Modèle d Ising Magnétisme et Algorithme de Monte Carlo Master Physique
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Description

Niveau: Supérieur, Master
Modèle d'Ising : Magnétisme et Algorithme de Monte-Carlo Master 1 Physique 2 février 2005 1 Introduction Dans ce projet nous allons étudier les phénomènes de magnétisme en utilisant le modèle d'Ising. Nous étudierons pour cela un réseau bidimensionnel infini de spins. L'énergie d'interaction (couplage) entre spins dans un matériau peut (interaction entre deux moments dipolaires) : E = ??µ1.??µ2 r3 ? 3 (??µ1.??r ) . (??µ2.??r ) r5 où ??µ1 et ??µ2 sont les deux moments considérés, et ??r le vecteur liant les origines de ces moments. En supposant pour simplifier que (1) les spins sont verticaux et (2) en négligeant les interactions au-delà des premiers voisins, on écrira plus simplement (et plus généralement, J pouvant être négatif) l'énergie d'interaction sous la forme 1 : E = ?JSiSj où J est la constante de couplage et Si et Sj sont les projections des spins selon l'axe vertical. Le but de ce modèle sera d'étudier le comportement d'un tel système en fonction de la température et des différents paramètres (valeur du couplage J, présence d'un champ magnétique). 2 Modélisation du réseau de Spins : MatriceSpin 2.1 Principe Afin de modéliser un réseau de spins nous pouvons utiliser une matrice dont les éléments M(i,j) seront les valeurs de spins +1 ou -1.

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Publié le 01 février 2005
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Langue Français

Extrait

Modèle d’Ising : Magnétisme et Algorithme de MonteCarlo Master 1 Physique
Vincent.FavreNicolin@ujfgrenoble.fr
2 février 2005
1 Introduction Dans ce projet nous allons étudier les phénomènes de magnétisme en utilisant le modèle d’Ising. Nous étudierons pour cela un réseau bidimensionnel infini de spins. L’énergie d’interaction (couplage) entre spins dans un matériau peut (interaction entre deux moments dipolaires) : µ12(µ1. r).(µ2. r) E=3 3 5 r r −→ −→−→ µ1etµ2sont les deux moments considérés, etrle vecteur liant les origines de ces moments. En supposant pour simplifier que (1) les spins sont verticaux et (2) en négligeant les interactions audelà des premiers voisins, on écrira plus simplement (et plus généralement, J pouvant être négatif) l’énergie 1 d’interaction sous la forme: E=J SiSj Jest la constante de couplage etSietSjsont les projections des spins selon l’axe vertical. Le but de ce modèle sera d’étudier le comportement d’un tel système en fonction de la température et des différents paramètres (valeur du couplage J, présence d’un champ magnétique).
2 Modélisationdu réseau de Spins : MatriceSpin 2.1 Principe Afin de modéliser un réseau de spins nous pouvons utiliser une matrice dont les éléments M(i,j) seront les valeurs de spins +1 ou 1. Au lieu de considérer un ’vrai’ réseau infini, nous allons travailler sur un réseau périodique carré NxN, tel queS(i, , j) =S(i+n1N, j+n2N). Pour modéliser cela on crée une classe MatriceSpin qui comprend un tableau carré (le tableau des spins, égaux à 1 ou 1), et ajouter à cette fonction un opérateur qui permet d’accéder à un spin [i,j] quelconque, même en dehors de l’intervalle [0 :N1 , 0 :N1].
2.2 Implémentation Voici une partie du code permettant de commencer :
from ROOT import gROOT, TCanvas, TH2C, TGraph # pour les affichages graphiques import Numeric # pour stocker la matrice de Spins import RandomArray # pour la génération de nombres pseudoaléatoires 1 En fait l’interaction est plus compliquée et il peut exister une compétition entre l’interaction d’échangeet l’interaction dipolaire, mais nous n’entrerons pas dans le détail.
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