PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 1 : Fonctions usuelles d'une variable réelle Logarithmes et exponentielles Exercices d'applications : 1, 2, 3 et 4. Exercice 1. Pour quels réels x l'expression ( 1 + 1 x )x a-t-elle un sens ? On considère la fonction : f : ]0; +∞[ ? R x 7? ( 1 + 1 x )x Tracer le tableau de variation de f . Déterminer les limites aux bornes de l'intervalle de définition. Exercice 2. Résoudre les équations suivantes : 1. 2x+1 = 3x?1 où x ? R?+. 2. n2 = 2n, où n est un entier strictement positif. 3. ( n √ x)x = x n√x, où x ? R?+ et n ? N. Exercice 3. Calculer les limites suivantes : a) lim x?0+ xx b) lim x?+∞ x ln x ex c) lim x?+∞ ( ex + ln x ex + x ) d) lim x?1+ (ln x)1?x Exercice 4. Etudier les variations des fonctions suivantes en précisant le domaine de définition : a) x 7? ln2 x x b) x 7? (x+ 1)a ? xa avec a > 0 c) x 7? x 1 x d) x 7? ex + e1+ 1 x

• fonctions trigonométriques


• limite lim


• méthode géomé- trique de détermination de l'inverse


• limites aux bornes de l'intervalle de définition

Informations

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Extrait

Lycée Brizeux

Mathématiques

PCSI A2010-2011

Feuille d’exercices 1 : Fonctions usuelles d’une variable réelle

Logarithmes et exponentielles

Exercice 1.Caractérisation des logarithmes. ∗ Montrer que toute fonction non nulle deRdansR, dérivable et quitransforme les produits en somme + est un logarithme dans une certaine base.

Exercice 2.Soitfune fonction définie sur un intervalleI⊂R, strictement positive, dérivable, croissante et telle que : 1 ∀x∈I, f(x)≥, e f(x) Montrer que la fonctionx7→f(x)définie surIest croissante.

  x 1 Exercice 3.Pour quels réelsxl’expression1 +?a-t-elle un sens x Soitaun réel strictement positif fixé. On considère la fonction :

f:]0; +∞[→R   x a x7→1 + x

Tracer le tableau de variation def. Déterminer les limites aux bornes de l’intervalle de définition.

Exercice 4.Résoudre les équations suivantes : m n 1.n=m, oùmetnsont des entiers strictement positifs. √ √ x x∗ 2.(x) =x ,oùx∈R. + 1 1 2 x x−x+ 2 x−1 3.2−3 =3−2,oùx∈R. 2 2

Exercice 5.Calculer les limites suivantes :   x xlnx e+ lnx x a)limxb)limc)lim + x x x→+∞x→+∞ x→0 e e+x

1−x d)lim (lnx) x→1+

Exercice 6.Montrer que la fonction exponentielle n’est pas égale à une fraction rationnelle.Indica- tion : pensez à une comparaison asymptotique.

Exercice 7.Etudier les variations des fonctions suivantes en précisant le domaine de définition : x α aln+ 1x 1 1−x x1+ x x a)x7→e+eb)x7→ |x|c)x7→(a >1)d)x7→(α >1) x e+ 1x

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