Nom et Prenom L1 MP Algebre semaine On considere le sous espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant

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Niveau: Supérieur, Licence, Bac+1
Nom et Prenom : L1 MP Algebre 09-10 semaine 7 ————————————————————————————————————————— 1 ) On considere le sous-espace vectoriel F de R4 forme des solutions du systeme suivant : (?) { x1 + x2 ? x3 ? x4 = 0 (E1) x1 + 2x2 ? x3 + 2x4 = 0 (E2) . Donner une base de F . 2) Soit u1 = (1, 1, 1, 1), u2 = (2,?1, 2,?1), u3 = (1, 2, 2, 2) trois vecteurs de R4. Soit G = Vect(u1, u2, u3). Donner une base de G constituee de vecteurs de R4 echelonnees relativement a la base canonique de R4. 3) Donner un systeme d'equations de G relativement a la base canonique de R4. ————————————————————————————————————————— Solution de la question 1) : L'ordre des variables x1, x2, x3, x4 est l'ordre naturel. Les deux equations de (?) sont d'ordre 1. Le systeme est donc ordonne. Demarrons l'algorithme de triangulation. Etape 1 : Utilisons (E1) pour faire monter l'ordre de l'equation de la deuxieme equation. Le systeme suivant a memes solutions que (E) : (E ?) { x1 + x2 ? x3 ? x4 = 0 (E1) x2 + 3x4 = 0 (E ?2 = E2 ? E1) .

ordre de l'equation de la deuxieme equation

base canon- ique de r4

base canonique de r4

x3 ?

variable de tete

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NometPr´enom:L1MPAlg`ebre09-10semaine7 ————————————————————————————————————————— 4 1)Onconside´relesous-espacevectorielFdeRnodssusyseosulitvant:t`emesuide´mrof ( x1+x2−x3−x4= 0(E1) (∗) x1+ 2x2−x3+ 2x4= 0(E2).

Donner une base deF. 4 2) Soitu1= (1,1,1,1), u2= (2,−1,2,−1), u3= (1,2,2,2) trois vecteurs deR. SoitG= 4 Vect(u1, u2, u3). Donnerune base deGedsocsned´etutiurteecevRce´e´nnolehlatiesrentveme 4 `alabasecanoniquedeR. 4 3)Donnerunsyst`emed’´equationsdeGedeuecanoniqt`alabastavimenerleR. ————————————————————————————————————————— Solution de la question 1) :L’ordre des variablesx1, x2, x3, x4Les deuxest l’ordre naturel. e´quationsde(∗emedirhtlaogme`etdescoononrd.e´nme´Dorra’lsn)sondto’drer.1eLysts triangulation. ´ Etape 1: Utilisons(E1p)l’erntmoreairfoueL.auqenoit´’qeauitrorddeleuxi`eme´ondelade syst`emesuivant`ameˆmessolutionsque(E) : ( 0x1+x2−x3−x4= 0(E1) (E) 0 x+ 3x= 0E). 2 4(E2=E2−1 0 E ,ere`imerpeL.e´lu Les´equationsE1,2sont respectivement d’ordre 1,sy`tmeeetsrtaign2.Ces algorithmeesttermine´. 0 Re´soudre(∗c`artdonvien)re´eul(trmengiaysele`tsose´erduE)tede(lbdeteeˆL.varaaiE1) est 0 0 es ariableslibres de (E) sont doncxx , x1detˆet,eldavariable(eE2) tx2, Les v3 4vonsesol.R´ cesyste`metriangule´ensuivantlam´ethodeducours.Ladernie`ree´quationdonne: x2=−3x4. Rempla¸conscettevaleurdex2norpauitdenee´´cnobtte,o:ientdslaneq’´ x1−3x4−x3−x4= 0. Nous obtenons : x1=x3+ 4x4. Nousavonsainsiexprime´x1etx2`lembseenl’.siAsn,iellsbieresvariabal’aidedFdes solutions de (E) est : F={(x3+ 4x4,−3x4, x3, x4que) telsx3, x4∈R}. Soit :F={x3(1,0,1,0) +x4(4,−3,0,que1) telsx3, x4,∈R}. La famille (1,0,1,0),(4,−3,0,tdes1)fanecuoncedegee´imlltair´nreF. C’est une famille libre, carissudel’algorithmedere´solutiondessyste`mes(echelonn´eepourl’ordreinverse...).C’est donc une base deF. 4 4 Solution de la question 2) :NotonsE=RetB= (e1, e2, e3, e4) la base canonique deR: e1= (1,0,0,0), e2= (0,1,0,0), e3= (0,0,1,0), e3= (0,0,0,1).

