienta`lameˆmeclassedecohomologiedeDeRhamqueΘ
h
(
L
)dans
H
2
DR
(
X,
R
).
Deplus,onsait(cf.parexemple[GH78])quelapremie`reclassedeChern
c
1
(
L
)est
de´finieencohomologiedeDeRhampre´cise´mentparlecourantΘ
h
(
L
).Rappelons
qu’uncourantre´el
T
=
i
1

j,k

n
T
jk
dz
j

dz
k
detype(1
,
1)estdit(
semi-
)
positif
si
P1

j,k

n
λ
j
λ
k
T
jk
estunemesurepositivepourtoutsyste`medecoefficientscom-
Pplexes
λ
=(
λ
j
)

C
n
.Unefonction
ϕ

L
l1oc
estdite
plurisousharmonique
si
i∂∂ϕ
=
i∂
2
ϕ/∂z
j
∂z
k
dz
j

dz
k

0.Onintroduitlade´finitionsuivante.
P2.1.4.De´finition.
Lefibre´hermitiensingulier
(
L,h
)
estdita`courburesemi-positive
(
resp.de´finiepositive
)
sile
(1
,
1)
-courantdecourbure
Θ
h
(
L
)
estsemi-positif,resp.si
Θ
h
(
L
)
estde´finipositif,i.e.ilexisteune
(1
,
1)
-forme
ω
=
i
1

j,k

n
ω
jk
(
z
)
dz
j

dz
k
Pdeclasse
C

,de´finiepositive,et
ε>
0
telsque
Θ
h
(
L
)

εω
.

852-04

Avantd’allerplusloin,nousdiscutonsdeuxexemplesfondamentaux.
2.1.5.Exemple.
Soit
D
=
α
j
D
j
undiviseura`coefficients
α
j

Z
etsoit
L
=
O
(
D
)
Plefaisceauinversibleassocie´,de´finicommelefaisceaudesfonctionsme´romorphes
u
tellesquediv(
u
)+
D

0;lefibre´endroitescorrespondantpeutalorseˆtremunide
lame´triquesingulie`rede´finiepar
k
u
k
=
|
u
|
(moduledelafonctionme´romorphe
u
).
αjSi
g
j
estunge´ne´rateurdel’ide´alde
D
j
surunouvert
U

X
,alors
τ
(
u
)=
ug
j
Qde´finitunetrivialisationde
O
(
D
)sur
U
,doncnotreme´triquesingulie`reestassocie´e
aupoids
ϕ
=
α
j
log
|
g
j
|
.L’e´quationdeLelong-Poincare´([Lel57,69])implique
PiΘ
O
(
D
)=
π∂∂ϕ
=[
D
]
,
ou`[
D
]=
α
j
[
D
j
]de´signelecourantd’int´egrationsur
D
.Lacourbureestsemi-
Ppositiveausensdescourantssietseulementsilediviseur
D
esteffectif(i.e.a`coeffi-
cients
α
j

0).
2.1.6.Exemple.
Supposonsque
σ
1
,...,σ
N
soientdessectionsholomorphesnon
nullesde
L
.Onpeutalorsde´finiruneme´triquehermitiennenaturelle
h
(e´ventuelle-
mentsingulie`re)sur
L

,enposant
Xxk
ξ

k
2
=

ξ


j
(
x
)

2
pour
ξ


E

.
n≤j≤1Lame´triquedualede
L
estdonne´epar
2
|
τ
(
ξ
)
|
2
k
ξ
k
=
|
τ
(
σ
1
(
x
))
|
2
+

+
|
τ
(
σ
N
(
x
))
|
2
parrapporta`toutetrivialisationlocale
τ
.Lafonctionpoidsassocie´eestdoncdonne´e
par
ϕ
(
x
)=log
1

j

N
|
τ
(
σ
j
(
x
))
|
21
/
2
.Notons
PΣ=
|
σ
1
,...,σ
N
|
:=Vect(
σ
1
,...,σ
N
)
lesyste`meline´airede´finipar
σ
1
,...,σ
N
et
B
Σ
=
σ
j

1
(0)sonensemblebase.On
Tauneapplicationme´romorphe
Φ
Σ
:
X
r
B
Σ

P


)

P
N

1
,x
7→
Φ
Σ
(
x
)

[
σ
1
(
x
):
σ
2
(
x
):

:
σ
N
(
x
)]
,
quia`
x
associel’hyperplan
Φ
Σ
(
x
)=
σ
=
ξ
j
σ
j
;
σ
(
x
)=
ξ
j
σ
j
(
x
)=0

Σ
.
XX

852-05

Aveccesnotations,lacourbureΘ
h
(
L
)restreintea`
X
r
B
Σ
s’identifiea`l’image-inverse
parΦ
Σ
delame´triquedeFubini-Study
ω
FS
=
i
∂∂
log(
|
z
1
|
2
+

+
|
z
N
|
2
)sur
P
N

1
.
π2LecourantΘ
h
(
L
),quiestdebidimension(
n

1
,n

1),nepeutporterdemasse
sur
B
Σ
lorsque
B
Σ
estdecodimension

2,maisilpeutseproduireque
B
Σ
aitune
composantedivisoriellee´galeaupgcd
D
desdiviseurs
σ
j
=0.Danscecas,onve´rifie
aise´mentqueΘ
h
(
L
)este´galaucourantd’inte´gration[
D
]enrestrictiona`
B
Σ
.Dans
touslescas,Θ
h
(
L
)estuncourantpositifferme´.

