PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux annee 2009 2010

Description

Niveau: Supérieur
PCSI B Mathematiques Lycee Brizeux - annee 2009-2010 F e u i l l e d e T D 4 S u r l e s n o m b r e s c o m p l e x e s I Revisions 1. Determiner la forme trigonometrique des nombres complexes suivants : (a) ( 1 + i √ 3 )3 (b) 2 i?2 √ 3 4 i+4 (c) (1+i)3 (1?i)3 (d) cos( pi12 )? i sin( pi 12 ) (e) sin( pi 15 ) + i cos( pi 15 ) (f) 1? i tan( pi 13 ) 2. Calculer la forme algebrique des nombres complexes suivants : (a) (1? i)6 (b) ( 2 √ 3? 2 i )8 (c) (1?i √ 3)5 (1+i √ 3)12 . 3. Pour quelles valeurs de n, le nombre complexe (√ 3 + 3 i )n est reel. 4. Soient z et z? deux nombres complexes. A quelle condition z z? est un nombre reel ? z z? est un imaginaire pur ? 5. Soient z1 = √ 6?i √ 2 2 et z2 = 1? i.

• affixe z2 du point m2


• transformation du plan


• complexes z1


• equation z5


• solution au systeme


• racines carrees


• affixe z3 du point m3


• point m1

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Extrait

PCSI B Math´ematiques Lyc´ee Brizeux - ann´ee 2009-2010
S u r l e s n o m b re s co m p l e x e s
´I Revisions
1. D´eterminer la forme trigonom´etrique des nombres complexes suivants :
√√ 33 (1+i)2i−2 3(a) 1+i 3 (b) (c) 34i+4 (1−i)
π π π π π(d) cos( )−isin( ) (e) sin( )+icos( ) (f) 1−i tan( )12 12 15 15 13
2. Calculer la forme alg´ebrique des nombres complexes suivants :
√√ 586 (1−i 3)√(a) (1−i) (b) 2 3−2i (c) .12(1+i 3)
√ n
3. Pour quelles valeurs de n, le nombre complexe 3+3i est r´eel.
04. Soient z et z deux nombres complexes.
0 0`A quelle condition zz est un nombre r´eel? zz est un imaginaire pur?
√ √
6−i 25. Soient z = et z = 1−i.1 22
z1(a) D´eterminer la forme trigonom´etrique de z , z et .1 2 z2
π π(b) En d´eduire les valeurs de cos( ) et sin( ).12 12
√
1 36. Soit j =− +i .2 2
3 2(a) Montrer que j = 1. En d´eduire que 1+j +j = 0.
6(b) calculer (1−j) de deux fa¸cons diff´erentes.
√
27. D´eterminer les solutions complexes de l’´equation z + 2 3z + 4 = 0. En indiquer le module et un
argument.
→− −→8. Le plan complexe est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e R = (0, u, v ). On consid`ere la transformation
2iπ0 3du plan qui `a tout point M d’affixe z associe le point M d’affixe e z.
(a) Caract´eriser la transformation ponctuelle T.
√
Soit M le point d’affixe z =− 3+i1 1
(b) D´eterminer l’affixe z du point M = T(M ); l’affixe z du point M = T(M ).2 2 1 3 3 2
(c) Placer les points M ,M et M dans le plan complexe rapport´e au rep`ere R.1 2 3
z −z2 3(d) Calculer la forme alg´ebrique de . En d´eduire la nature du triangle M M M .1 2 3z −z1 3
´II Trigonometrie
1. R´esoudre dansR les ´equations suivantes d’inconnue x :
√
π 4π(a) tan 3x− = tan x+ (b) cosx− 3 sinx = 15 5 √ √
(c) a cos(2x) = 4 sin(x) ou` a∈R (d) 3cosx+sinx =− 3
√ √ √ √
(e) sinx+ 1+ 2 cosx−1 = 0 (f) 3+1 cosx+ 3−1 sinx+ 3−1 = 0.
552. Lin´eariser cos (θ) et sin (θ).
3. D´evelopper :
´(a) cos(3θ) et sin(3θ). Etablir que cos(3θ) s’exprime comme un polynˆome de degr´e 3 en cos(θ).
sin(6θ)
(b) Lin´eariser sin(6θ). En d´eduire que peut s’exprimer comme un polynomeˆ en cos(θ).
sin(θ)
1
ldFee4TDilue4. Donner une forme trigonom´etrique des nombres complexes suivants :
0 0iθ iθ iθ iθ iθ iθe +e , e −e , 1+e ,1−e .
Retrouver les formules de trigonom´etrie bien connues portant sur :
cos(p)+cos(q), sin(p)+sin(q), cos(p)−cos(q), sin(p)−sin(q).
π5. Soit θ∈R\{ +kπ| k∈Z}. On pose t = tanθ.2
1+it(a) D´eterminer les formes trigonom´etrique et alg´ebrique de z = .1−it
(b) En d´eduire les formules trigonom´etriques suivantes :
21−t 2t
cos(2θ) = , sin(2θ) = .
2 21+t 1+t
Retrouvez alors tan(2θ) en fonction de tanθ. Sous quelle condition est-ce valable?
´6. Etant donn´e a∈R, r´esoudre dansR le syst`eme d’inconnues x,y :

