PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux
4 pages
Français

PCSI A Mathématiques Lycée Brizeux

Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus
4 pages
Français
Obtenez un accès à la bibliothèque pour le consulter en ligne
En savoir plus

Description

Niveau: Supérieur
PCSI A 2011-2012 Mathématiques Lycée Brizeux Feuille d'exercices 14. Algèbre linéaire : applications linéaires Généralités sur les applications linéaires Exercice 1. Dans les questions on donne deux K-espaces vectoriels E et F ainsi qu'une application f : E ? F . Montrer que f est une application linéaire. 1. E = R2, F = R3 et f définie par f ( x y ) = ? ? x+ y ?y 2x+ y ? ? . 2. E = R[X], F = R2 et f définie par f(P ) = (P (0), P (1)). 3. E = Rn[X], F = R et f définie par f(P ) = P (0) + P (1)...+ P (n) n+ 1 = 1 n+ 1 n∑ k=0 P (k) 4. E = RN, F = RN et f définie par f((un)n?N) = (un+1 ? un)n?N. 5. E = C0([0, 2pi],R), F = R et f définie pour tout ? ? E par f(?) = 1 pi ∫ 2pi 0 ?(t) cos(nt)d t 6.

  • dimension finie

  • dimension

  • r3 ?

  • application linéaire

  • dimension de ker?

  • vecteur ?v1


Sujets

Informations

Publié par
Nombre de lectures 53
Langue Français

Exrait

PCSI A2011-2012
Mathématiques
Feuille d’exercices 14.Algèbre linéaire : applications linéaires
Généralités sur les applications linéaires
Lycée Brizeux
Exercice 1.Dans les questions on donne deuxK-espaces vectorielsEetFainsi qu’une applicationf:EF. Montrer quefest une application linéaire. 2 3 1.E=R,F=Retfdéfinie par     x+y x   f=y y 2x+y . 2 2.E=R[X],F=Retfdéfinie parf(P) = (P(0), P(1)). 3.E=Rn[X],F=Retfdéfinie par n X P(0) +P(1)...+P(n) 1 f(P) ==P(k) n+ 1n+ 1 k=0 N N 4.E=R,F=Retfdéfinie parf((un)nN) = (un+1un)nN. 0 5.E=C([0,2π],R),F=Retfdéfinie pour toutϕEpar Z 2π 1 f(ϕ) =ϕ(t) cos(nt)dt π 0 1 0 6.E=C(]0,+[,R),F=C(]0,+[,R)etfdéfinie pour toutϕEpar ϕ(t) 0 f(ϕ) :t7→ϕ(t) + t Exercice 2.Les applicationsfsuivantes sont-elles des applications linéaires des espacesEversFconsidérés ? Préciser le cas échéant le noyau et l’image def(en dimension finie vous donnerez une base et la dimension de ces espaces, en dimension finie vous étudierez seulement le caractère injectif ou surjectif de l’application). 3 2 1.E=RetF=R.f(x, y, z) = (x+y, z). 2 3 2.E=RetF=R.f(x, y) = (x+y,2y,1). 4 2 3.E=RetF=R.f(x, y, z, t) = (x+ 2t,0). 2 2 4.E=RetF=R.f(x, y) = (x+y,2x+ 2y). 2 22 5.E=RetF=R.f(x, y) =x+y. 0 6.E=F=R[X].f(P(X)) = 1 +P(X). N2 7.E=RetF=R.f((un)nN) = (u0, u1). 0 8.E=F=C(R,R).xR, f(ϕ(x)) =(x). 0 9.E=F=C(R,R).xR, f(ϕ(x)) =ϕ(1x). 0 2 10.E=F=C(R,R).xR, f(ϕ(x)) =ϕ(x). 0 11.E=C(R,R)etF=R.f(ϕ) =ϕ(0). Exercice 3.Dans cet exercice, on se place dans leR-espace vectorielE=R[X]. 1. MontrerqueF={PE, P(0) = 0}est un sous-espace vectoriel deF. 2. Onconsidère l’applicationfdéfinie par : f:E−→F . P(X)7XP(X) (a) Montrerquef∈ L(E, F). (b) DéterminerKerfpuisImf. (c) L’applicationfest-elle injective? Bijective? Surjective?
1
  • Accueil Accueil
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • BD BD
  • Documents Documents