PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Devoir Maison 11 : corrigé Exercice 1. Soit I un intervalle et f : I ? R telle que : ?x ? I, f(x)2 = f(x) Remarque préliminaire. Soit y ? R. y2 = y ? y(y ? 1) = 0 ? y = 0 ou y = 1 La fonction f prend donc uniquement les valeurs 1 ou 0. 1. On suppose dans cette question que f est continue. Supposons que f n'est pas constante. Alors il existe x0 ? I tel que f(x0) = 0 et il existe x1 ? I tel que f(x1) = 1. Or 12 ? [0, 1] et comme f est continue sur I, il existe, d'après le T.V.I., ? ?]x0, x1[ (ou ]x1, x0[) tel que : f(?) = 1 2 Mais alors f(?)2 6= f(?). L'hypothèse « f n'est pas constante » est absurde : la fonction f est constante. 2. Considérons la fonction f telle que f(x) = { 1 si x ≥ 0 0 si x < 0 On vérifie bien pour tout x ? R, f(x)2 = f(x) et que f est non constante et n'est pas continue sur I = R.

• structure usuelle d'espace vectoriel


• applications ?


• hypothèse h1

Informations

• Publié par: chaeh
• Nombre de lectures: 27
• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Devoir Maison 11 : corrigé

Lycée Brizeux

Exercice 1. SoitIun intervalle etf:I→Rtelle que : 2 ∀x∈I, f(x) =f(x) Remarque préliminaire. Soity∈R. 2 y=y⇔y(y−1) = 0 ⇔y= 0ouy= 1 La fonctionfprend donc uniquement les valeurs1ou0. 1. Onsuppose dans cette question quefest continue. Supposons quefn’est pas constante. Alors il existex 0 ∈I tel quef(x 0 ) = 0et il existex 1 ∈Itel quef(x 1 ) = 1. 1 Or∈[0,1]et commefest continue surI, il existe, d’après le T.V.I.,γ∈]x 0 , x 1 [(ou]x 1 , x 0 [) tel que : 2 1 f(γ) = 2 2 Mais alorsf(γ)6=f(γ). L’hypothèse «fn’est pas constante » est absurde : la fonctionfest constante. 2. Considéronsla fonctionftelle que  1six≥0 f(x) = 0six <0 2 On vérifie bien pour toutx∈R,f(x) =f(x)et quefestnon constanteet n’est pascontinuesurI=R. Exercice 2. Un théorème de point fixe. Soit une applicationf:R + →R. On considère les trois hypothèses suivantes :

H 1 :fest continue surR + H 2 :f(0)≥0 f(x) H 3 :lim =` <1 x x→+∞ 1. Onsuppose queH 1 ,H 2 etH 3 sont vérifiées. Considérons la fonctiongdéfinie surR + parg(x) =f(x)−x. •Nous avons :   f(x)−x f(x) lim =lim−1 =`−1<0 x x x→+∞x→+∞ f(b)−b Ainsi il existeb >0tel que<0doncg(b) =f(b)−b <0. b •Par ailleurs,g(0) =f(0)≥0. •Enfingest continue surR + comme différence de fonctions continues. Donc d’après le T.V.I. il existeγ∈R + tel que g(γ) =f(γ)−γ= 0 Ainsiγest un point fixe de la fonctionf. 2. Lesfonctionsf 1 ,f 2 etf 3 ci-dessous n’ont pas de point de fixe. •Soitf 1 définie par  1six= 0 f 1 (x) = 0six >0 Pourf 1 , l’hypothèseH 1 est n’est pas vérifiée,H 2 etH 3 le sont. •Soitf 2 définie pourx≥0parf 2 (x) =−1−x. Pourf 2 , l’hypothèseH 2 est n’est pas vérifiée,H 1 etH 3 le sont. •Soitf 3 définie pourx≥0parf 3 (x) = 1 +x. Pourf 3 , l’hypothèseH 3 est n’est pas vérifiée,H 1 etH 2 le sont.

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