PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

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Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Fonctions logarithmes 1) Généralités Définition. La fonction logarithme népérien est la primitive qui s'annule en 1 de l'application x 7? 1 x définie sur ]0,+∞[. On la note ln. ?x > 0, ln(x) = ∫ x 1 1 t dt x 0 1 +∞ ln(x) ?∞ ? 0 ? +∞ Soit f : I ? R une fonction dérivable sur I telle que pour tout x ? I, f(x) > 0. Alors ln f est dérivable sur I de dérivée f ? f · Relation fondamentale. ?(x, y) ? ( R?+ )2 , ln(xy) = ln(x) + ln(y) Conséquences. ?(x, y) ? ( R?+ )2 , ln ( x y ) = ln(x)? ln(y) ?(x1, x2, ..., xn) ? ( R?+ )n , ln (x1...xn) = ln(x1) + ...+ ln(xn) ?n ? Z,?x ? R?+, ln(x n) = n ln(x) Inégalités. ?x ? R?+, ln(x) ≤ x? 1 ?h > ?1, ln(1 + h) ≤ h Propriétés asymptotiques lim x?0+ ln(x) = ?∞ ; lim x?+∞ ln

  • logarithme de base

  • expression des solutions d'équations différentielles

  • utilisations des logarithmes

  • lois de désintégration radioactive


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Langue Français
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PCSI A2011-2012
1) Généralités
Mathématiques
Fonctions logarithmes
Lycée Brizeux
Définition.La fonctionlogarithme népérienest la primitive qui s’annule en1de l’application 1 x7→définie sur]0,+[. On la noteln. x Z x 1 x >0,ln(x) =dt 1t
x0 1+ln(x)−∞ %0%+
Soitf:IRune fonction dérivable surItelle que pour toutxI, f(x)>0. Alorslnfest dérivable 0 f surIde dérivéef   2 Relation fondamentale.(x, y)R,ln(xy) = ln(x) + ln(y) + Conséquences.   2x (x, y)R,ln(ln =x)ln(y) + y   n (x ,..., xx ,),= ln(l )x) +...+ ln(x) 1 2nR+n (x1...xn1n n nZ,xR,ln(x) =nln(x) +
Inégalités.
Propriétés asymptotiques
xR, + h >1,
lim ln(x) =−∞; + x0 2n m (n, m)(N) limxln (x;) = 0 + x0
ln(x)x1 ln(1 +h)h
lim ln(x) = +x+m ln (x) 2 (n, m)(N),0lim = n x+x
ln(1 +x) lim =1 x0 x
On noteel’unique réel tel queln(e) = 1;e'2,7182818284590452354.
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