2.2.Identite´deBochner-Kodaira-Nakano
Danscettesection,onde´signepar(
L,h
)unfibre´holomorphehermitienau-dessus
d’unevarie´te´complexe
X
,telquelame´trique
h
soitdeclasse
C

.Rappelonstout
d’abordlelemmeclassiquesuivant(voirparexemple[GH78]).
2.2.1.Lemme.
Ilexisteuneuniqueconnexion
D
=

+

sur
L
,diteconnexionde
Chern,ayantlesproprie´te´ssuivantes:
(i)
D
ope`resurlessections
C

desfibre´s
Λ

,

T
X⋆

L
,lacomposante

(
resp.

)
en-
voyantlesformesdetype
(
p,q
)
danslesformesdetype
(
p
+1
,q
)
,
(
respectivement
(
p,q
+1))
.
(ii)
D
satisfaitlare`gledeLeibnitz,a`savoir
D
(
f

u
)=
df
∧∇
u
+(

1)
deg
f
f
∧∇
u
,
si
f
estuneformea`valeursscalaireset
u
uneformea`valeursdans
L
.
(iii)
D
est“holomorphe”,i.e.

=

.
(iv)
D
esthermitienne,i.e.lame´trique
h
estunesectionparalle`ledufibre´desma-
triceshermitiennes
Herm(
E
)

E


E

.
Si
L
|
U

U
×
C
estlocalementtrivialise´etsilame´trique
h
donne´eparunpoids
e

ϕ
,onve´rifiefacilementque
(2
.
2
.
2)

u
=
∂u

2
∂ϕ

u,

u
=
∂u,D
2
u
=(
∇∇
+
∇∇
)
u
=2
∂∂ϕ

u,
ensorteque
2

D
2
u

h
(
L
)

u
.Onsupposemaintenantque
X
estmunied’une
me´triquehermitienne
ω
=
i
1

j,k

n
ω
jk
(
z
)
dz
j

dz
k
de´finiepositive.Unetelle
Pme´triquepermetdede´finirdesnormes
L
2
etdesespacesdesections
L
2
globales
L
2
(
X,
Λ
p,q
T
X⋆

L
)enposant
Zk
u
k
2
=
k
u
k
2
ω,h
=
|
u
|
2
ω
e

2
ϕ
dV
ω
,
X1ou`
dV
ω
=
n
!
w
n
estl’e´le´mentdevolumeka¨hle´rien,
|
u
|
ω
lanormeponctuelleinduite
par
ω
surΛ
p,q
T
X⋆
et
e

ϕ
lepoidsdelame´trique
h
sur
L
(ilyaquelqueabusdans

852-06

cettenotation,carlepoids
ϕ
n’estpasglobal,maisonutiliseratoutdemeˆmecette
notationparsoucidesimplicite´).Lanorme
L
2
permetdede´finirdesadjointsformels
⋆∇

et

,detypesrespectifs(

1
,
0)et(0
,

1),etonconside`relesope´rateursde
Laplace-Beltramiassocie´s
⋆⋆Δ=
DD

+
D

D,
=
∇∇

+



,
=
∇∇
+
∇∇
.

Onaalorsl’identite´fondamentalesuivante.
2.2.3.Identite´deBochner-Kodaira-Nakano.
Si
ω
estka¨hle´rienne,leslaplaciens
Δ
,,ve´rifient
Δ=+
et

=+[Θ
h
(
L
)
,
Λ]

ou`
Λ
estl’adjointdel’ope´rateur
s
7→
ω

s
,
Θ
h
(
L
)
l’ope´rateurdemultiplicationpar
letenseurdecourburede
(
L,h
)
et
[

,

]
lecrochetdecommutation.
Enchaquepoint
x

X
,onpeutchoisirunsyste`medecoordonne´es(
z
1
,...,z
n
)
quidiagonalisesimultane´mentlesformeshermitiennes
ω
(
x
)etΘ
h
(
L
)(
x
),detelle
manie`reque
ω
(
x
)=
idz
j

dz
j
,
Θ
h
(
L
)(
x
)=

j
dz
j

dz
j
XX1

j

n
1

j

n

avec
γ
1
≤≤
γ
n
.Lesvaleurspropresdecourbure
γ
j
=
γ
j
(
x
)sontalorsde´finiesde
manie`reuniqueetcontinuesen
x
.Pourtoute(
p,q
)-forme
u
=
u
JK
dz
J

dz
K

s
P(avec
s
sectionholomorphetrivialisantede
L
,
|
s
|
h
=
e

ϕ
),uncalculexplicitedonne
h
[
i
Θ
h
(
L
)
,
Λ]
u,u
i
=
γ
j
+
γ
j

γ
j
|
u
JK
|
2
e

2
ϕ
XXXX
|
J
|
=
p,
|
K
|
=
qj

Jj

K
1

j

n
(2
.
2
.
4)

(
γ
1
+

+
γ
q

γ
n

p
+1
−−
γ
n
)
|
u
|
2
e

2
ϕ
.
⋆Comme
hh
u,u
ii
=
k∇
u
k
2
+
k∇
u
k
2
,onde´duitde(2.2.3)et(2.2.4)l’ine´galite´fon-
damentale
Z(2
.
2
.
5)
k∇
u
k
2
+
k∇

u
k
2

(
γ
1
+

+
γ
q

γ
n

p
+1
−−
γ
n
)
|
u
|
2
e

ϕ
dV
ω
.
XSupposonsqueΘ
h
(
L
)soitpositive.Danscecas,ilestnatureldemunir
X
dela
me´triqueka¨hle´rienneparticulie`re
ω

h
(
L
).Alors
γ
j
=1pour
j
=1
,
2
,...,n
et
⋆onobtientl’e´galite´
k∇
u
k
2
+
k∇
u
k
2
=(
p
+
q

n
)
k
u
k
2
.Ceciimpliqueenparticulier

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