PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Définition monofocale des coniques Soit F un point du plan (foyer) et D une droite (directrice) telle que F /? D . Soit e ? R?+ (excentricité). Théorème. L'ensemble ? des points M du plan tels que MF = ed (M,D) est une conique. • Si e < 1 alors ? est une ellipse ; • Si e = 1 alors ? est une parabole ; • Si e > 1 alors ? est une hyperbole. On appelle repère focal, le repère ON. direct (F, ~u,~v) tel que : ??u = 1 || ??? FK|| ??? FK où K est le projeté orthogonal de F sur D . On appelle : 1. axe focal : la droite passant par F dirigée par ??u . 2. sommet : une intersection de ? avec l'axe focal. Proposition. Dans tout repère ON. direct, ? admet une équation polaire de la forme : ? = p 1 + e cos(? ? ?) avec : • le paramètre p = ed(F,D) ; • ? l'angle polaire de ~u. 1

• b2 ?


• equation polaire dans le repère focal


• foyers de l'hyperbole


• parabole


• equation des directrices


• angle polaire


• axe focal


• définition monofocale

Sujets

• Parabole
• Coordonnées polaires

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Extrait

PCSI A2011-2012

Mathématiques

Définition monofocale des coniques

Lycée Brizeux

∗ SoitFun point du plan (foyer) etDune droite (directrice) telle queF∈/D. Soite∈R + (excentricité). Théorème.L’ensembleΓdes pointsMdu plan tels queM F=ed (M,D)est une conique. •Sie <1alorsΓest une ellipse; •Sie= 1alorsΓest une parabole; •Sie >1alorsΓest une hyperbole.

1 −→ −→ On appellerepère focal, le repère ON. direct(Fv~,u~,)tel que :u=F KoùKest le projeté −→ ||F K|| orthogonal deFsurD. On appelle : −→ 1.axe focal :la droite passant parFdirigée paru. 2.sommet :une intersection deΓavec l’axe focal. Proposition.Dans tout repère ON. direct,Γadmet une équation polaire de la forme : p ρ= 1 +ecos(θ−ϕ) avec : •le paramètrep=ed(F,D); •ϕl’angle polaire de~u.

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