PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 D e v o i r M a i s o n 1 3 I n v e r s e s a d r o i t e e t s u r j e c t i v i t e . A rendre pour le mercredi 31 mars. Vous devez apporter le plus grand soin a la redaction et a la pertinence des arguments avances. Les resultats doivent etre encadres. Soient E un K?espace vectoriel et f un endomorphisme de E. On dit que f admet un inverse a droite s'il existe g, endomorphisme de E, tel que f ? g = IdE . Dans ce cas, on dit que f est inversible a droite et on dit que g est un inverse a droite de f. On se propose de caracteriser les endomorphismes f possedant un inverse a droite puis on etudie quelques exemples de tels endomorphismes pour differents espaces vectoriels. On rappelle que si f designe un endomorphisme de E, alors f i = f ? · · · ? f ? ?? ? i fois avec la convention que f0 = IdE . Partie I - Caracterisation d'un endomorphisme inversible a droite f designe un endomorphisme du K?espace vectoriel E. 1. On suppose que f est inversible a droite. (a) Montrer que f est alors surjectif.

• endomorphisme inversible


• formule


• linearite de ∆


• demonstration de la formule du binome de newton


• premieres proprietes de l'operateur aux differences


• proche en proche


• operateur differentiel d'ordre

Sujets

• Formule

Informations

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• Langue: Français

Extrait

PCSI B

Math´ematiques

D e v o i rM a i s o n1 3

Lyc´eeBrizeux-anne´e2009-2010

Inverses`adroiteetsurjectivite´.

` A rendre pour le mercredi 31 mars. Vousdevezapporterleplusgrandsoin`alare´dactioneta`lapertinencedesargumentsavance´s.Lesre´sultats doiventeˆtreencadre´s.

SoientEunK−espace vectoriel etfun endomorphisme deE.On dit quefnunievsr`edaortieadmets’il existeg,endomorphisme deE, tel que f◦g= Id E . Dans ce cas, on dit quefestteoielbirda`nisrevet on dit quegestitesr`edaornunievdef. Onseproposedecaracte´riserlesendomorphismesf´teetpuuidsrooniuseel`qadniveeqrutineduensaso´sp exemplesdetelsendomorphismespourdiffe´rentsespacesvectoriels. On rappelle que sifsi´eeugnndneoromsihpedemdE,alors

0 avec la convention quef= Id E .

i f=f◦ ∙ ∙ ∙ ◦f | {z } i fois

PartieI-Caract ´ erisationd’unendomorphismeinversiblea ` droite

fse´dengihirpedsmenunmodouK−espace vectorielE. 1. Onsuppose quefioeta`rd.stineiblevers (a) Montrerquefest alors surjectif. (b) MontrerqueE= ker(f)⊕Im(g). ˜ (c)End´eduirequef ,la restriction def(Im`ag),est un isomorphisme de Im(g) surE.Quelle est la ˜ re´ciproquedef? 2. Onsuppose quefest surjectif et que ker(fpl´eme)natdmetunsupiaerFdansE. ˜ (a) Montrerquefla restriction defa`Fest un isomorphisme deFdansE. (b)End´eduirequefnitumeadetiorda`esrevngque l’on explicitera. 1 3. Conclurequefinesttseevnibisra`eloidrsiteseetemulfest surjective et ker(f´lppusnuriatnemeedmet)a dansE. i i 4. Montrerque sifetioesrerda`tumenvniadg,alorsfadmetgdaorti.enievsr`epour 5. Soientf 1 etf 2 des endomorphismes deE.Montrer que sif 1 etf 2 rsselbrda`etioola,reisitvnsnof 1 ◦f 2 estinversiblea`droite.

´ Partie2-Etuded’ope ´ rateursdiffe ´ rentiels

∞ IciEeneligesd´R−espace vectorielC(R,R). 1 Onpeutenfaitmontrerquetouts.e.v.admetunsuppl´ementaire.Nouslemontreronsdanslecasparticulierou`Eest de dimension finie.

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