Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE Mars

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76 Outils pour le calcul et le traçage de courbesCNDP –DIE – Mars 1995 L'INTÉGRATION DES INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE Recherches sur les apports des outils de calcul formel Le contexte En 1991, le ministère de l'Éducation nationale (DLC 15, puis DITEN B2) met en place un groupe de travail national ayant pour mission d'explorer les apports pédago- giques des outils de calcul formel, d'en pro- poser des usages pertinents aux enseignants et aux élèves et d'étudier les évolutions que ces outils peuvent induire dans l'enseigne- ment des mathématiques. Ce groupe est constitué d'experts : enseignants du collège, du lycée et des classes post-Baccalauréat (sec- tions de techniciens supérieurs et classes pré- paratoires aux grandes écoles), ayant déjà une expérience dans le domaine ou dans un domaine voisin. Il commence à expérimenter dans les classes diverses séquences, qui ont fait, pour certaines d'entre elles, l'objet d'une publication en 1993, intitulée : Enseignement des mathématiques et logiciels de calcul formel : Derive, un outil à intégrer1. Afin d'étudier de façon scientifique les conséquences de la mise en œuvre de ces outils, le ministère passe contrat avec une équipe de recherche universitaire (DIDI- REM) pour « qu'elle essaie de cerner en quoi l'utilisation d'un logiciel comme Derive est susceptible d'agir sur les conceptions et pra- tiques mathématiques des élèves ».

  • démarche mathématique

  • résolution

  • recherche de l'équipe didirem4

  • logiciel de calcul formel

  • outil

  • apports pédago- giques des outils de calcul formel

  • enseignement


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Publié le 01 mars 1995
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L'INT…GRATION DES INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE Groupe CALCUL FORMEL, …quipe DIDIREM Recherches sur les apports des outils de calcul formel
1. Voir encadrÈ, p. 78. 2. On peut se procurer ce rapport intitulÈ, Acquisition de connais-sances concernant l'im-pact de l'intÈgration de logiciels de calcul formel dans l'enseignement des mathÈmatiques sur les reprÈsentations et pratiques mathÈmatiques des ÈlËves de l'ensei-gnement secondaire, ‡ lÕIREM de Paris VII dans la collection ´ Cahiers DIDIREM ª. Les rÈsultats de la recherche donneront lieu ‡ publicationen 1995.
Voici un aperÁu sur les recherches conjointes du groupe national d'innovation sur les apports des outils logiciels de calcul formel ‡ l'enseignement des mathÈmatiques (ministËre de l'…ducation nationale, direction de l'Information et des technologies nouvelles, bureau des Technologies nouvelles pour l'enseignement, DITEN B2)et de l'Èquipe DIDIREM de l'universitÈ Denis-Diderot, Paris 7.
lÕutilisation dÕun logiciel commeDeriveest Le contexte susceptible dÕagir sur les conceptions et pra-En 1991, le ministËre de l'…ducation tiques mathÈmatiques des ÈlËves ª. Cette nationale (DLC 15, puis DITEN B2) met en Èquipe (MichËle Artigue, Maha Abboud, place un groupe de travail national ayant Jean-Philippe Drouhard et Jean-Baptiste pour mission d'explorer les apports pÈdago-Lagrange) remet en dÈcembre 1993 un rap-giques des outils de calcul formel, d'en pro-port dÕÈtape qui relate en quelque sorte la poser des usages pertinents aux enseignants phase de mise en place de prÈexpÈrimenta-et aux ÈlËves et d'Ètudier les Èvolutions que tion et prÈcise la mÈthodologie mise en place ces outils peuvent induire dans l'enseigne-2 pour la recherche . ment des mathÈmatiques. Ce