PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2009-2010 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 3 : Fonctions usuelles d'une variable réelle Logarithmes et exponentielles... Exercice 1. Universalité du logarithme. Montrer que toute fonction non nulle de R?+ dans R, dérivable et qui transforme les produits en somme est un logarithme dans une certaine base. Exercice 2. Soient x et y deux réels strictement plus grand que 1. Montrer l'inégalité suivante : √ ln x ln y ≤ ln ( x+ y 2 ) . Indication : montrer et utiliser l'inégalité : ?(x, y) ? (R+)2, √ xy ≤ x+y2 . Exercice 3. Résoudre l'équation suivante : x3 + ln |x| = 1, x ? R. Exercice 4. Soit f une fonction définie sur un intervalle I ? R, strictement positive, dérivable, croissante et telle que : ?x ? I, f(x) ≥ 1 e , Montrer que la fonction x 7? f(x)f(x) définie sur I est croissante. Exercice 5. Pour quels réels x l'expression ( 1 + 1 x )x a-t-elle un sens ? Soit a un réel strictement positif fixé. On considère la fonction : f : ]0; +∞[ ? R x 7? ( 1 + a x )x Tracer le tableau de variation de f .

• méthode géomé- trique de détermination de l'inverse


• limites aux bornes de l'intervalle de définition

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• Langue: Français

Extrait

PCSI A 2009-2010

Mathématiques

Feuille d’exercices 3 : Fonctions usuelles d’une variable réelle

Logarithmes et exponentielles...

Lycée Brizeux

Exercice 1.Universalité du logarithme. ∗ Montrer que toute fonction non nulle deRdansR, dérivable et quitransforme les produits en somme + est un logarithme dans une certaine base.

Exercice 2.Soientxetydeux réels strictement plus grand que1. Montrer l’inégalité suivante :   p x+y lnxlny≤ln. 2 √ + 2 x+y Indication :montrer et utiliser l’inégalité :∀(x, y)∈(R), xy≤. 2

Exercice 3.Résoudre l’équation suivante : 3 x+ ln|x|= 1, x∈R.

Exercice 4.Soitfune fonction définie sur un intervalleI⊂R, strictement positive, dérivable, croissante et telle que : 1 ∀x∈I, f(x)≥, e f(x) Montrer que la fonctionx7→f(x)définie surIest croissante.

  x 1 Exercice 5.Pour quels réelsxl’expression1 +?a-t-elle un sens x Soitaun réel strictement positif fixé. On considère la fonction :

f:]0; +∞[→R   x a x7→1 + x

Tracer le tableau de variation def. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle de définition.

Exercice 6.Résoudre les équations suivantes : m n 1.n=m, oùmetnsont des entiers strictement positifs. √ √ x x∗ 2.(x) =x ,oùx∈R. + 1 1 2 x x−x+ 2 x−1 3.2−3 =3−2,oùx∈R. 2 2

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