On a :v(u1) =v(u2) =v(u3) = 1.   1 2 1 1−1 2 MB(u1, u2, u3) =, G= Vect(u1, u2, u3). 1 2 2 1−1 2 ´ Etape 2 :On utiliseu1pour faire monter l’ordre des vecteurs suivants :   0 00 u=u u=u−2u u= 1 12 21 3u3−u1 1 00 0 0 00 0 0 (u ,u ,u) = MB1 2 31−3 1, G= Vect(uu ,u ,). 1 2 3   1 01 1−3 1 0 0 0 On av(u)< v(u) =v(u) = 2. 1 2 3 ´ 0 Etape 3 :On utiliseupour faire monter l’ordre des vecteurs suivants : 2   00 000 000 00 u=u u=u u=u+ (1/3)u 1 12 23 32 1 00 00 00 0000 00 00 (, uu ,1) =−3 0, G= Vect(u ,u ,u). MB1u1 2 32 3  0 01 1−3 0 00 00 0000 00 On av(u)< v(u)< v(uelli(tleeamaferttn´miirhtemse)’Llaogu= (1,1,1,1), u= 1 2 31 2 00 (0,−3,0,−3), u= (0,0,1,0)) est donc une base deGec´´ennloheabasecanon-reletavimene`tla 3 4 ique deR. Solution de la question 3) : 00 00 004 La famille (u ,u ,ut`alpporarra´eepeuednoqicenabasannolehce´tse)R. Soitvde coor-1 2 3 4 donn´ees(x1, x2, x3, x4) dans la base canoniqueR.   00 00 00 u u u v 1 2 3 1 0 0x1 00 00 00 M(vu ,u ,) = B1 2, u31−3 0x2.  1 0 1x3 1−3 0x4 ´ Etape 1 :   00 00 0000 u u uv1=v− 1 2 3x1u1 1 0 00 00 00 0000 00 M(vu ,u ,u ,−x u1) =−3 0x−x u. B1 12 11 2 3, v1=v−x1 1  1 0 1x3−x1 1−3 0x4−x1

On av∈Faua`tuqvie´v1∈F. ´ Etape 2 :   00 00 0000 u u uv=v)+ (1u 1 2 32 1/3)(x2−x1 2 1 0 00 00 00 0000 , u, u, v=v+ (1/3)(x−x)u) = MB(u22 12 11 2 31−03 0.   1 0 1x3−x1 1−3 0x4−x1−(x2−x1) etu∈Faua`et´uqviv2= (0,0, x3−x1, x4−x2)∈F. ´ Etape 3 :   00 00 0000 u v=v))u u u3 32−(x3−x1 3 1 2 1 0 00 00 00 0000 M(, vu u, u=v−. B1,2 33 2(x3−x1))u) = 3 1−03 0  01 0 1 1−3 0x4−x2 etv∈Fat`auive´uqv3= (0,0,0, x4−x2)∈F. L’algorithmeesttermin´e.Levecteurv= (x1, x2, x3, x4(d)ooecnodree´n(sx1, x2, x3, x4) dans la 4 base canoniqueR) est dansFsi et seulement siv3= 0.Donc, si et seulement si : x4−x2= 0, 4 quiestdoncunsyst`emed’´equationsdeFdanslabasecanoniqueR.