groupe est AprËs la publication de la premiËre bro-constituÈ dÕexperts : enseignants du collËge, chure, le groupe de travail (qui dÈpend ‡ prÈ-du lycÈe et des classes post-BaccalaurÈat (sec-sent de la DITEN) poursuit son Ètude pour tions de techniciens supÈrieurs et classes prÈ-essayer de cerner avec plus de prÈcision les paratoires aux grandes Ècoles), ayant dÈj‡ une modiÞcations que lÕusage de ces outils rend expÈrience dans le domaine ou dans un possibles (ou nÈcessaires) dans le dÈroule-domaine voisin. Il commence ‡ expÈrimenter ment du travail des ÈlËves, dans les curricu-dans les classes diverses sÈquences, qui ont lums, dans les examens. Cette Ètude devra fait, pour certaines dÕentre elles, lÕobjet dÕune dÈboucher sur la publication dÕune seconde publication en 1993, intitulÈe :Enseignement brochure. des mathÈmatiques et logiciels de calcul formel : 1Le groupe de travail a participÈ, en liaison Derive, un outil ‡ intÈgrer. avec l'Èquipe DIDIREM, ‡ la premiËre Afin dÕÈtudier de faÁon scientifique les confÈrence internationale sur Derive consÈquences de la mise en Ïuvre de ces (Plymouth, juillet 1994), et entretient des outils, le ministËre passe contrat avec une rapports suivis avec les diverses Èquipes qui, ‡ Èquipe de recherche universitaire (DIDI-lÕÈtranger, poursuivent des recherches sur le REM) pour ´ quÕelle essaie de cerner en quoi mÍme sujet.
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes 76CNDP Ð DIE Ð Mars 1995
La premiËre Ètape des travaux du groupe La mÈthode de travail adoptÈe par le groupe consiste ‡ s'appuyer sur des exemples concrets pour aboutir ‡ une rÈßexion argu-mentÈe sur l'impact des outils de calcul for-mel dans l'enseignement des mathÈma-tiques. La premiËre phase a donc ÈtÈ une phase exploratoire : il s'agissait de proposer des situations pÈdagogiques, ‡ diffÈrents niveaux d'enseignement, dans lesquelles des systËmes de calcul formel paraissaient un outil pÈda-gogique pertinent, ainsi que des ÈlÈments pour la formation des enseignants. L'analyse des diffÈrentes sÈquences propo-sÈes a ensuite conduit le groupe ‡ Èmettre les hypothËses suivantes sur les apports poten-tiels des systËmes de calcul formel ‡ l'ensei-gnement des mathÈmatiques : Il est apparu, ‡ travers ces divers travaux, que les outils de calcul formel peuvent aider les ÈlËves ‡ : ¥ se concentrer sur Ð la signiÞcation des concepts introduits ; Ð l'interprÈtation des rÈsultats ; Ð la dÈmarche mathÈmatique elle-mÍme (mise en Èquations, pilotage des calculs, gÈnÈralisation d'un problËme) en se dÈga-geant des aspects de pure technique calcula-toire ; ¥ se familiariser avec des propriÈtÈs mathÈ-matiques, les explorer, leur donner du sens (Èmission de conjectures, reconnaissance de formes) ; ¥ prendre conscience du statut des objets mathÈmatiques mis en Ïuvre et des rËgles qui les rÈgissent. On voit Ègalement se dÈgager la nÈcessitÈ de former les ÈlËves ‡ une utilisation raison-nÈe de ces logiciels (interprÈtation des rÈponses et des silences du logiciel). Par ailleurs, certaines des sÈquences proposÈes
L'INT…GRATION DES
3.Ce paragraphe est issu des ´ Actes ª de l'univer-sitÈ d'ÈtÈ sur le calcul formel (ao˚t-septembre 1994) organisÈe par la Commission Inter IREM informatique et la DITEN.
INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE
mettent en Èvidence l'interaction que permet le logicielDeriveentre les aspects graphiques et calculatoires.
On trouvera ci-dessous quelques exemples qui illustrent ces propos. Il ne s'agit pas dans cet article de dÈcrire les sÈquences correspon-dantes, mais de donner quelques indications sur les idÈes qui les sous-tendent.
