Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice

Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 08-09 semaine 6 ————————————————————————————————————————— 1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M = ( 2 1 3 2 ) ? M2,2(R) . Preciser une expression de M?1, puis de M comme produit de matrices elementaires. 2) Appliquer l'algorithme du cours avec precision pour resoudre le systeme a coefficients reels : (E) ? ?? ?? x1 + x2 + x3 ? x4 ? 2x5 = 0 E1 x1 ? x2 + x3 ? x4 = 0 E2 3x1 + x2 + 3x3 ? 3x4 ? 4x5 = 0 E3 . Donner une base de l'espace vectoriel des solutions de ce systeme. ————————————————————————————————————————— 1) Mise en place : M = ( 2 1 3 2 ) I2 = ( 1 0 0 1 ) I2M = M Les deux lignes de M sont d'ordre 1. Donc, M est ordonnee. M1 = T2,1(?3/2) M = ( 2 1 0 1/2 ) B1 = T2,1(?3/2) I2 = ( 1 0 ?3/2 1 ) B1M = M1 La matrice M1 est triangulaire (on dit aussi echelonnee). La premiere phase de l'algorithme est terminee.

• produit de matrices elementaires


• premiere algorithme


• base de l'espace vectoriel des solutions


• x3 ?


• algorithme de triangulation


• variable de tete


• x1

Informations

• Publié par: profil-ontoe-2012
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• Langue: Français

Extrait

NometPr ´ enom:L1MPAlg ` ebre08-09semaine6 ————————————————————————————————————————— 1)Appliqueravecpre´cisionl’algorithmeducourspourinverserlamatrice:  ! 2 1 M=∈M 2,2 (R). 3 2

−1 Pre´ciseruneexpressiondeM, puis deMorudmmpeoc´el´icesmatritde.seriatneme

2)Appliquerl’algorithmeducoursavecpre´cisionpourre´soudrelesyst`eme´acoefficientsr´eels:   x+x+x  1 2 3 −x 4 −2x 5 = 0E 1 (E) x 1 −x 2 +x 3 −x 4 = 0E 2   3x 1 +x 2 + 3x 3 −3x 4 −4x 5 = 0E 3 . Donnerunebasedel’espacevectorieldessolutionsdecesyst`eme.

————————————————————————————————————————— 1) Mise en place :  ! ! 2 11 0 M=I 2 =I 2 M=M 3 20 1 Les deux lignes deMsont d’ordre 1.Donc,M.ee´nnodorste  ! ! 2 11 0 M 1 =T 2,1 (−3/2)M=B 1 =T 2,1 (−3/2)I 2 =B 1 M=M 1 0 1/2−3/2 1 La matriceM 1 sahpere´imerpaL.ehmitorlg’aeledtiuao(dniaergnlu´ee)lonnechessi´tseairt esttermine´e.Les´el´ementsdeladiagonaledeMte´ntnaeunpontcnuon,olsueequrclMest inversible.  ! ! 1 1 1/ 2 1 1/2 0 M 2 =D 2 (2)D 1 ( )M 1 =B 2 =D 2 (2)D 1 ( )B 1 =B 2 M=M 2 2 01 2−3 2

 ! ! 1 02−1 M 3 =T 1,2 (−1/2)M 2 =B 3 =T 1,2 (−1/2)B 2 =B 3 M=M 3 0 1−3 2 On obtient donc :  ! −1 2−1 M=B 3 =. −3 2 Soit en remontant les calculs : 1 −1 M=T 1,2 (−1/2)D 2 (2)D 1 ( )T 2,1 (−3/2). 2 On sait que l’inverse deT i,j (λ) estT i,j (−λ) et que poura6= 0, l’inverse deD i (a) estD i (1/a). On −1−1−1 rappelle que siAetBtricuxmantdesoatliseedrre´seaclen(inversibles :M N) =N M. On obtient alors : 1 −1−1−1 M= (M) =(T 1,2 (−1/2)D 2 (2)D 1 ( )T 2,1 (−3/2)) =T 2,1 (3/2)D 1 (2)D 2 (1/2)T 1,2 (1/2). 2