cosx+cosy = 1+cosa
sinx+siny = sina
´ ´ ´III Resolution d’equations algebriques
1. R´esoudre les ´equations suivantes dansC :
2 2 2(a) z =−7+24i (b) z =−3−4i (c) z −2(2+i)z +6+8i = 0
3 2
2 z+i z+i z+i 2(d) z −z +1 = 0 (e) + + +1 = 0 (g) iz +(4i−3)z−5+i = 0
z−i z−i z−i
4 4 2 2 2(h) 16(z−1) +(z +1) = 0 (j) z +8i =|z| −2 (k) iz −2z¯+z−i = 0
n n−1(j) z +2z +···+2z +1 = 0 ou` n≥ 2 est un entier
22. Donner une forme trigonom´etrique des solutions complexes de z −z +1 = 0.
3. D´eterminer le module et un argument des racines du trinˆome
2z −2(1+cos(φ))z +2(1+cos(φ)) = 0.
54. R´esoudre dansC l’´equation z = z−z¯.
5. R´esolution d’une ´equation polynomiale de degr´e 4
Le but est de r´esoudre dansC l’´equation polynomiale
4 3 2z −5z +6z −5z +1 = 0.
(a) Montrer que cette ´equation est ´equivalente au syst`eme

2u −5u+4 = 0
(1)1u = z + z
2(b) R´esoudre dansC l’´equation u −5u+4 = 0.
(c) En d´eduire alors les solutions du syst`eme (1).
(d) Question subsidiaire. D´eduire de ce qui pr´ec`ede une m´ethode g´en´erale pour d´eterminer l’ensemble
4 3 2des solutions complexes d’une ´equation polynomiale de la forme z +az +bz +az +1 = 0 avec
a,b des nombres complexes.
06. R´esoudre dansC le syst`eme d’inconnues z et z :

02z +(1−i)z = 2+i
0iz +(2+i)z = 3−2i.
2`IV Sommes et racines n-iemes
Pn∗ n+1 1´1. Etant donn´e n ∈ N , ´etablir l’ingal´ it´e |sin(k)| ≥ − . Obtenir une in´egalit´e du mˆemek=1 2 2 sin(1)Pn
genre pour |cos(k)|.k=1
2. D´eterminer
(a) les racines carr´ees, cubiques et quatri`emes de 2i et 1+i que l’on repr´esentera graphiquement.
(b) les racines cinqui`emes de −i.
√
−4(c) les racines sixi`emes de 3.1+i
´3. Etant donn´es n∈N et θ∈R, simplifier :
n nX X
(a) cos(kθ) et sin(kθ).
k=0 k=0
n−1X cos(kθ) π(b) avec θ6≡ [π].
k 2(cosθ)
k=0

n n n(c) 1+ cos(θ)+ cos(2θ)+···+ cos(nθ).1 2 n
2iπ 3 5 3 5 674. Soit z = e . Calculer S = a+a +a et T = a +a +a .
P
p5. Soient n≥ 2 et p≥ 1 des entiers. Calculer ζ , ou` U d´esigne le groupe des racines n−i`emes denζ∈Un
l’unit´e.
iθ inθ6. On pose z = e +···+e avec θ∈R fix´e diff´erent de π mod 2π. Montrer que l’ensemble des imagesn
appartient `a un cercle dont on pr´ecisera le centre et le rayon.
´ ´V Nombres complexes et geometrie. Divers
1. Soient n nombres complexes z ,...,z .1 n
(a) Montrer que |z +···+z |≤|z |+···+|z |.1 n 1 n
(b) Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’´egalit´e se produise.
0 ´2. Soient z,z deux nombres complexes. Etablir l’in´egalit´e suivante :
1 2 0 2¯0Re(zz )≤ |z| +|z| .
2
Est-elle optimale?
03. Soient z et z deux nombres complexes. Montrer l’identit´e remarquable suivante :

0 2 0 2 2 0 2|z +z| +|z−z| = 2 |z| +|z| .
Pourquoi cette identit´e porte le nom d’identit´e du parall´elogramme?
24. Soit z∈C de module 1 . Montrer qu’alors |1+z|≥ 1 ou |1+z |≥ 1.

z−i π5. R´esoudre dansC les ´equations |z +5| =|z−i| et Arg = .z+i 4
6. R´esoudre dansC le syst`eme d’in´equations

|z +1| ≤ 1
|z−1| ≤ 1
a+b7. Soient a et b deux nombres complexes de module 1, avec ab = 1. Montrer que est un nombre r´eel
1−ab
que l’on exprimera en fonction de a et b.
8. Soit z∈C.
z−i(a) Montrer que | | < 1 si et seulement si Im(z) > 0.
z+i
z−iSoit f d´efinie surC\{−i} par f(z) = .
z+i
On pose E ={z∈C| Im(z) > 0} et F ={z∈C||z| < 1}.
(b) En d´eduire que f(E)⊂ F.
−1(c) Montrer que f r´ealise une bijection de E sur F puis d´eterminer sa r´eciproque f : F → E.
3
6