3 Quelques exemples
¥ Prendre conscience du statut des objets mathÈmatiques mis en Ïuvre et des rËgles qui les rÈgissent
Ð Un premier exemple
L'Ècriture (et la simplification) de : f(x+1)+f(2x-5)donnera des rÈsultats diffÈ-rents avecDerivesuivant quefest un nombre, une expression ou une fonction.
L'ÈlËve est donc amenÈ dans un premier temps ‡ observer ces diffÈrences de compor-tement, puis doit expliciter ses choix lors-qu'il met en Ïuvre de telles conÞgurations, en dÈÞnissant le statut des objets sur lesquels il veut agir.
DÈclarer la variablef, de valeur 2 Entrer :f(3x) puis : simpliÞer
f:=2 f(3x) 6 x
DÈclarer la variablefsans lui donner de valeurf:= Entrer :f(3x)f(3x) puis : simpliÞer3 f x
DÈclarer la fonction f : x|Ð> x+1 Entrer :f(3x) puis : simpliÞer
DÈclarer la variablefde valeurx + 1 Entrer :f(3x) puis : simpliÞer
F(x):=x+1 F(3x) 3x+1
f:=x+1 f(3x) 3x(x+1)
Ð DiffÈrentes signiÞcations du symbole = Lorsqu'on Ècrit en mathÈmatiques : f(x)=3x-5, s'agit-il de la dÈfinition d'une fonction, de la rÈsolution d'une Èquation ?
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes CNDP Ð DIE Ð Mars 199577
L'INT…GRATION DES INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE
PremiËre publication :
thËmes abordÈs
La brochureEnseignement des mathÈmatiques et logiciels de calcul formel :Derive,un outil ‡ intÈgrera ÈtÈ envoyÈe pendant lÕannÈe sco-laire 1993-1994 dans toutes les acadÈmies. Pour se la procurer, sÕadres-ser aux MAFPEN.
¥ Dans un premier chapitre, nous indiquons les services que peuvent rendre dans lÕenseignement les logiciels de calcul formel. Quatre articles composent cette premiËre partie : Ð Que peut-on faire avec un logiciel de calcul formel ? ÐDerive,un outil pour l'enseignant. Ð Place des logiciels de calcul formel dans la formation des scienti-Þques. -Ð Le calcul formel, comment Áa marche ?
¥ Le second chapitre donne de nombreux exemples dÕutilisations du logiciel, en les regroupant par niveaux (du collËge ‡ la formation des enseignants). Pour chaque exemple, nous prÈcisons les objectifs du travail et les apports spÈciÞques du logiciel, en expliquant ce qui nous a fait choisir de traiter le sujet en nous servant de ces outils. Nous indi-quons ensuite le dÈroulement de lÕactivitÈ en donnant, dans certains cas, des exemples de travaux dÕÈlËves. On voit Ègalement se dÈgager la nÈcessitÈ de former les ÈlËves ‡ une utilisation raisonnÈe de ces logiciels (interprÈtation des rÈponses, des silences du logiciel). Par ailleurs, certaines des sÈquences proposÈes mettent en Èvidence l'in-teraction que permet le logicielDeriveentre les aspects graphiques et calculatoires.
Voici la liste de ces sÈquences.
