Polyèdres platoniciens Unicité et existence

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Emmanuelle Curatolo

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Niveau: Supérieur
Polyèdres platoniciens Unicité et existence Emmanuelle Curatolo Encadrement : Jérôme Germoni 2007 Licence 2ème année Université Claude Bernard - Lyon 1

groupes polyédraux

formule des classes et de burnside

approche empirique des polyèdres

contraintes numériques des polyèdres réguliers

projections de l'icosaèdre

polyèdre

isométries vectorielles

polyèdres platoniciens

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Caldero Polyèdre

Polyèdres platoniciens Unicité et existence

Emmanuelle Curatolo Encadrement : Jérôme Germoni

2007 Licence 2ème année Université Claude Bernard -

Lyon

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Remerciements

Je remercie Philippe Caldero pour m’avoir permis de faire ce travail et Jérôme Germoni qui m’a si bien encadrée, y consacrant ainsi beaucoup de temps.

À mon ﬁls David

Texte écrit grâce à LATEX

Table des matières 0.1 Introduction - Mise en bouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Analyse et trigonométrie. Approche empirique des polyèdres 8 1.1 Déﬁnitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.1Convexité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.2Polygones, polyèdres 12. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 1.2 Contraintes numériques des polyèdres . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.1Formule d’Euler 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2Contraintes numériques des polyèdres réguliers 14. . . . . . . . . 2 Isométries des espaces vectoriels euclidiens. Vers une approche abs-traite des polyèdres 16 2.1 Isométries, matrices orthogonales et groupe orthogonal . . . . . . . . 17 2.2 Isométries vectorielles d’un plan euclidien . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Isométries vectorielles d’un espace euclidien(dimension 3). . . . . . . 22 2.3.1Etude des matrices deO(3). . . . . . . .. . . . . . . . . . . 22 2.3.2Endomorphismes et matrices symétriques 23. . . . . . . . . . . . 2.3.3Description géométrique des isométries deO(E). . . . . . . . 26 3 Sous-groupes ﬁnis deSO(3)et groupes polyédraux 30 3.1 Polyèdres réguliers : déﬁnitions et quelques propriétés générales . . . 31 3.2 Équation caractéristique et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2.1Formule des classes et de Burnside 33. . . . . .. . . . . . . . . 3.2.2Équation caractéristique, signature 34. . . . . .. . . . . . . . . 3.2.3Résolution de l’équation caractéristique. . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Sous-groupes ﬁnis deSO(3). . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1Séries inﬁnies. . . . . . . . . . . . . . . 36. . . . . . . . . . . . 3.3.2Groupes symétriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4 Groupes polyédraux : présentation par générateurs et relations . . . . 39 3.4.1Préliminaires 39. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2Groupes diédraux ﬁnis 40. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3Groupes polyédraux. . . . . . . . . . . . . 40. . . . . . . . . . . 4 Annexes 44 4.1 Projections stéréographiques d’un icosaèdre . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.1.2Projections de l’icosaèdre (dessins). . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3Lignes de code : logiciel Maple 47. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4.2 4.3

Angles invariants dans un Bibliographie . . . . . .

polyèdre . . . . . .

. .