PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2011-2012 T D d ' i n f o 4 C o u r b e s p a r a m e t r e e s Le trace de courbes parametrees peut s'obtenir a l'aide de la commande plot employee adequatement. Exercice 1. Tracer la courbe parametree d'equations cartesiennes x(t) = cos(3t) et y(t) = sin(2t) a l'aide de la commande plot. Determiner d'eventuelles symetries de la courbe parametree ainsi tracee. Exercice 2. Tracer la courbe parametree d'equation polaire r = cos(2?) pour ? compris entre 0 et 2pi. Comparer le tracer avec celui obtenu pour ? compris entre 0 et pi ; puis entre 0 et pi2 . Explications ? Exercice 3. Cycloıde. On se propose d'etudier la trajectoire de la valve V d'une roue de rayon r qui roule sans glisser sur une route rectiligne. On note ? le centre de la roue ; r le rayon de la roue et T le point de tangence de la roue avec la route. On note x la position de T sur la route. On suppose qu'en x = 0, l'angle T??V oriente negativement est egal a ?0. 1. Exprimer l'angle T??V en fonction de x et ?0.

• courbe parametree d'equations cartesiennes


• enveloppe des rayons du soleil reflechis sur le bord interieur de la tasse


• trace sur le gra- phique initial


• roue ?


• equation parametrique de la demi droite


• coordonnees de point d'incidence x?

Informations

• Publié par: chaeh
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• Langue: Français

Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2011-2012
Courbes param´etr´ees
Le trac´e de courbes param´etr´ees peut s’obtenir `a l’aide de la commande plot employ´ee ad´equatement.
Exercice 1. Tracer la courbe param´etr´ee d’´equations cart´esiennes x(t) = cos(3t) et y(t) = sin(2t) a` l’aide de
la commande plot. D´eterminer d’´eventuelles sym´etries de la courbe param´etr´ee ainsi trac´ee.
Exercice 2. Tracer la courbe param´etr´ee d’´equation polaire r = cos(2θ) pour θ compris entre 0 et 2π.
πComparer le tracer avec celui obtenu pour θ compris entre 0 et π; puis entre 0 et . Explications?2
Exercice 3. Cyclo¨ıde. On se propose d’´etudier la trajectoire de la valve V d’une roue de rayon r qui roule
sans glisser sur une route rectiligne.
On note Ω le centre de la roue; r le rayon de la roue et T le point de tangence de la roue avec la route. On
note x la position de T sur la route.
\On suppose qu’en x = 0, l’angle TΩV orient´e n´egativement est ´egal a` θ .0
\1. Exprimer l’angle TΩV en fonction de x et θ .0
2. En d´eduire les coordonn´ees de la valve V en fonction de x et θ.
3. Cas particulier : r = 1 et θ = 0. Tracer la trajectoire de la valve a` l’aide de Maple.0
Fig. 1 – Position de la valve pour un angle θ donn´e.
0Exercice 4. On consid`ere une roueC de rayon r > 0 roulant sans glisser a` l’int´erieur d’un cercle de rayon
3r. On souhaite d´eterminer la trajectoire de la valve V de la roue. On suppose que lorsque θ = 0 (le centre de
−→ →−
la roue Ω est tel que OΩ est colin´eaire `a i et de mˆeme sens), alors la valve est tangente au cercle (autrement
dit β = 0).
1. Exprimer β `a l’aide de θ (cf. Fig. 2).
2. En d´eduire que les coordonn´ees de V(θ) sont d´ecrites par la courbe param´etr´ee d’´equations cart´esiennes

x(θ) = 2rcos(θ)+rcos(2θ)
y(θ) = 2rsin(θ)−r sin(2θ)
3. Cas particulier : r = 3. Tracer la trajectoire de la valve a` l’aide de Maple.
Exercice 5. Enveloppe d’une famille de droites
Pout tout t∈R, on note D la droite d’´equation cos(3t)x+sin(3t)y−cos(t) = 0.t
1
Dnif'T4odFig. 2 – Position de la valve pour un angle θ donn´e.
1. Tracer sur un mˆeme graphique les droites correspondant a` une centaine de valeurs de t r´eparties sur [0,π]
kπ(par exemple : t = ,k = 1..100), la fenˆetre graphique ´etant le pav´e [−2,2]×[−2,2]. Utiliser l’option
100
grid apr`es avoir recherch´e sa fonction dans l’aide.
Outils : with(plots), implicitplot, seq, subs, grid et display.
0 ∂Dt2. Soit t = 1; d´eterminer, s’il existe, le point d’intersection des droites D et D = . Rajouter le pointt t ∂t
au graphique pr´ec´edent.
Outils : solve, diff, subs et plot avec les options style=point,symbol=box.
3. D´eterminer maintenant les ´equations param´etriques de cette cardio¨ıde et rajouter son trac´e sur le gra-
phique initial.
´ ¨ ´Exercice 6. Nephroıde dans le cafe du matin!
But : Tracer l’enveloppe des rayons du soleil r´efl´echis sur le bord int´erieur de la tasse!
2Choisissons α pour param´etrer la famille des droites mod´elisant les rayons de soleil entrant dans la tasse.
En d´eduire :
coordonn´ees de point d’incidence x = ... y = ...α α
angle incident i = ...
angle de ”sortie” s = ...
vecteur directeur de la droite r´efl´echie (... ,... )
´equation param´etrique de la demi droite r´efl´echie (x +t∗... ,y +t∗... ) pour t∈]−∞,0]α α
k∗π πTracer sur un mˆeme graphique, le cercle C(0,2) et l’ensemble des droites r´efl´echies pour α = − et50 2
k = 0..50.
Question subsidiaire : En vous inspirant de l’exercice pr´ec´edent, d´eterminer une ´equation param´etrique de
π πcette n´ephroıde pour α∈ [− , ].¨ 2 2
3