¥ AucollËge PrÈsentation Premier contact Reproduction d'expressions fractionnaires CarrÈs de sommes IdentitÈs remarquables InÈgalitÈs et inverses Exprimer... en fonction de... Substituer une valeur ‡ une autre Mise en Èquation. Calcul rÈciproque. Approximation de ˜2 CoordonnÈes du point d'intersection de deux droites
¥ Enseconde, premiËre, terminale Formules Introduction au nombre dÈrivÈ en premiËre non scientiÞque Introduction au nombre dÈrivÈ en premiËre scientiÞque. RÈsolution d'un systËme d'Èquations Deriveet le pivot de Gauss Derive,le troisiËme degrÈ et les algÈbristes italiens de la Renaissance Recherche de problËme assistÈe par logiciel de calcul formel RÈgression non linÈaire Exemples de courbes paramÈtrÈes liÈes ‡ un problËme d'origine gÈo-mÈtrique
¥ En classes prÈparatoires Deux utilisations deDeriveen mathÈmatiques spÈciales En sections de Techniciens supÈrieurs Vers la dÈcomposition en ÈlÈments simples d'une fraction rationnelle Une utilisation deDeriveen section de TS En formation des enseignants Une utilisation deDeriveen deuxiËme annÈe IUFM
Outils pour le calcul et le traÁage de courbes 78CNDP Ð DIE Ð Mars 1995
Par la mÈdiation des commandes, diffÈ-rentes dans les deux cas, l'ÈlËve est conduit avecDerive‡ expliciter des choix, qui restent habituellement du domaine de l'implicite. ¥ Des rËgles parfois trËs personnelles Les ÈlËves appliquent frÈquemment des rËgles trËs personnelles, par exemple sur les carrÈs de sommes ou la dÈrivation. L'utilisation d'outils de calcul formel leur permet de vÈriÞer, d'explorer, de conjecturer la forme gÈnÈrale des "rËgles" applicables. AprËs ces premiËres phases d'observation et de conjecture, il convient que l'ÈlËve relie ces observations ‡ ses connaissances antÈ-rieures afin de leur donner du sens, de construire son savoir sur des bases solides : une phase de dÈmonstration s'est avÈrÈe indispensable lors des expÈrimentations. En effet, si on s'arrÍte au stade de l'observation et de la reconnaissance de forme, on risque de former les ÈlËves ‡ une dÈmarche "pseu-do-expÈrimentale", pour reprendre les termes de MichËle Artigue, et non ‡ une vÈritable dÈmarche scientiÞque. ¥ GÈnÈraliser Souvent, l'expressionExprimer ... en termes de ...est dÈnuÈe de sens pour les ÈlËves de troisiËme et seconde. Lorsqu'on Ècrit : a+b+c=1 U=RI V=(1/3)a2h ces ÈlËves ne comprennent pas ‡ quoi cor-respondent ces relations, et comment expri-mer une des variables en fonction des autres. Derive, en fournissant une rÈponse opÈra-toire, donne des indications aux ÈlËves sur le sens de cette expression. On utilise pour rÈpondre ‡ cette question la mÍme com-mande que pour rÈsoudre une Èquation, ce qui prÈsente le processus comme une gÈnÈ-ralisation de la rÈsolution d'Èquations, telle qu'elle est connue par les ÈlËves. ¥ Mieux percevoir un concept en reliant divers aspects de ce concept Derivepermet de travailler simultanÈ-ment dans les registres numÈrique, algÈ-brique et graphique, ce qui permet des pas-serelles permanentes entre ces diffÈrents
registres : ces aspects ont ÈtÈ expÈrimentÈs ‡ l'occasion de sÈquences sur les suites, sur l'introduction de la dÈrivÈe... ¥ Comprendre une dÈmarche Derivea Ègalement ÈtÈ utilisÈ pour aider l'ÈlËve ‡ se consacrer essentiellement ‡ la dÈmarche mathÈmatique en dÈlÈguant les calculs au logiciel : lors de l'introduction d'un nouveau concept (par exemple, la dÈri-vÈe), ou lors de la prÈsentation d'un algo-rithme (par exemple, pour des ÈlËves littÈ-raires, les mÈthodes de rÈsolution des Èquations du troisiËme degrÈ ‡ la Renaissance). ¥ RÈsoudre des problËmes L'usage d'outils de calcul formel permet Ègalement de rÈsoudre des problËmes plus intÈressants, dans lesquels l'ÈlËve se concentre sur l'enchaÓnement des calculs, pas sur les techniques de calcul, des pro-blËmes plus "ouverts", dans lesquels il peut explorer, conjecturer, puis prouver, ce qui constitue une dÈmarche plus proche de la dÈmarche scientifique. Il pourra se consa-crer davantage ‡ la stratÈgie de rÈsolution de problËme. Deux exemples parmi ceux dÈveloppÈs : n gÈomÈtrie analytique, factoriser x- 1.
