Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine Exercice Preciser les matrices elementaires de M3 R
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Description

Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 5 ————————————————————————————————————————— Exercice 1 1) Preciser les matrices elementaires de M3,3(R) : D2(?2) , T3,2(3) , T2,1(?2) . 2) Calculer la matrice A = T3,2(3)D2(?2)T2,1(?2). 3) Donner A?1 sous forme de produit de matrices elementaires. Puis, calculer A?1. Exercice 2 1) Appliquer avec precision l'algorithme du cours pour inverser la matrice : M = ( 1 ?1 2 ?3 ) ?M2,2(R) . 2 ) Donner une expression de M?1, puis de M comme produit de matrices elementaires. ————————————————————————————————————————— 1.1) D2(?2) = D2(?2)I3 = D2(?2) ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? = ? ? ? 1 0 0 0 ?2 0 0 0 1 ? ? ? . T3,2(3) = T3,2(3)I3 = T3,2(3) ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? ? ? = ? ? ? 1 0 0 0 1 0 0 3 1 ? ? ? .

  • expression de m?1

  • produit de matrices elementaires

  • appliquer avec precision

  • premiere phase de l'algorithme

  • inverse de di


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NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine5 ————————————————————————————————————————— Exercice 1 1)Pr´eciserlesmatrices´ele´mentairesdeM3,3(R) : D2(2), T3,2(3), T2,1(2). 2) Calculer la matriceA=T3,2(3)D2(2)T2,1(2). 11 3) DonnerAisPual,clecurmedesforsouecirtamedtiudorps.reaintme´eels´A. Exercice 2 1)Appliqueravecpr´ecisionlalgorithmeducourspourinverserlamatrice:  ! 11 M=M2,2(R). 23 1 2 ) Donner une expression deM, puis deMuiodemtdomcprmeaires.lee´emtntairec´s
————————————————————————————————————————— 1.1)    1 0 01 0 0    D2(2) =D2(2)I3=D2(2)0 1 0=02 0. 0 0 10 0 1    1 0 01 0 0    T3,2(3) =T3,2(3)I3=T3,2(3)0 1 0=0 1 0. 0 0 10 3 1    1 0 01 00    T2,1(2) =T2,1(2)I3=T2,1(2)0 1 0=2 1 0. 0 0 10 01 1.2)   1 00   A=T3,2(3)D2(2)T2,1(2) =T3,2(3)D2(2)2 1 0. 0 01   1 0 0   A=T3,2(3)42 0. 0 0 1   1 00   A=42 0. 126 1
1.3)
11 A= (T3,2(3)D2(2)T2,1(2) ) 111 =T2,1(2)D2(2)T3,2(3) =T2,1(2)D2((1/2))T3,2(3)   1 0 0   =T2,1(2)D2((1/2))T3,2(3)0 1 00 0 1   1 0 0   =T2,1(2)D2((1/2))0 1 003 1   1 0 0   =T2,1(2)0(1/2) 003 1   1 0 0   =2(1/2) 0. 03 1 2.1) Les deux lignes deMDonc,sont d’ordre 1.Mrdonn´ee.seot  ! ! 101 1 M1=T2,1(2)M=B1=T2,1(2)I2=B1M=M1 012 1 La matriceM1ttsenairalugno´nhcleaLrpee.)ondiire(si´etaushtiroglaemeperi´emldeseha esttermin´ee.Lese´l´ementsdeladiagonaledeMuqenccoreluons,utpeontnlunnate´Mest inversible.  ! ! 101 1 M2=D2(1)M1=B2=D2(1)B1=B2M=M2 0 121  ! ! 1 031 M3=T1,2(1)M2= =I2B3=T1,2(1)B2=B3M=M3 0 121 On obtient donc : ! 31 1 M=B3=. 21 2.2) Soit en remontant les calculs : 1 M=T1,2(1)D2(1)T2,1(2).
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On sait que l’inverse deTi,j(λ) estTi,j(λ) et que poura6= 0, l’inverse deDi(a) estDi(1/a). 1 On rappelle que siA,BetCiltadeeslecirtamsie´rracsettrosonninversibles :(ABC) = 111 C B Aobtient alors :. On 111 M= (M) =(T1,2(1)D2(1)T2,1(2)) =T2,1(2)D2(1)T1,2(1).
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