PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Fonctions logarithmes 1) Généralités Définition. La fonction logarithme népérien est la primitive qui s'annule en 1 de l'application x 7? 1 x définie sur ]0,+∞[. On la note ln. ?x > 0, ln(x) = ∫ x 1 1 t dt x 0 1 +∞ ln(x) ?∞ ? 0 ? +∞ Soit f : I ? R une fonction dérivable sur I telle que pour tout x ? I, f(x) > 0. Alors ln f est dérivable sur I de dérivée f ? f · Relation fondamentale. ?(x, y) ? ( R?+ )2 , ln(xy) = ln(x) + ln(y) Conséquences. ?(x, y) ? ( R?+ )2 , ln ( x y ) = ln(x)? ln(y) ?(x1, x2, ..., xn) ? ( R?+ )n , ln (x1...xn) = ln(x1) + ...+ ln(xn) ?n ? Z,?x ? R?+, ln(x n) = n ln(x) Inégalités. ?x ? R?+, ln(x) ≤ x? 1 ?h > ?1, ln(1 + h) ≤ h Propriétés asymptotiques lim x?0+ ln(x) = ?∞ ; lim x?+∞ ln

• logarithme de base


• expression des solutions d'équations différentielles


• utilisations des logarithmes


• lois de désintégration radioactive

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI A2011-2012

1) Généralités

Mathématiques

Fonctions logarithmes

Lycée Brizeux

Définition.La fonctionlogarithme népérienest la primitive qui s’annule en1de l’application 1 x7→définie sur]0,+∞[. On la noteln. x Z x 1 ∀x >0,ln(x) =dt 1 t

x0 1+∞ ln(x)−∞ %0%+∞

Soitf:I→Rune fonction dérivable surItelle que pour toutx∈I, f(x)>0. Alorslnfest dérivable 0 f surIde dérivée∙ f   2 ∗ Relation fondamentale.∀(x, y)∈R,ln(xy) = ln(x) + ln(y) + Conséquences.     2 x ∗ ∀(x, y)∈R,ln(ln =x)−ln(y) + y   n ∗ ∀(x ,..., xx ,)∈,= ln(l )x) +...+ ln(x) 1 2n R + n (x 1 ...x n1n ∗n ∀n∈Z,∀x∈R,ln(x) =nln(x) +

Inégalités.

Propriétés asymptotiques

∗ ∀x∈R, + ∀h >−1,

lim ln(x) =−∞; + x→0 ∗ 2 n m ∀(n, m)∈(N) limxln (x;) = 0 + x→0

ln(x)≤x−1 ln(1 +h)≤h

lim ln(x) = +∞ x→+∞ m ln (x) 2 ∗ ∀(n, m)∈(N),0lim = n x→+∞ x

ln(1 +x) lim =1 x→0 x

On noteel’unique réel tel queln(e) = 1;e'2,7182818284590452354.

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