Le travail en cours
Divers points sont ‡ lÕheure actuelle ‡ lÕÈtude. Citons sans ordre vÈritable : Ð le problËme de la "conÞguration didac-tique" : quels types dÕusage dans la classe ? que se passe-t-il lorsque les ÈlËves disposent, en permanence, de lÕoutil?(ExpÈrience menÈe avec lÕIREM de Lyon) Ð quelles sont les Èvolutions prÈvisibles, en terme de contenus, dÕexamens ? Ð quelles nouvelles activitÈs faut-il nÈces-sairement conduire dans la classe ? quelles nouvelles activitÈs sont souhaitables, pos-sibles ? Ð quelles connaissances mathÈmatiques faut-il que les utilisateurs aient acquises avant dÕutiliser telle ou telle fonctionnalitÈ de lÕoutil ? Chacun de ces points est ÈtudiÈ ‡ travers
L'INT…GRATION DES
4.Ce paragraphe est en grande partie issu du rapport d'Ètape de l'Èquipe DIDIREM citÈ plus haut. 5. Ce rapport d'Ètape comporte Ègalement une premiËre analyse de quelques publications ÈtrangËres sur le calcul formel : il apparaÓt que la plupart des articles reßËtent avant tout le point de vue de l'enseignant, plutÙt que la reprÈsentation que l'apprenant a de ces logi-ciels.
INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE
diverses sÈquences, en tenant compte de la variÈtÈ des niveaux et des attentes des diffÈ-rents publics. Ce travail fera lÕobjet dÕune publication.
La recherche 4 de lÕÈquipe DIDIREM En liaison avec le groupe de la DITEN, l'Èquipe DIDIREM a pour objectif d'aider ‡ mieux cerner ce que peuvent rÈellement apporter les logiciels de calcul formel ‡ l'en-seignement des mathÈmatiques, en fonction des niveaux d'enseignement, et prÈciser les conditions d'une gestion efficace de ces nou-veaux outils. Pour ce faire, deux mÈthodologies ont ÈtÈ adoptÈes, dont la description fait l'objet 5 d'un premier rapport d'Ètape . La premiËre mÈthodologie est externe, sous la forme de questionnaires en direc-tion d'enseignants volontaires qui sont sup-posÈs avoir une expÈrience de l'usage de Derivedans leur classe, et de leurs ÈlËves. Elle doit permettre de se faire une premiËre idÈe de la rÈalitÈ de l'utilisation deDeriveet de l'effet de cette utilisation sur les pra-tiques et les reprÈsentations. Pendant lÕannÈe scolaire 1992-1993, un premier questionnaire ÈlËves a ÈtÈ mis au point et testÈ dans huit classes. ¿ partir de lÕanalyse des rÈponses, qui constitue la troi-siËme partie du rapport dÕÈtape, un second questionnaire ÈlËve et un questionnaire enseignant ont ÈtÈ Ètablis et soumis ‡ une cinquantaine de classes au cours de lÕannÈe scolaire 1994. LÕanalyse des rÈponses sera effectuÈe dans le rapport dÈÞnitif. Cette mÈthodologie externe est croisÈe avec une mÈthodologie interne, qui permet de se faire une idÈe plus prÈcise de ces pra-tiques et de ces reprÈsentations, ‡ travers l'observation et l'analyse de sÈquences dans les classes. Les thËmes de ces sÈquences sont choisis parmi les thËmes proposÈs par le groupe de la DITEN comme susceptibles de mettre en jeu certaines potentialitÈs du logi-cielDerive(voir plus haut). Plus prÈcisÈment, le questionnement pro-posÈ par l'Èquipe DIDIREM est le suivant :
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L'INT…GRATION DES INSTRUMENTS DANS L'INSTITUTION SCOLAIRE
