PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 F e u i l l e d e T D 1 0 P r o p r i e t e s d e l ' e n s e m b l e d e s e n t i e r s n a t u r e l s . D e n o m b r e m e n t 1. Soit f : N ? N une application strictement croissante. Etablir que pour tout n ? N, f(n) ≥ n. 2. Soit (Fn)n?N la suite de Fibonacci definie par F0 = 0, F1 = 1, ?n ? N, Fn+2 = Fn+1 + Fn. (a) Montrer que pour tout n ? N Fn+1 ≥ n. En deduire la limite de la suite (Fn)n?N. (b) Montrer que pour tout n ? N Fn ≤ 2 n (c) Montrer que pour tout n ? N? F 2n ? Fn?1 Fn+1 = (?1) n?1. (d) Montrer que pour tout n ? N? n∑ k=1 F2 k?1 = F2n ? 1. (e) Montrer que pour tout n ? N n∑ k=1 Fk = Fn+2 ? 1. 3.

• e1 ?


• principe des bergers


• famille de droites delimite


• entiers de fermat


• reunion n?


• fn


• paire de chaussettes

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
P ro p r i´e t´e s d e l ’ e n s e m b l e d e s e n t i e r s n a t u re l s . D´e n o m b re m e n t
´1. Soit f :N→N une application strictement croissante. Etablir que pour tout n∈N,
f(n)≥n.
2. Soit (F ) la suite de Fibonacci d´efinie parn n∈N
F = 0, F = 1, ∀n∈N, F =F +F .0 1 n+2 n+1 n
(a) Montrer que pour tout n∈N
F ≥n.n+1
En d´eduire la limite de la suite (F ) .n n∈N
(b) Montrer que pour tout n∈N
nF ≤ 2n
∗(c) Montrer que pour tout n∈N
2 n−1F −F F = (−1) .n−1 n+1n
∗(d) Montrer que pour tout n∈N
nX
F =F −1.2k−1 2n
k=1
(e) Montrer que pour tout n∈N
nX
F =F −1.k n+2
k=1
P n k n+1
3. Soient p et n des entiers naturels v´erifiant p≤n. Montrer que = .k=p p p+1
4. Soient k,p et n des entiers naturels v´erifiant p≤k≤n.

n−p n n k´(a) Etablir que = .k−p p k p
(b) En d´eduire la valeur des sommes suivantes :
k nX Xn−p n n kket (−1) .
k−p p k p
p=0 k=p
∗5. Soitn∈N . On consid`eren droites du plan qui se coupent deux `a deux mais telles que trois d’entre elles
ne se coupent jamais en un mˆeme point.
D´eterminer le nombre de r´egions que la famille de droites d´elimite.
∗6. Soit n ∈ N . D´eterminer de deux mani`eres le cardinal de l’ensemble Ω des paires ordonn´ees den
2N = J0,nK `a savoir , Ω = (i,j)∈N : i<j .n n n
∗7. Soient n∈N et E un ensemble. Soit (E ) une famille finie de sous-ensembles de E.i 1≤i≤n
n[
On dit que la r´eunion E est disjointe sii
i=1
∀(k,‘)∈ J1,nK, k =‘⇒E ∩E =∅k ‘
n[
(ce que l’on traduit par : « la r´eunion E est disjointe si les sous-ensembles E sont deux a` deuxi i
i=1
disjoints »).
Dans l’exercice, chaque sous-ensemble E est suppos´e fini.i
1
e1l0idFeuTlD6en[
(a) On suppose que la r´eunion de la famille (E ) est disjointe. Montrer que la r´eunion E esti 1≤i≤n i
i=1
un sous-ensemble fini et que
n n [ X
E = |E |. i i