Statistiques: estimation ponctuelle

Samy Tindel

Description

Niveau: Supérieur, Master, Bac+4
Statistiques: estimation ponctuelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Statistiques Nancy-Université 1 / 63

• m1 - statistiques nancy-université


• loi µ?


• famille de lois


• estimateurs du maximum de vraisemblance

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• Langue: Français

Extrait

yT.(SamM)-1EINCsiittStancNaesquerivUny-36/1étis

Samy Tindel

Master 1 - Nancy

Nancy-Université

Statistiques: estimation

ponctuelle

aSittsqieuNsnaycU-myT.(IECN)M1-Sta

3

Rappel: variables aléatoires usuelles

2

Introduction

1

Intervalles de confiance

6

5

Méthode des moments

4

Définitions

itrsveni

Plan

Estimateurs du maximum de vraisemblance

3/6é2

N)EC(IT.tita-SM1NseuqitsinU-ycnaaSymversité3/63

Plan

Estimateurs du maximum de vraisemblance

5

6

1

Intervalles de confiance

2

Introduction

3

Rappel: variables aléatoires usuelles

4

Définitions

Méthode des moments

IECN)M1-SamyT.(uqseaNcntStasiittési634/Uny-eriv

Données:on dispose de données(x 1     x n )

Problème:Identification d’une famille de lois{µ θ ;θ∈Θ}

Situation générique abstraite

Reformulation du problème:estimerθà partir de(x 1     x n )sous l’hypothèse fondamentale.

Autrement dit: on peut écrire(x 1     x n ) = (X 1 (ω)    X n (ω))pour Unn-échantillon(X 1     X n )de loiµ θ Une expérienceω

Hypothèse fondamentale:les données sont issues d’unn-échantillon de loiµ θ pourθ∈Θ

inU-srev5éti36/

Exemple d’observation: (x 1     x 10 ) = (0010001000)

Expérience:on lance 10 fois le dé. On posex i =1 si le 6 est obtenu aui ème lancer, 0 sinon ,→(x 1     x n )avecn=10.

Exemple

Hypothèse:(x 1     x n )est la réalisation d’unn-échantillon (X 1     X n )de loi{B(p);p∈]01[}.

But:A partir de(x 1     x n ), donner une estimation dep afin de savoir sip=16.

Tirage de dé:On souhaite savoir si un dé est pipé. Pour cela, on s’intéresse à la proba d’obtenir 6 avec ce dé.

aSym.TI(CE)N1MS-tatistiquesNancy

Type de critère considéré

Pour caractériser l’estimation deθ, on verra les critères suivants: Convergence lorsquen→ ∞(forte consistence) Convergence en moyenne (biais) Maximisation probabiliste (maximum de vraisemblance) Critère basé sur la variance (risque)

SamyT.(IECN)M1-StatistiquesaNcn-yUniversité6/63

NseuqitsinU-ycnaN)EC(IT.tita-SM1aSym

1

Intervalles de confiance

2

Introduction

3

Rappel: variables aléatoires usuelles

4

Définitions

Méthode des moments

versité7/63

Plan

Estimateurs du maximum de vraisemblance

5

6

Utilisation: (i)Succès dans un jeu binaire Exemple 1: pile/face.X=1 si pile,X=0 sinon⇒X∼ B(12) Exemple 2: jeu de dé.X=1 si résultat=3,X=0 sinon ⇒X∼ B(16) (ii)Réponse oui/non dans un sondage Exemple:X=1 si une personne approuve la loi Pécresse, X=0 sinon⇒X∼ B(p), avecpinconnu

P(X=0) =1−p

P(X=1) =p

/63

Loi de Bernoulli

Ensemble des valeurs:E={01}

Notation:B(p)pourp∈]01[

Loi:

tsqieuNs1MS-atitversité8ancy-Uni(IT.N)ECmySa

sttiueiqansN-Ucy.TymCEI(1M)NatS-Sa

Notation:Bin(np), pourn∈N ∗ ,p∈]01[ Ensemble des valeurs:E={01    n} Loi:

Notation:Bin(np

3/6é9itrsveni

Utilisation: (i)Nombre de succès dans une épreuve de Bernoulli répétéenfois indépendemment Exemple: On lance un dé 9 fois.X=nombre de 3 obtenus ⇒X∼Bin(916),P(X=2) =028 (ii)Comptage d’un caractère dans un tirage avec remise Exemple: lot de 1000 pantalons dont 10%défectueux On tire 15 pantalons avec remise. X=nombre de pantalons défectueux obtenus⇒X∼Bin(15110)

0≤k≤n

P(X=k) =
k n ! p k (1−p) n−k 

Loi Binomiale

63

Loi géométrique

é10/

Utilisation: Instant de 1 er succès dans un jeu binaire Exemple 2: jeu de dé. X=1 er jancer pour lequel résultat=6 ⇒X∼ G(16),P(X=5) =008

k−1 P(X=k) =p(1−p)

k≥1

Notation:G(p)pourp∈]01[

Ensemble des valeurs:E=N ∗

Ensemble des valeurs:E=N

Loi:

ycU-Nsnasrtiinevta-SM1N)ueiqsttiaSCEI(.Tym

EI(.TymaSatistiquCN)M1-StnUvireisseaNcn-y

Ensemble des valeurs:E=N

Loi:

Loi de Poisson

Notation:P(λ)pourλ∈R +

k≥0

−λ λ k k! 

P(X=k) =e

11té3/6