´ Quels problËmes pour l'actualisation desintervenir une vÈritable dÈmarche expÈri-potentialitÈs identifiÈes a priori ? Sont-ellesmentale, dans laquelle l'ÈlËve va mettre en d'ailleurs toutes actualisables aujourd'huiÏuvre toutes les phases (exploration de situa-dans le systËme d'enseignement ? Sont-ellestions, Èmission et test de conjectures, valida-de plus actualisables indÈpendamment dution mathÈmatique), et ne pas Ítre rÈduit au niveau d'enseignement ? Quelles contraintesrÙle de "presse-bouton" ? doivent satisfaire les situations d'enseigne-Ð les problËmes liÈs au statut et ‡ la mani-ment organisÈes, sur le plan du contenu et de pulation des objets algÈbriques ; la gestion, pour permettre au mieux cette Ð lÕexpertise deDerivedu cÙtÈ de lÕensei-actualisation ? ª gnant. Ces observations doivent donc permettre Le rapport d'Ètape prÈsente l'analyse d'une en particulier d'Ètudier : premiËre situation portant sur la recherche, Ð les problËmes liÈs ‡ la connaissance dans une classe de premiËre scientiÞque, des du logicielDerive ;quelle familiaritÈ acquÈrir formules gÈnÈrales de rÈsolution pour un sys-pour que le logiciel ne fasse pas Ècran ‡ l'acti-tËme linÈaire de deux Èquations ‡ deux vitÈ mathÈmatique elle-mÍme ? inconnues. Ð les problËmes de concurrence entre Cette analyse a mis en Èvidence le fait que Deriveet la calculatrice ; la calculatrice est en Derivepermet de faire vivre dans l'enseigne-effet un objet privÈ de l'ÈlËve, auquel il ment une telle situation, relativement for-s'adresse plus volontiers qu'‡Derive: dans melle et son intÈrÍt comme diagnostic sur les quelles conditions l'ÈlËve jugera-t-il moins problËmes de fond concernant le rapport des co˚teux et plus efficace de recourir ‡Derive? ÈlËves ‡ l'algËbre : la signification de l'acte Ð les problËmes dÕarticulation entre lÕergo-"rÈsoudre une Èquation", le sens de l'ÈgalitÈ, nomie deDeriveles implicites dans les Ècritures algÈbriques, laet le fonctionnement papier/crayon ; de mÍme, quand l'ÈlËve trou-substitution. Cette observation montre aussi vera-t-il plus efficace de recourir ‡Deriveque le fonctionnement attendu des ÈlËves, plutÙt qu'au travail papier/crayon ? quellesplus rÈßexif et stratÈgique, n'a rien d'automa-difficultÈs va soulever l'ergonomie detique et que, dans les groupes qui ne dispo-Derive? sentpas de connaissances prÈalables solides sur la rÈsolution des systËmes numÈriques, les Ð les problËmes de centration sur la ÈlËves sont plus enclins ‡ des "mÈthodes de dÈmarche, sur les aspects conceptuels ; pÍche" un peu alÈatoires qu'‡ une rÈelle quelles connaissances techniques sont nÈces-rÈßexion stratÈgique. saires pour pouvoir se centrer sur la dÈmarche ? quel rÙle joue dans la rÈsolutionCette observation a aussi permis de prÈci-et la comprÈhension d'un problËme le travailser la mÈthodologie ‡ prÈconiser lors des technique que l'on y effectue ?observations de la deuxiËme partie de l'expÈ-rimentation. Cette deuxiËme partie a concer-Ð les problËmes de mise en place dÕune nÈ une dizaine de situations, de la classe de dÈmarche expÈrimentale (‡ opposer ‡ une troisiËme ‡ la terminale. Leur analyse sera dÈmarche "pseudo-expÈrimentale") et les 6 prÈsentÈe dans le rapport dÈÞnitif. questions de niveau dÕactivitÈ mathÈma-n tique ; quelles activitÈs proposer qui fassent
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6. Le rapport dÕÈtape de lÕÈquipe DIDIREM comporte Ègalement des repËres bibliographiques sur le calcul formel et lÕenseignement : Ètude desActes de lÕ…cole internationale sur les aspects didactiques du calcul formel(Krems 1992), desActesdu col-loque ´ Technology in Mathematics Teaching ª (Birmingham 1993) et de lÕarticle de J. Hillel ´ Computer Algebra systems as learning tools ª, [Hillel 91].