2) L’ordre des variablesx 1 , x 2 , x 3 , x 4 (detauqsnoiortse´siturel.Le’ordrenaseltE) sont d’ordre 1.Lesyst`emeestdoncordonne´.De´marronsl’algorithmedetriangulation. ´ Etape 1(: UtilisonsE 1 useme`tsyseL.settanivmonterl’ordredese´uqtaoisnusvinap)fruoeria a`mˆemessolutionsque(E) :   −2x= 0(E)  x 1 +x 2 +x 3 −x 4 51 0 0 2x= 0(E=−E) (E) −2x 2 + 5 2 E 2 1   0 −2x 2 + 2x 5 = 0(E=E 3 −3E 1 ). 3 0 0 Les´equationsE 1 , E, Esont respectivement d’ordre 1,2,drot´nnoe`tyseem2es.Ce. 2 3 ´ Etape 2eme´ixe`dauenolsilis:Utlederdro’lretnomreairfounpioatqust`emetaorsi`ime.eeLys suivant`ameˆmessolutionsque(E) :    x 1 +x 2 +x 3 −x 4 −2x 5 (= 0E 1 ) 00 0 ) (E) −2x 2 + 2x 5 = 0(E 2 =E 2 −2E 1   0 0 0 = 0(E−E). 3 2 ”Nettoyons”lesyst`emeobtenuenenlevantl’e´quation0=0.Onobtientunsyste`meayantles meˆmessolutionsque(E) : ( x+x+x−x−2x(= 0E) 000 1 2 3 45 1 (E) 0 −2x 2 + 2x 5 = 0(E=E 2 −2E 1 ). 2 Les´equationsdecesyste`mesontd’ordrerespectivement1,seC.2eeme`tsyngiatrste.L´eul premie`realgorithmeesttermine´. 000 R´esoudre(E(e´lungiatrme`estsyleduere´os`cradtnovien)reEravaL.)ˆetede(iabledetE 1 ) 0 000 estx 1 alavirba,deleettˆE) e de ( 2 estx 2 , Les variables libres de (E) sont doncx 3 , x 4 etx 5 . Re´solvonscesyst`emetriangul´eensuivantlame´thodeducours.Ladernie`ree´quationdonne: x 2 =x 5 . Remplac¸onscettevaleurdex 2 entec´edpr´etiontn:tbeio,onauqe´’lsnad x 1 +x 3 −x 4 −x 5 = 0. Nous obtenons : x 1 =−x 3 +x 4 +x 5 . Nousavonsainsiexprime´x 1 etx 2 esbm’lneel`dedia’labairavsereibsllei,nsAis.Fdes solutions de (E) est : F={(−x 3 +x 4 +x 5 , x 5 , x 3 , x 4 , x 5 ) telsquex 3 , x 4 , x 5 ∈R}. Soit :F={x 3 (−1,0,1,0,0) +x 4 (1,0,0,1,0) +x 5 (1,1,0,0,1) telsquex 3 , x 4 ,etx 5 ∈R}. Ainsi,Fiortsedsruetcevssel’stbmelneesmoibedcsonslnaisairein´ee 1 = (−1,0,1,0,0), 5 5 e 2 = (1,0,0,1,0) ete 3 = (1,1,0,0,1) deR. C’estdonc un sous-espace vectoriel deR. Ces 2

trois vecteurse 1 , e 2 , e 3 ussiledsgla’emt`ysns’undioutlose´redemhtitroeseairil´noisnuqtadee´ homoge`nessontlibres(voircours).Donc,(e 1 , e 2 , e 3 ) est une base deF. V´erifionsatitred’entrainementquelafamillee 1 = (−1,0,1,0,0),e 2 = (1,0,0,1,0) ete 3 = (1,1,0,0,S.erttiosioree´rlses1)ibtla, b, ctels queae 1 +be 2 +ce 3 Comme := 0. ae 1 +be 2 +ce 3 =a(−1,0,1,0,0) +b(1,0,0,1,0) +c(1,1,0,0,1) = (−a+b+c, c, a, b, c), on aurait (−a+b+c, c, a, b, c) = (0,0,0,0,teulesr´icrtpaennelI.)0uliera=b=cAinsi,= 0. la famille (e 1 , e 2 , e 3 ) est libre.

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